Mình xin đóng góp một đề:
ĐỀ 8: ĐỀ THI HSG TP Hồ Chí Minh
Năm học: 1989 - 1990
Vòng 1:
Bài 1: Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$ ($a \geq b$) đều không chia hết cho $5$. Chứng minh rằng $a^4-b^4$ $\vdots$ $5$.

Vì 1 số chính phương khi chia cho 5 chỉ có 3 trường hợp là chia hết, dư 1 và dư 6
Mà a và b không chia hết cho 5 ; a và b bình đẳng nên $a^{4}$ và $b^{4}$ khi chia cho 5 luôn có 2 trường hợp
+) TH1: $a^{4}\equiv 1(mod5);b^{4}\equiv 1(mod5)\Rightarrow (a^{4}-b^{4})\vdots 5$
+) TH2: $a^{4}\equiv 1(mod5); b^{4}\equiv 6(mod5)\Rightarrow a^{4}-b^{4}\vdots 5$
Vậy...............

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $\cos A+\cos B+\cos C=1+4.\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$

Giải $\frac{\left | \left | x^{2}-x \right |-6 \right |}{x-2}\geq 2x$

Chứng minh rằng : $\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}} \leq \frac{(1-a_{1})(1-a_{2})(1-a_{3})}{(3-a_{1}-a_{2}-a_{3})^{2}}$ $,$ $\forall 0 \leq a_{1},a_{2},a_{3} \leq \frac{1}{2}$.

Cho $a,b,c>0$

Chứng minh rằng $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2}\left ( \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca} \right )\geq 4$

 

 

 

Với a,b,c dương CMR :
$\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{(b+c)^2}{a}+\frac{(a+c)^2}{b}\ge 4(a+b+c)$

Áp dụng BĐT B.C.S ta được
$\left [ \frac{(a+b)^{2}}{c}+\frac{(b+c)^{2}}{a}+\frac{(a+c)^{2}}{b} \right ](c+a+b)\geq 4(a+b+c)^{2}$
$\Rightarrow VT\geq 4(a+b+c)$

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ ab+bc+ca=3 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

CMR: $\frac{1}{2}< \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}< \frac{\pi}{6}(n=2,3,4,...)$

Cho $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$ và $a\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )+b\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right )+c\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=-2$

Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Cho $c\geq b\geq a> -2009$
Chứng minh rằng $\frac{1}{b+2009}(a+c+4018)\leq (\frac{1}{a+2009}+\frac{1}{c+2009})(a+c-b+2009)$

Cho $h_{1},h_{2},h_{3},r$ lần lượt là các đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp của $1$ tam giác
Chứng minh tam giác đó đều khi và chỉ khi $\frac{1}{h_{1}+2h_{2}}+\frac{1}{h_{2}+2h_{3}}+\frac{1}{h_{3}+2h_{1}}=\frac{1}{3r}$

Cho $a,b\in \mathbb{N}$. Chứng minh $\frac{11a+2b}{19}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{18a+5b}{19}\in \mathbb{Z}$

Giải phương trình: $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+3}$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$

Tìm $\max P=\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Cho x,y,z thoả mãn $3^{-x}+3^{-y}+3^{-z}=1$.CMR
$\frac{9^{x}}{3^{x}+3^{y+z}}+\frac{9^{y}}{3^{y}+3^{x+z}}+\frac{9^{z}}{3^{z}+3^{x+y}}\geq \frac{3^{x}+3^{y}+3^{z}}{4}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=6$

Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geq 2$

Bạn làm hơi dài!
Ta có $\frac{a}{3}+\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{3}}{6}=\frac{a(a+1)(a+2)}{6}$
Vì $a(a+1)(a+2)\vdots 6$ suy ra đpcm

Chứng minh $\frac{a}{3}+\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{3}}{6}\in \mathbb{Z}(\forall a\in \mathbb{Z})$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. 

Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}}\leq 2$

Cho $(O;R)$ và $(O';R')$ cắt nhau tại $A$ và $B$.($O;O'$ nằm ở hai nửa mặt phẳng bờ $AB$).

Đường thẳng $d$ thay đổi qua $A$ cắt $(O)$ và $(O')$ tại $C$ và $D$. TIếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt tiếp tuyến tại $D$ của $(O')$ ở $E$.

Xác định vị trí của $d$ để $\frac{EC}{R}+\frac{ED}{R'}$ đạt $GTNN$.

GPT:

 

$(x+2013)^{2012}+(x+2012)^{2013}=1$

$\star$ Xét $x=-2012$ ta có phương trình đã cho trở thành $1+0=1$ (đúng)

$\star$ Với $x> -2012$ ta có:$\left\{\begin{matrix} (x+2013)^{2012}> 1 & \\ (x+2012)^{2013}> 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (x+2013)^{2012}+(x+2012)^{2013}> 1$ 

Nên $x> -2012$ không là nghiệm

$\star$ Với $x< -2012$ ta có: $\left\{\begin{matrix} (x+2013)^{2012}< 1 & \\ (x+2012)^{2013}< 0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow (x+2012)^{2013}+(x+2013)^{2012}< 1$ 

Nên $x< -2012$ không là nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=-2012$

$d)$
Phương trình đã cho tương đương với
$x^{4}+x^{2}+\frac{1}{4}=x^{2}+1993-\sqrt{x^{2}+1993}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left ( x^{2}+\frac{1}{2} \right )^{2}=\left ( \sqrt{x^{2}+1993}-\frac{1}{2} \right )^{2}$

Giải phương trình $(x^{2}-2)(x^{2}-2x)= 2$

Ta có pt đã cho tương đương với $x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+4x-2=0$
Đây là phương trình hồi quy! bạn chia 2 vế cho $x^{2}$ rồi đặt ẩn phụ là được!

Chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{Z};n\geq 1$ thì $[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}]=[\sqrt{9n+8}]$

Tìm số thực dương $x$ sao cho
$[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345$