BẠN oi C o dau the

http://diendantoanho...-p8k1/?p=374335

cach lam o day ne

$cho a,b,c la 3 số thực ko am thoa man a^2+4b^2+9c^2=14.CMR:3b+8c+abc\leq 12$$cho a,b,c la 3 số thực ko am thoa man a^2+4b^2+9c^2=14.CMR:3b+8c+abc\leq 12$

$\dpi{150} \small \:Dat \:b _{n}=\frac{1}{u_{n}}\rightarrow \:b_{1}=2 \:va \: b_{n+1}=b_{n}^2-b_{n}+1\rightarrow \frac{1}{b_{n+1}-1}=\frac{1}{b_{n}(b_{n}-1)}=\frac{1}{b_{n}}-\frac{1}{b_{n}-1}\rightarrow \frac{1}{b_{n}}=\frac{1}{b_{n-1}}-\frac{1}{b_{n+1}-1}\ \:Ta \:có \::\sum_{i=1}^{n} u_{i}=u1+u2+...+un=\frac{1}{b_{1}}+\frac{1}{b_{2}}+.....+\frac{1}{b_{n}}= \frac{1}{b_{1}-1}-\frac{1}{b_{2}-1}+\frac{1}{b_{2}-1}-\frac{1}{b_{3}-1}+.....+\frac{1}{b_{n}-1}-\frac{1}{b_{n+1}-1}=\frac{1}{b_{1}-1}-\frac{1}{b_{n+1-1}}=\frac{1}{2-1}-\frac{1}{b_{n+1}-1}< 1\rightarrow dpcm\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$Vơi x1,x2,....,xn;a1,a2,.....an\geq 0.Ta co:x1a1+x2a2+....xnan\geq (x1+x2+....+xn)(a1^x1.a2^x2.....an^xn)^{\frac{1}{a1+a2+....an}}$

Ta \; co\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;(m-n)^3+(m+n)^3=2m^3+6mn^2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;Ta \;tim \;nghiem \;\; \;co \;dang \; (x,y,z,t)=(a-b,a+b,\frac{c}{2}-\frac{d}{2},\frac{c}{2}+\frac{d}{2})\; voi\;a,b,c,d \;la \;cac \;so \;nguyen \;.De \;thay \;(x,y,z,t)=(10,10,-1,0) \; la\;1 \;nghiem \;.Ta \; se\; tim\; nghiem\;voia=10 \;va \;c=1 co \; dinh\;. \;De \; thay\;(x,y,z,t)=(10-b,10+b,\frac{-1}{2}-\frac{d}{2},\frac{-1}{2}+\frac{d}{2}) \; la\;nghiem \;cua \;phuong \;trinh \;da \;cho\Leftrightarrow (2000+60b^2)-\frac{1+3d^2}{4} =1999\;hay \; \;d^2-80b^2=1 \;.De \;thay \; phuong\; trinh\:Pell \: d^2-80b^2=1\: co\:nghiem \:nguyen \:duong \:nho \:nhat \:la \:(d1,b1)=(9,1) \: .Do\:Pt \:Pell \:co \:vo \:so \:nghiem \: nen\:Pt \: da\:cho \:cung \:\:co \: vo\: so\:nghiem\\rightarrow dpcm \: \:

$\dpi{150} \small \: Theo\:dly \:Vi-et \: ta\:co \:: \:x1+x2=-7,x1.x2=-1 \:.Ta \:CM \:cau \:a \:theo \\:qui \:nap \: .\: Ta\: co\: :\:voi \:n=2 \: thi\: S2=(x1+x2)^2-2x1x2=49+2=51\:la \:so \: nguyen\: ,\: voi\:S3,S4 \: cung\:nhu \:vay \:. \:Gia \:su \: menh\: de\:dung \: voi\: n=k\:\rightarrow Sk \:la \:so \: nguyen\:.Menh \: de\: dung\: voi\:n=k \:\rightarrow \:menh \:de \: cung\:dung \:voi \:n=k-1 \:. \:Ta \: co\: Sk-1.Sk+1=(x1^{k-1}+x2^{k-1})(x1^{k+1}+x2^{k+1})=x1^k+x2^k+x1^{k-1}.x2^{k-1}(x1^2+x2^2)=VP\.:Theo \:qui \: nap\: \rightarrow \: VP\:la \:so \:nguyen \:\rightarrow Sk+1 \:la \:so \: nguyen\rightarrow dpcm$

