1. $x^{3}+\sqrt{1-x^{3}}=x\sqrt{2-2x^2}$

2,$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3})=2x$

3,$15x^{2}+2(x+1)\sqrt{x+2}=2-5x$

4,$2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$

5,$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$

6,$x^2-2(x+1)\sqrt{3x+1}=2\sqrt{2x^2+5x+2}-8x-5$

7,$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}=2$

8,$\sqrt{5x^2+24x+28}-\sqrt{x^2+x-20}=5\sqrt{x+2}$

8

$pt\Leftrightarrow \sqrt{5x^{2}+24x+x8}=5\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+x-20}$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-x-1=5\sqrt{(x^{2}-2x-8)(x+5)}$

đặt $\sqrt{x^{2}+2x-8}=a,\sqrt{x+5}=b$

pt trở thành$2a^{2}+3b^{2}= 5ab$

đến đây thì dễ rồi

Chứng minh rằng: x+y >=16xyz

ta có $x+y\geq 2\sqrt{xy}$

ta cần cm $2\sqrt{xy}\geq 16xyz$

 $xy\geq 64x^{2}y^{2}z^{2}$(2)

nếu x=0 hoặc y=0 bài toán cm xong

nếu x>0,y>0 thì $(2)\Leftrightarrow 1\geq 64xyz^{2}$

Áp dụng bđt cô-si ta có $64xyz^{2}= \frac{1}{4}16.2x.2y.z.z\leq \frac{1}{4}(2x+2y+2z)^{2}= 1$(dpcm)

dấu = xảy ra x=y=0,z=1 hoặc $x=y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{2}$

Giải phương trình nghiệm nguyên $3^x-y^3=1$

$pt\Leftrightarrow 3^{x}= y^{3}+1$

nếu $x=0\Rightarrow y=0$

nếu x<0 thì pt vô nghiệm 

nếu x>0 thì 

$y^{3}+1\vdots 3$

do $y^{3}\equiv y(mod3))$

$\Rightarrow y=3k-1$ $(k\in N*)$

$\Rightarrow 3^{x}= 9k(3k^{2}-3k+1)$

do $3k^{2}-3k+1$ ko chia hết cho 3

$\Rightarrow 3k^{2}-3k+1=1\Leftrightarrow k=1$

$\Rightarrow x=2,y= 2$

Bài 1: Giải phương trình :

a,$\sqrt{4x-1}+\sqrt{4x^{2}-1}=1$

b,$x^{2}+(\frac{x}{x-1})^{2}=1$

Bài 2: Giải bất phương trình :

$\left | x-6 \right |> \left | x^{2}-5x+9 \right |$

------------------------

1b $pt\Leftrightarrow (x+\frac{x}{x-1})^{2}= 1+\frac{2x^{2}}{x-1}$

$\Leftrightarrow (\frac{x^{2}}{x-1})^{2}= 1+\frac{2x^{2}}{x-1}$

đặt $\frac{x^{2}}{x-1}=t$ đến đây thì dễ rồi

Ta có: $(x+y+z)^2\geqslant 3(xy+yz+xz)=3$ (1)

áp dụng BĐT B.C.S có: $(\sqrt{13}x.\frac{1}{\sqrt{13}}+\sqrt{12}y.\frac{1}{\sqrt{12}}+\sqrt{22}z.\frac{1}{\sqrt{22}})^2\leqslant (13x^2+12y^2+22z^2)(\frac{1}{13}+\frac{1}{12}+\frac{1}{22})$(2)

                                     (1)(2)<=> $3\leqslant (x+y+z)^2\leqslant P.\frac{353}{1716}$

                                    <=> $P\geqslant \frac{5148}{353}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} 13x=12y=22z & & \\ xy+yz+xz=1& & \end{matrix}\right.$

Đến đây bạn tự tìm x,y,z nhé

bài bạn có vấn đề rồi vì $(x+y+z)^{2}= 3(xy+yz+zx)\Leftrightarrow x=y=z$

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$

$3= \sum \frac{1}{a}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}$

$\Rightarrow 3\geq \sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{a}}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{a}\geq 3$

ta có $\sum \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 3\sqrt{2}$

Với mỗi số nguyên dương n, đặt $P_{n}=1.2.3...n$ ( tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n ). Chứng minh rằng:

1. $1+1.P_{1}+2.P_{2}+3.P_{3}+...+n.P_{n}=P_{n+1}$

2. $\frac{1}{P_{2}}+\frac{2}{P_{3}}+\frac{3}{P_{4}}+...+\frac{n-1}{P_{n}}< 1$

1 ta có

$1+1.P_{1}+...nP_{n}= 1+(2-1)P_{1}+..+(n+1-1)P_{n}$

$= P_{n+1}$

Cho a, b, c > 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Chứng minh rằng $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$

bđt$\Leftrightarrow \frac{3a}{2a-b}+\frac{3c}{2c-b}\geq 6$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2-\frac{b}{a}}+\frac{1}{2-\frac{b}{c}}\geq 2$

ta có$\frac{1}{2-\frac{b}{a}}+\frac{1}{2-\frac{b}{c}}\geq \frac{4}{4-2}= 2$(đpcm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh rằng: $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

áp dụng bđt BCS ta có

$(\sum \sqrt{a+b})^{2}\leq 3.2.(a+b+c)= 6$

$\Rightarrow \sum \sqrt{a+b}\leq \sqrt{6}$

Cho a,b,c >0 chứng minh:

$\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

bđt$\Leftrightarrow a^{8}+b^{8}+c^{8}\geq (ab+bc+ca)a^{2}b^{2}c^{2}$

lại có $a^{8}+b^{8}+c^{8}\geq a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}$\

đăt $ab= x,bc= y,ca= z$

ta cần cm$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c)$

lại có $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}+b^{2}c^{2}\geq abc(a+b+c)$(đpcm)

Cho $a,b,c$ là các số thực tùy ý

  a:Chứng minh rằng :$2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c} \geq 9\sqrt[9]{abc}$

  b:Chứng minh rằng :$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

áp dụng bđt Cô-si ta có

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}\geq 9\sqrt[9]{abc}$

155, cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác. CMR

a, $\sum \frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}> 3$

b, nếu $a\leq b\leq c  thì  (a+b+c)^{2}\leq 9bc$

$155.a$

$\frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}-1= \frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{b^{2}+c^{2}}$

$= \frac{(a+b-c)(a-b+c)}{b^{2}+c^{2}}> 0$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Cho a,b,c là 3 số lớn hơn 0 . Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{1}{a^{3}+c^{3}+abc}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}$

$bdt\Leftrightarrow \sum \frac{abc}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq 1$

lại có $\sum \frac{abc}{a^{3}+b^{3}+ab}\leq \sum \frac{abc}{ab(a+b)+abc}= 1$

 

 

 

 

Bài 6:(1,0 điểm).

 

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} xz+yz+3x+y=1\\ 2xz+yz+5x=1 \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=xy(z+2)$

 

6 trừ vế 2 pt ta có

$xz+2x=y$

$\Rightarrow yx(z+2)=y^{2}\geq 0$

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

MSS30 canhhoang30011999

ĐKXĐ $x\geq 1$

$pt\Leftrightarrow 2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x-1}\sqrt{x^{2}+x+1}$

đặt $\sqrt{x-1}=a(a\geq 0),\sqrt{x^{2}+x+1}= b(b\geq \sqrt{3})$

Phương trình trở thành

$3a^{2}-7ab+2b^{2}= 0$

$\Leftrightarrow (3a-b)(a-2b)= 0$

với $3a= b\Rightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Leftrightarrow 9x-9=x^{2}+x+1$

$\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0$

$\Delta '=(-4)^{2}-10=6$

 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$x_{1}= 4+\sqrt{6}$(thỏa mãn)

$x_{2}= 4-\sqrt{6}$ (thỏa mãn)

với $a=2b\Rightarrow \sqrt{x-1}=2\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Leftrightarrow x-1=4x^{2}+4x+4$

$\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+5= 0$

$\Delta = 3^{2}-4.5.4=-71< 0$

nên phương trình vô nghiệm

vậy tập nghiệm phương trình $S= \left \{ 4+\sqrt{6};4-\sqrt{6} \right \}$

      d =10

     S =17+10.3=47

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

MSS 30:canhhoang30011999

$pt\Leftrightarrow 2x^{2}+5x-1=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$(ĐKXĐ $x\geq 1$)

Đặt $\sqrt{x-1}=b$($b\geq 0$)

$\sqrt{x^{2}+x+1}=a$$(a> 0)$

Phương trình trở thành

$3b^{2}+2a^{2}-7ab=0$

$\Leftrightarrow 3b^{2}-6ab-ab+2a^{2}= 0$

$\Leftrightarrow$$(b-2a)(3b+a)= 0$

$\Leftrightarrow b-2a=0$ (do 3b+a>0)

$\Leftrightarrow b=2a$

với b=2a thì$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Leftrightarrow x-1=4(x^{2}+x+1)$

