Cho tứ diện $ABCD$ có một cạnh lớn hơn $a$, các cạnh còn lại đều không lớn hơn $a$. Gọi $V$ là thể tích tứ diện $ABCD$. Chứng minh rằng $V\leq\dfrac{a^3}{8}$.
mathbg nội dung
Có 29 mục bởi mathbg (Tìm giới hạn từ 24-05-2020)
#549578 Tính thể tích khối chóp
Đã gửi bởi mathbg on 26-03-2015 - 17:32 trong Hình học không gian
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, với $BC$ là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác $SAB$ là tam giác đều có cạnh bằng $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, $SC=a\sqrt5$ và khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SCH)$ bằng $a\sqrt2$ (ở đây $H$ là trung điểm của $AB$). Hãy tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
#548982 Đề học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12, 2015
Đã gửi bởi mathbg on 23-03-2015 - 19:38 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12 (20/3/2015)
TỈNH BẮC GIANG
Câu 1. Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{2x-1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng $d: 2x+3y-1=0$ một góc $45^0$.
Câu 2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=mx^3-3mx^2+(2m+1)x+3-m$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{4}\right)$ đến đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3. Cho đa giác đều $(H)$ có $n$ đỉnh ($n\in\Bbb{N}, n>4$). Tìm $n$, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$.
Câu 4. Tính tích phân $I=\int\limits_1^2\dfrac{\ln x-1}{x^2-\ln^2x}\;\mathrm{d}x$.
Câu 5. Giải phương trình $(1+x)(2+4^x)=3.4^x$
Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều tâm $O$. Hình chiếu vuông góc của $C'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với $O$. Biết khoảng cách từ $O$ đến $CC'$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và $(BCC'B')$ bằng $60^0$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $CC'$ và $AB'$.
Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y-2z-5=0$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+3}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$, song song với $d$ và cách $d$ một khoảng bằng $\sqrt{14}$.
Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(3;3)$, đường phân giác trong của góc $A$ có phương trình $x-y=0$. Điểm $I(2;1)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C$ biết rằng $BC=\dfrac{8}{\sqrt5}$ và góc $\widehat{BAC}$ nhọn.
Câu 9. Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{xy}-\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\\ 2015^{3x-y-1}+x-3y+1=\sqrt{4x^2-4y+2}\end{cases}$
Câu 10. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab=2(a+b)c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{c^2}{(a+b-c)^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$.
#540563 $c)\left\{\begin{matrix} x^{3}y+...
Đã gửi bởi mathbg on 12-01-2015 - 19:15 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
c) Áp dụng bđt cô-si ta có:
$3 = y(x^3+2) = y(x^3+1+1) \ge 3xy \leftrightarrow 1 \ge xy$
$3xy^3 = 2y^3+1 = y^3+y^3+1 \ge 3y^2 \leftrightarrow xy \ge 1$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 1$
Đề có cho $x,y$ không âm đâu mà áp dụng AM - GM bạn ơi.
#540153 $$\sqrt{a^2+8bc}+\sqrt{b^2+8ca}+\sqrt{c^2+8ab}\...
Đã gửi bởi mathbg on 09-01-2015 - 20:42 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c\ge 0$. Chứng minh bất đẳng thức
$$\sqrt{a^2+8bc}+\sqrt{b^2+8ca}+\sqrt{c^2+8ab}\le 3(a+b+c).$$
#539831 $a^3>b^3+c^3$
Đã gửi bởi mathbg on 06-01-2015 - 12:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
1. Chứng minh bất đẳng thức sau :
$\frac{a+b}{ab+c^2}+\frac{b+c}{bc+a^2}+\frac{c+a}{ca+b^2}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
2. Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông với $a$ là cạnh huyền . Chứng minh
$a^3>b^3+c^3$
3. Cho 3 số không âm $a;b;c$. Chứng minh rằng
$a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$
Chém hai câu dễ trước
Câu 2: $a^3=a\big( b^2+c^2\big)=ab^2+ac^2>b^3+c^3$.