$\dpi{150} \small \:Ta \:co \::x1+x2=-7,x1.x2=1 \: \rightarrow x1\: va\:x2 \: khong\:chia \:het \:cho \:7 \:.Do \: do\: ap\: dung\:dinh \: ly\:Fecma \:, \:ta \:co \:x1^6\equiv 1(mod7) \:\rightarrow (x1^6)^{335}\equiv 1(mod7)\:\rightarrow x1^{2010}\equiv 1(mod7) \: Tg\:tu \:x2^{2010}\equiv 1(mod7) \:\rightarrow x1^{2010}+x2^{2010}\equiv 2(mod7) \:\rightarrow \:x1^{2010}+x2^{2010}=7k+2\rightarrow \:(x1^{2010}+x2^{2010})(x1^3+x2^3)=x1^{2013}+x2^{2013}+(x1x2)^3(x1^{2007}+x2^{2007})=(7k+2)(x1^3+x2^3)\: \:Ta \:co \:(x1x2)^3(x1^{2007}+x2^{2007}=-1(x1+x2)(x1^{2006}-x1^{2005}+.....+x2+1)=7(x1^{2006}-x1^{2005}+.....+x2+1)\vdots 7 \:,(7k+2)(x1^3+x2^3)\vdots 7 \:\rightarrow \:x1^{2013} +x2^{2013}=S2013\vdots 7\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

hinh nhu ban nham đe

phai la 2010 chứ

Bài này khá dài (hình hơi lớn nên để vào spoiler), nói chung là làm theo các ý sau:

Spoiler

Ảnh chụp màn hình_2014-02-09_160822.png

Kí hiệu lại điểm $(X,Y,Z) \equiv (D,E,F) ; P \equiv X$

Gọi giao điểm $(AXD), (BXE), (CXF)$ với $(O)$ lần lượt là $P,Q,R$

$AP, BQ, CR, (O)$ cắt $\overline{D,E,F}$ lần lượt tại $D_0, E_0, F_0, U, V$
Chú ý rằng $(D,D_0,U,V) = (E,E_0,U,V) = (F,F_0,U,V) = -1$
Từ đó có $AP, BQ, CR$ đồng quy tại $Y$

$X$ và $Y$ có cùng phương tích với 3 đường tròn nên ta có điều phải chứng minh

Tôi dùng cách tỉ số phương tích với meneleuyt

Gọi $R$ là bán kinh đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKM,BLK,CML$.

Ta có: $KL=2RsinB,\; LM=2RsinC,\; MK=2RsinA$

$\Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta KLM$

và $S_{AKM}=S_{BKL}=S_{CLM}=\frac{2}{9}S_{ABC}$

$\Rightarrow KM=\frac{1}{\sqrt{3}}a.$

Áp dụng định lí hàm số cos, ta có:  $a^2=b^2+c^2-2bccosA$

$\Rightarrow \frac{1}{3}a^2= \frac{4}{9}b^2+\frac{1}{9}c^2-2.\frac{2}{3}.\frac{1}{3}cosA$

$\Rightarrow a^2+c^2=2b^2.$

Bằng cách tương tự $\Rightarrow  b^2+c^2=2a^2,a^2+b^2=2c^2$

$\Rightarrow a=b=c$

$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều (đpcm)

$\;Goi \;MN\cap BC=K. \;Ta \se \; CM:\;E,F,K \;thang \; hang.\; That \;vay \; :\;Ap \;dung \; dly\; Meneleuyt\; cho\;tam \;giac \;XBC \;voi \;(M,N,K) \;ta \;co: \frac{\overline{KC}}{\overline{KB}}.\frac{\overline{MB}}{\overline{MX}}.\frac{\overline{NX}}{\overline{NC}}=1\; . Mat\;khac \;duong \;tron \;noi \; tiep\;\Delta XBC \;tx \;BC \;tai \;D\rightarrow \;\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}.\frac{\overline{MB}}{\overline{MX}}.\frac{\overline{NX}}{\overline{NC}}=-1 \; va\;trong \; tam\; giac\;ABC \;co \;\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}.\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} .\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}}=-1\rightarrow \;theo \; \;Meneleuyt \; thi\;E,F,K \; thang\; hang\; Tu \;day, \;ta \;co \;KD \; la\;tiep \;tuyen \;chung \; cua\;(ABC) \;va \;(XBC) \rightarrow KD^2=\overline{KM}.\overline{KN}=\overline{KF}.\overline{KE}\rightarrow \;4 \;diem \; \;E,F,M,N \;dong \;vien \; \rightarrow dpcm$

