nghiệm là 2 đặt nhân tử (x-2)^2 , còn lại chuyển 1 vế nhân liên hợp

  cho x, y, z là các số dương và  $x+y+z\leq 1$ . Cmr

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

MOD: Chú ý tiêu đề

   cho a,b là các số dương thỏa mãn a²+b²=5. CMR

$a^{3}+b^{6}\geq 9$

 sử dụng bdt cauchy-schwarz vế trái , quy đồng vế phải ta đưa bdt đã cho về CM $\frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+zx}\geq \frac{5(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^{2}}$ , bdt này thuần nhất nên chuẩn hoá $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2}$ , thay vào và rút gọn ta được bất đẳng thức trở thành CM $(x+y+z)^{2}\leq 3$ (luôn đúng do $(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) =3$ )

  Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 .CMR

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

MOD: Chủ đề bị khoá do không đúng tiêu đề

Ta đi cm $\frac{x}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}\Leftrightarrow 3\sqrt{3}x^{3}-3\sqrt{3}x+2\geq 0\Leftrightarrow (\sqrt{3}x-1)^{2}(\sqrt{3}x+2)\geq 0$ (luôn đúng). Thiết lập các bđt tương tự cộng vào được điều phải cm

Từ GT suy ra: $3\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 4$

$P=\sum \frac{a^{4}}{a^{2}b+2a^{2}c}\geqslant \frac{(\sum a^{2})^{2}}{a^{2}b+2\sum a^{2}c}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3(\sqrt{\sum a^{2}}\sqrt{\frac{(\sum a^{2})^{2}}{3}})}=\sqrt{\frac{\sum a^{2}}{3}}\geqslant 1$

từ GT suy ra như thế nào bạn , tớ quan tâm mỗi cái đấy

cho a,b,c dương thỏa mãn $3(a^{4}+b^{4}+c^{4})-7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12=0$ . Tìm Min

P=  $\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{c+2a}$

   Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr

  $\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$

cho x,y,z dương.CMR

$\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(y+z)^{3}}\geq \frac{1}{3}$

   cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR

$\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}$

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$ mà bạn

 cho a,b,c là các số dương a,b # 0 , ab=1.CMR:

$\frac{4}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq 4$

 cho a,b,c là các số thỏa mãn abc=1. Cmr

$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

  cho a,b,c,d dương thỏa mãn $\frac{1}{2+a^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}}+\frac{1}{2+d^{2}}=1$

 CMR $(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})(\frac{1}{b}+\frac{1}{d})\leq \frac{4}{\sqrt{3}}$

   Cho a, b, c > o thỏa mãn a+b+c=1.Cmr

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\leq \frac{1}{2}$

cho $x,y,z\epsilon \sqsubset 1;2\sqsupset$ .Tìm Max :

$A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

    cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Cmr  

$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ac}{a^{5}+c^{5}+ac}\leq 1$

  Dùng pp điều kiện cần , điều kiện đủ. Đk cần : giả sử hệ cho có cặp nghiệm duy nhất (x,y) , suy ra (-x,-y-2) là nghiệm của hệ , dẫn tới hệ có nghiệm duy nhất khi x=0, y=-1 , từ đây suy ra a . Đk đủ là thay a vừa tìm đc rồi giải hệ .

ho a, b, c là các số thực tùy ý. Cmr

$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

cho $\mathbb{P}x=(1+x+x^{2})^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n}x^{2n}$ .Tính  tổng:

 $S=a_{0}+a_{2}+...+a_{2n-2}+a_{2n}$

   Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 .CMR

$\frac{1}{4a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{4b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{1}{4c^{2}+a^{2}+b^{2}}\leq \frac{1}{2}$

 cho a,b,c là các số thực dương:

CMR:

$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

     Giải hệ phương trình:

Bất đẳng thức này có xảy ra dấu '' = " ko bạn