Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất (nếu có ) của biểu thức : $P=xy+yz+zx-2xyz$

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (y^3+3y^2+y+4x^2-22x+21)=(2x+1)\sqrt{2x-1} & \\ 2x^2-11x+9=2y & \end{matrix}\right.$

Cho đường tròn $(C)x^2+y^2+2x-8y-8=0$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $M(5,7)$ cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho $MA^2+MB^2=104$ 

Giải phương trình  : $x^2+x+12\sqrt{x+1}=36$

Giải hệ phương trình sau $\left\{\begin{matrix} x(y-3)-9y=1 & \\ (xy-y)^2+2y=-1 & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình $x^3-5x^2+12x-6=2\sqrt[3]{x^2-x+1}$

Giải hệ phương trình sau: 

$\left\{\begin{matrix} 3x^2+2xy+2y^2-3x-2y=0 & \\ 5x^2+2xy+5y^2-3x-3y=2 & \end{matrix}\right.$

Mình nhờ các bạn nêu cách giải tổng quát cho loại hệ này với. 

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^2+6xy+17y^2}+\sqrt{17x^2+6xy+2y^2}=5(x+y) & \\ (x^2+1)(\sqrt{x+2}-2y)+(6y+11)\sqrt{x+2}=x^2 & \end{matrix}\right.$

Có bao nhiêu tập hợp từ hai phần tử trở lên, biết rằng mỗi tập như thế chứa các số nguyên dương liên tiếp có tổng bằng 100?

Cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất $P=\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{2}}-\dfrac{a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)}{a+b+c}$

Cho khai triển $(1+x+x^2+x^3+...+x^{10})^{11}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{110}x^{110}$. Chứng minh rằng :

$C_{11}^{0}a_{0}-C_{11}^{1}a_{1}+C_{11}^{2}a_{2}-... ...-C_{11}^{11}a_{11}=11$

$x^3+(3x^2-4x-4)\sqrt{x+1}\leq 0$

Cho 3 số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 

$P=\cfrac{1}{a^4(b+c)}+\cfrac{1}{b^4(c+a)}+\cfrac{1}{c^4(a+b)}$

Cho các số thực sao cho $x+y+z=xy+yz+zx$. Chứng minh $\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\geqslant \dfrac{3}{2}$

Cho các số thực không âm thoả mãn $x^2+y^2+z^2=3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P=\cfrac{16}{\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}}+\cfrac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$

Giải hệ phương trình sau $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2} & \\ \sqrt{y-1}-\sqrt{4-x}+8-x^2=0& \end{matrix}\right.$

Ta có:

$\large 16P=\sum \frac{16}{x+x+y+z}\leq \sum \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=8052$

$\large \Rightarrow P\leq \frac{2013}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi$\large x=y=z=\frac{1}{671}$

Ta có BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với $x,y> 0$

Suy ra  $\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c})$

Chứng minh tương tự ta có :

$\frac{1}{a+2b+c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$\frac{1}{a+b+2c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{2013}{4}$

Cho ba số thực dương thoả mãn $\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\cfrac{1}{2x+y+z}+\cfrac{1}{x+2y+z}+\cfrac{1}{x+y+2z}$

Bạn xem lại hộ cái đề ở pt thứ nhất. Có vẻ hệ số không phù hợp. Bài này gần giống như đề thi DH khố A năm 2012Nghi

nghiệm $\left\{\begin{matrix} x=\frac{-1}{2} & \\ y=\frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$ không sai đâu cách giải khác 2012

Giải hệ sau $\left\{\begin{matrix} 4x^3+2x^2-x=-4y^3+2y+11 & \\ 2x^2+2y^2+2x-2y=1& \end{matrix}\right.$

Cho ba số thực thỏa mãn : $x+y+z=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : $P=x+y+z$

Giải hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix} x^4-x^3y+x^2y^2=1 & \\ x^3-y-x^2+xy=-1 & \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : $P=\cfrac{a^3}{\sqrt{b^2+1}}+\cfrac{b^3}{\sqrt{c^2+1}}+\cfrac{c^3}{\sqrt{a^2+1}}$

Bạn xem lại đề xem có thiếu điều kiện không nhé, nếu đề như thế này thì bài toán hiển nhiên quá

ta luôn có $P \geq 0$

$MinP = 0$ khi $a=b=0$ , $c$ tuỳ ý thoả mãn điều kiện

Mình nhầm số 1 là  số 0 bạn ạ.

Cho $a,b,c\epsilon \left \lceil 1;2 \right \rceil$. Tìm $Min P=\cfrac{\left ( a+b \right )^2}{c^2+4\left ( ab+bc+ca \right )}$