toi tuong=1

$\dpi{150} \:Day \:la \: cach\:lam \:cau \: c)\: cua\:minh. \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:Goi \:J \: la\: giao\: diem\:cua \: XT\:va \:YZ, \:theo \: dly\: \:Tales \: co\:: \:\frac{IT}{IC}= \frac{MT}{MB}=\frac{ZT}{AB}= \frac{ZT}{CD}= \frac{TJ}{CO}\(do\Delta JTZ\: va\: \Delta OCD\:la \:2\Delta \:vuong \:can \: ): \: \: \: \: \: \; \; \; \;Mat\neq TJ \;song \; song\;voi \;CO\rightarrow T,J,O \; thang\; hang\;\rightarrow XT,YZ,OI dong \; qui\; \; \; \; \; \; \;Goi \; H\;la \;giao \; diem\; EM\;voi \; AB\;(E\: la\:giao \:cua \:dt \:qua \: M\: vuong\:goc \: voi\:CD \:va \:duong \:tron ),ta \;co \;\frac{IJ}{IO}=\frac{IT}{IC}=\frac{MT}{MB}=\frac{MI}{MH}=\frac{IK}{IE}(de\:y \:rang \: K\:va \: M\:dx\:nhau \:qua \:CD \: \: ) \;.Vay \; JK\;song \;song \;voi\:OE \:\rightarrow \frac{JK}{OE} = \frac{IJ}{IO}= \frac{JT}{OC}\:,ma \;OE=OC\rightarrow DPCM$

$\dpi{150} \small b) Theo cau a ta co:BI la phan giac \angle B\rightarrow I la tam duong tron noi tiep \Delta ABC\rightarrow AI di qua diem chinh gia cung BC cố dinh\rightarrow dpcm$

$\dpi{120} \small Pt\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x+7}{x+1}}-\sqrt{2x-1}=2x^2-8\Leftrightarrow \frac{(x+7)-(2x-1)(x+1)}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}}= 2x^2-8\Leftrightarrow \frac{8-2x^2}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}}= 2x^2-8\Leftrightarrow (2x^2-8)(1+\frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}})=0\Leftrightarrow 2x^2-8=0\Leftrightarrow x=2.Vậy x=2 la nghiem duy nhat cua phuong trinh$

$Coi phương trình 1 la phuong trinh bac hai an x , ta co: \Delta (1)=4-4y^4\geq 0\rightarrow -1\leq y\leq 1 Phương trinh (2)\Leftrightarrow 2(x-1)^2+1+y^3=0 Do y\geq 1\rightarrow y^3+1\geq 0,lai co 2(x-1)^2\geq \rightarrow 2(x-1)^2=0 va y^3+1=0\rightarrow x=1,y=-1$

$Đặt P la biểu thức ở vế trái cua BDT cần cm Áp dụng BDT \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z},với mọi x,y,z>0 ta có: P=\frac{1}{x(1-x)}+\frac{1}{y(1-y)}+\frac{1}{z(1-z)}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x})+(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y})+(\frac{1}{z}+\frac{1}{1-z})=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z})\geq \frac{9}{x+y+z}+\frac{9}{3-(x+y+z)} Chú y rang $0\leq x,y,z\leq \frac{1}{2}.Đăt S=x+y+z ta co P\geq \frac{9}{S}+\frac{9}{3-S}=\frac{27}{S(3-S)}= \frac{27}{\frac{9}{4}-(\frac{3}{2}-S)^2}.

ta có$(a^{3}+b^{2}+c)(\frac{1}{a}+1+c)\geq (a+b+c)^{2}\rightarrow \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq \frac{1+a+ac}{(a+b+c)^{2}}$ tương tự và chú ý rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c$

cach nay hay that

BAI 1 phai la n khac 0 moi dc

$\dpi{150} \small Ta có:\angle DIB=\frac{\angle C}{2}+\angle IBC(1),\angle DIB=\frac{180-\angle A}{2}=\frac{\angle B+\angle C}{2}(2).Tu (1),(2)\rightarrow BI la phan giac \angle B\rightarrow cung AK=cung KC\rightarrow \Delta KAC cân$

$\dpi{150} \small Dat \sqrt[3]{12-x}=a,\sqrt[3]{14+x}=b.Ta co:\left\{\begin{matrix} & a+b=2(1) & \\ & a^3+b^3=26(2) & \end{matrix}\right.(1)\rightarrow a=2-b,thay vao (2),ta co:(2-b)^3+b^3=26\Leftrightarrow 8-12b+6b^2=26\Leftrightarrow 6b^2-12b-18=0\Leftrightarrow 6(b-3)(b+1)=0\rightarrow b=3, a=-1 hoac b=-1,a=3\rightarrow x=13 hoac x=-15$

$\dpi{150} \small PT\Leftrightarrow \sqrt{x-4}-1-(\sqrt{6-x}-1)=2x^2-10x-3x+15\Leftrightarrow \frac{x-5}{\sqrt{x-4}+1}-\frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}=(2x-3)(x-5)\Leftrightarrow (x-5)(\frac{1}{\sqrt{x-4}+1}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}-2x+3)=0\Leftrightarrow x=5$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a+b}}{c}+\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}\geq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$