$\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+5=0$

$\bigtriangleup= 3^{2}-4.5.4= -71< 0$

nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm

  Làm sai

 

 

73) $x^3+3x^2-3\sqrt[3]{3x+5}=1-3x$

 

73

đặt $\sqrt[3]{3x+5}=y+1$

ta có hệ 

$\left\{\begin{matrix} &3x+5=y^{3}+3y^{2}+3y+1 & \\ & 3y+3=x^{3}+3x^{2}+3x-1 & \end{matrix}\right.$

trừ vế vế là ra

 

 

 

70) $\sqrt{3x-2}+4x^2-21x+22=0$

 

 

 

70

$pt\Leftrightarrow \sqrt{3x-2}=-(2x+4)^{2}+5x-6$

đặt $\sqrt{3x-2}=2y+4$

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} & -(2x+4)^{2}+5x-6=2y+4 & \\ & (2y+4)^{2}=3x-2& \end{matrix}\right.$

đến đây cộng vế vế

 

 

69) $2\sqrt{2x-1}=x^2-2x$

 

 

69

$pt\Leftrightarrow 2x-1+2\sqrt{2x-1}+1= x^{2}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}+1)^{2}= x^{2}$

đến đây dễ rồi

@Viet Hoang 99
Chú ý:
1.Chỉ trích dẫn đề bài mà mình làm thôi.

2.Đây chỉ là cách 1 thôi, mình muốn nói tới cách giải như lý thuyết bên trên

 

Giải hệ phương trình :

 

$\left\{\begin{matrix}x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & & \\ 8y^{2}+x^{2}=12 & & \end{matrix}\right.$

 

Viết ngoặc hệ phương trình ở góc bên phải ấy.

 

thay (2) vào (1) ta có

$x^{3}+2xy^{2}+(8y^{2}+x^{2})y= 0$

$\Leftrightarrow x^{3}+x^{2}y+2xy^{2}+8y^{3}= 0$

đến đây thì dễ rồi

Bài 150: CMR với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có:

$\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}\geq 3$

Bài 151: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3$

Bài 152: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tùy ý. CMR:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

Bài 153: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta luôn có:

$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

Bài 154: Cho $a,b,c>0$. CMR:

$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

Bài 155: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta đều có:

$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b}\leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Bài 156: Cho biểu thức $P=(\frac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}).\frac{4\sqrt{x}}{3}$ với $x\geq 0$.

Tìm max và min của P

P/s: Đây, mình còn một đống bài tập chưa có lời giải đây! Mệt     

155

$\frac{4}{2(a+3b)}+\frac{1}{b+3c}+\frac{16}{4(c+3a)}\geq \frac{49}{14a+2b+2c}$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Bài đấy mình giải thế này không biết có được không :

$\sqrt[3]{2x+2}+\sqrt[3]{x-2}=\sqrt[3]{9x}$
$\Leftrightarrow 2x+2+3\sqrt[3]{(2x+2)(x-2)}(\sqrt[3]{2x+2}+\sqrt[3]{x-2})+x-2=9x$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(2x+2)(x-2)}(\sqrt[3]{2x+2}+\sqrt[3]{x-2})=2x$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(2x+2)(x-2)}\sqrt[3]{9x}=2x$
$\Leftrightarrow 5x^{3}-9x^{2}-18x=0$
$\Leftrightarrow x=0;x=3;x=\frac{-6}{5}$

 

Ngoài ra còn cách nào khác nữa không ?

 

Cuối cùng giúp mình bài này nữa nha :

 

 $3x^{2}+11x-1=13\sqrt{2x^{3}+2x^{2}+x-1}$ (cách khác cách bình phương 2 vế nha)

đoạn này là suy ra nhé

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{(a+3)^{2}}{3a^{2}-6a+9}$

Ta đi c/m $\frac{(a+3)^{2}}{3a^{2}-6a+9}\geq \frac{5}{6}(a-1)+\frac{8}{3}$(BĐTĐ)

Bạn coi lại đoạn ta cần cm đi

19.

pttd: $\sqrt{x^2-1}+\sqrt{2x^2+8x+6}-(2x+2)=0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2-1}-\frac{2(x^2-1)}{\sqrt{2x^2+8x+6}+(2x+2)}=0\Rightarrow \sqrt{x^2-1}=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=-1 & \\ x=1& \end{bmatrix}$

bạn thiếu th

$\frac{2}{2}-\frac{2}{\sqrt{2x^{2}+8x+6}+2x+2}= 0$$\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}+8x+6}+2x+2=2$

bầu cho 001 giải hot boy