Câu 3: $a^4+b^4+c^4\ge \dfrac{1}{3}\big( a^2+b^2+c^2\big)^2\ge \dfrac{1}{3}\big(a^2+b^2+c^2\big).\dfrac{1}{3}(a+b+c)^2\ge abc(a+b+c)$.
Vì $a^2+b^2+c^2\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}, a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$.
#539807 $\begin{cases} \sqrt{x-y-1} = 1 \...
Đã gửi bởi mathbg on 05-01-2015 - 23:57 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} \sqrt{x-y-1} = 1 \\ y^2+x+2y\sqrt{x} = xy^2 \end{cases}$
Điều kiện $x\ge y+1, x\ge 0$. Đặt $z=\sqrt{x}$. Hệ trở thành $\begin{cases} \sqrt{z^2-y-1}=1\\ y^2+z^2+2yz=y^2z^2\end{cases}$
Tương đương với $\begin{cases} y=z^2-2\\ y+z=yz\end{cases}$ $\quad$ hoặc$\quad$ $\begin{cases}y=z^2-2\\ y+z=-yz\end{cases}$
Cả hai hệ này, chỉ cần thay $y=z^2-2$ vào phương trình dưới, được phương trình bậc ba và giải tiếp.
#537569 min $\left( {x - y} \right)\left( {y - z...
Đã gửi bởi mathbg on 12-12-2014 - 22:53 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = 1$
Tìm GTNN của $\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)$
Đặt $a=x-y, b=y-z, c=z-x$. Bài toán trở thành:
Cho $a,b,c$ là các số thoả mãn $a+b+c=0, a^2+b^2+c^2=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $abc$.
Giả sử $c=\max\{a,b,c\}$, suy ra $0\le c\le \sqrt2$.
Từ đk1, $a+b=-c$. suy ra $a^2+b^2+2ab=c^2$. Do đó $ab=c^2-1$.
Ta được $abc=(c^2-1)c=c^3-c=f ( c )$.
$f'( c )=3c^2-1=0$ khi và chỉ khi $c=\dfrac{1}{\sqrt3}$ (vì $0\le c\le \sqrt2$ ).
$\min f( c )=f(\frac{1}{\sqrt3})=-\dfrac{2}{3\sqrt 3}$, đạt được tại $c=b=\dfrac{1}{\sqrt 3}, a=-\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ và các hoán vị.
#537491 Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 Chứng minh rằng $ab^2c^3\leq \frac...
Đã gửi bởi mathbg on 12-12-2014 - 20:46 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bạn viết rõ hơn một chút được không? Mình vẫn chưa hiểu lắm. Tại sao từ dòng đầu lại suy ra được đpcm vậy???
VT $= a+b+c=1$. Luỹ thừa 6 hai vế, chuyển số sang một bên sẽ được đpcm.
#537405 Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 Chứng minh rằng $ab^2c^3\leq \frac...
Đã gửi bởi mathbg on 12-12-2014 - 11:41 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 Chứng minh rằng $ab^2c^3\leq \frac{1}{432}$
$a+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{3}+\dfrac{c}{3}+\dfrac{c}{3}\ge 6\sqrt[6]{a.\dfrac{b}{2}.\dfrac{b}{2}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}}$.
Suy ra $ab^2c^3\leq \dfrac{1}{432}$
#529662 chứng minh bất đẳng thức
Đã gửi bởi mathbg on 20-10-2014 - 12:21 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge \dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}$$
#497787 Chứng minh $\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc...
Đã gửi bởi mathbg on 08-05-2014 - 09:32 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ca}{b+1}\le\dfrac{1}{4}$$
#493671 Chứng minh quỹ tích là Ellipse
Đã gửi bởi mathbg on 18-04-2014 - 10:07 trong Hình học phẳng
Cho hình thang $ABCD$, đáy lớn $AB$ cố định, đáy nhỏ $CD=b$ (không đổi). $C,D$ di chuyển sao cho $AD+BC=k$ (không đổi). Chứng minh giao điểm $I$ của hai đường chéo $AC$ và $BD$ luôn nằm trên một Ellipse cố định khi $C,D$ thay đổi.
#467266 $\begin{cases}\sqrt[3]{y^3-1}+\sqrt...
Đã gửi bởi mathbg on 28-11-2013 - 09:40 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}\sqrt[3]{y^3-1}+\sqrt{x}=3\\ x^2+y^2=82\end{cases}$$
#436059 Giải phương trình lượng giác
Đã gửi bởi mathbg on 18-07-2013 - 18:50 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
$2(\tan x-\sin x)+3(\cot x-\cos x)+5=0$
#417278 Đề thi tuyển vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Du Đak Lak
Đã gửi bởi mathbg on 08-05-2013 - 16:19 trong Tài liệu - Đề thi
bạn ui, đề ko cho x khác 0 hay là x > 0 , vậy.... $\Rightarrow \frac{2x}{x^2+1}\leq \frac{2x}{2x}=1$ --> chưa chắc (!)
Ví dụ trường hợp $1\geq 0$
vậy khi suy ra $\frac{0}{1}\leq \frac{0}{0}=1$ .... có đc ko nhỉ ???
______
bạn ui, đề ko cho x khác 0 hay là x > 0 , vậy.... $\Rightarrow \frac{2x}{x^2+1}\leq \frac{2x}{2x}=1$ --> chưa chắc (!)
Ví dụ trường hợp $1\geq 0$
vậy khi suy ra $\frac{0}{1}\leq \frac{0}{0}=1$ .... có đc ko nhỉ ???
______
VP>0 nên suy ra $x>0$.
#417277 Đề thi tuyển vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Du Đak Lak
Đã gửi bởi mathbg on 08-05-2013 - 16:17 trong Tài liệu - Đề thi
Chém câu dễ nhất 1.2)
$VT=1.2...3.[(1+\frac{1}{2002})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2001})+...]$
$=1.2.3...2002.2003(\frac{1}{2002}+\frac{1}{2.2001}+...)\vdots 2003$
Suy ra đpcm.
Lời giải rất gọn và đẹp, nhưng tui nghĩ là cần thêm lí do 2003 là số nguyên tố nữa, fai ko ta?
#413464 Đề thi thử tuyển sinh vào 10 trường THPT chuyên KHTN đợt 2 - Môn Toán chung
Đã gửi bởi mathbg on 18-04-2013 - 21:08 trong Tài liệu - Đề thi
Bạn xem post 13:
http://diendantoanho...ng/#entry412747
Đề thi thử lần này nhiều chỗ sai quá, kể cả phần $a$ hình, nếu không có điều kiện gì thêm thì có thể có trường hợp $CD \equiv EF$
@mathbg Bạn thử giải với điều kiện đó xem nào
PS: Mình không HIỂU SAI đầu bài mà nghĩ đầu bài sai thôi
Vậy là mình HIỂU SAI ý của ilovelife. sory nhé!
#413337 Đề thi thử tuyển sinh vào 10 trường THPT chuyên KHTN đợt 2 - Môn Toán chung
Đã gửi bởi mathbg on 18-04-2013 - 06:35 trong Tài liệu - Đề thi
Bạn xem post 13:
http://diendantoanho...ng/#entry412747
Đề thi thử lần này nhiều chỗ sai quá, kể cả phần $a$ hình, nếu không có điều kiện gì thêm thì có thể có trường hợp $CD \equiv EF$
@mathbg Bạn thử giải với điều kiện đó xem nào
PS: Mình không HIỂU SAI đầu bài mà nghĩ đầu bài sai thôi
Vậy là mình HIỂU SAI ý của @ilovelife rồi. sory nhé!
- Diễn đàn Toán học
- → mathbg nội dung