Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{2}=\frac{697}{81}\\ x^{2}+y^{2}+xy-3x-4y+4=0 \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:

a) Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}=\frac{3}{2}$

Chứng minh: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{3}{2}$

 

Có lẽ câu này dễ quá nên không ai buồn làm chăng?? 

Áp dụng BĐT Cô-si: 

$a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}\leq\sum \frac{a^{2}+1-b^{2}}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a^{2}=1-b^{2}\\ b^{2}=1-c^{2}\\ c^{2}=1-a^{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{3}{2}$

 

Câu 3:

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}=14x-3x^{2}+8$

b) Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ x+y=5-x^{2} \end{matrix}\right.$

 

xin lỗi mọi người vì trí nhớ kém nên ghi sai đề 

xin phép làm câu b

$(1)\Leftrightarrow (x+y)^{2}-2xy(1-\frac{1}{x+y})=1 \Leftrightarrow (x+y-1)(x+y+1)-2xy.\frac{x+y-1}{x+y}=0 \Leftrightarrow (x+y-1)(x+y+1-\frac{2xy}{x+y})=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+y=1\\ x^{2}+y^{2}+x+y=0 \end{bmatrix}$

Nếu $x+y=1\Rightarrow 5-x^{2}=1\Rightarrow \begin{bmatrix} x=2\\ x=-2 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=-1\\ y=3 \end{bmatrix}$

Nếu $x^{2}+y^{2}+x+y=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+5-x^{2}=y^{2}+5=0$  (loại)

Vậy $(x;y)\in \begin{Bmatrix} (2;-1);(-2;3) \end{Bmatrix}$

TrườngTHCS Lâm Thao

Đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015

Câu 1:

a) Tìm các số hữu tỉ $n$ để $n^{2}-n+13$ là số chính phương

b) Tìm nghiệm nguyên của pt $x^{2}+xy+y^{2}=2x+y$

Câu 2:

a) Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}=\frac{3}{2}$

Chứng minh: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{3}{2}$

b) Cho a là nghiệm của phương trình $x^{2}-6x+1=0$  . Tính $a^{5}+\frac{1}{a^{5}}$

Câu 3:

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}=14x-3x^{2}+8$

b) Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ x+y=5-x^{2} \end{matrix}\right.$

Câu 4:Cho đường tròn $(O;R)$ có dây cung $AB=R\sqrt{2}$ cố định. Một điểm $P$ chạy trên đoạn $AB$. Dựng đường tròn $(C;R_1)$ đi qua $P$ và tiếp xúc $(O)$ tại $A$, đường tròn $(D;R_2)$ đi qua $P$ và tiếp xúc $(O)$ tại $B$. Hai đường tròn $(C)$ và $(D)$ cắt nhau tại điểm thứ hai $M$

a) Khi $P$ không trùng với trung điểm $AB$, chứng minh $OM$ song song với $CD$ và $O, M, C, D$ cùng thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh khi $P$ chạy trên $AB$ thì đường thẳng $MP$ luôn đi qua điểm cố định $N$

c) Tìm vị trí $P$ để $PM.PN$ đạt giá trị lớn nhất? Diện tích tam giác $ABM$ lớn nhất

Câu 5: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $2ab+6bc+2ca=7abc$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{4c+a}+\frac{4bc}{b+c}$

Cho pt $x^2-2x-2m^2=0$.tìm m để pt có 2 nghiệm (x;y) x,y khác 0 và thỏa mãn $x_1^2=4x_2^2$

$\Delta '=1+2m^{2}> 0\Rightarrow$ pt có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viet:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=2\\ x_{1}.x_{2}=-2m \end{matrix}\right. \Rightarrow (x_{1}-2x_{2})(x_{1}+2x_{2})=0 \Leftrightarrow (2-3x_{2})(2+x_{2})=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x_{2}=\frac{2}{3}\\ x_{2}=-2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x_{1}=\frac{4}{3}\\ x_{1}=4 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} m=\frac{-4}{9}\\ m=-4 \end{bmatrix}$

Ko mất tính tổng quát giả sử $\frac{a}{b}\leq \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}\leq \frac{a+c}{b+d}=1\leq \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}\leq 1$

- Nếu $c\leq 48\Rightarrow \frac{c}{d}\leq 48\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\leq 48$

- Nếu c = 49 => a = 1 => $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=49+\frac{1}{49}$

Vậy Max =$49\frac{1}{49}$. Dấu = khi a = d =1; b = c =49

chỗ này là 49 đúng không? 

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng $\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

BĐT đã cho tương đương với

$\frac{a+b+c}{\sqrt{a}}+\frac{a+b+c}{\sqrt{b}}+\frac{a+b+c}{\sqrt{c}}\geq2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3$ 

Ta có:

$\sum \frac{a+b+c}{\sqrt{a}}\geq (a+b+c)\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\geq \frac{3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3$$\geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

P/s: TL: chú ý Latex, sd soạn thảo đầy đủ trước khi đăng bài .

Thân!

$PT\Leftrightarrow x=(5-x^2)^2=25-10x^2+x^4\Rightarrow x^4-10x^2-x-25=0$

Nghiệm lẻ.

 

Nếu đề là $x^2+\sqrt{x+5}=5$ thì ẩn phụ $\Rightarrow $ hệ đẳng cấp

cậu giải tiếp cái bậc 4 được không?? Không biết làm

Xác định đa thức bậc 7 f(x) có hệ số nguyên và có $\sqrt[7]{\frac{3}{5}}+\sqrt[7]{\frac{5}{3}}$ là 1 nghiệm

Cách khác (của Mr Toàn Shinoda )

Đặt $\sqrt[7]{\frac{3}{5}}=a; \sqrt[7]{\frac{5}{3}}=\frac{1}{a} \Rightarrow x=a+\frac{1}{a}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2=x^{2}\\ a^{3}+\frac{1}{a^{3}}+3x=x^{3} \end{matrix}\right. \Rightarrow x^{5} =(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2)(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}+3x)=a^{5}+\frac{1}{b^{5}}+3x(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})+2(a^{3}+\frac{1}{a^{3}})=a^{5}+\frac{1}{a^{5}}+5x^{3}-12x\Rightarrow x^{7}=(a^{5}+\frac{1}{a^{5}}+5x^{3}-12x)(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2)=...$

Thay vào như trên chắc là ra

1.$A_{n}=2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$
với n=0,1,2,.....,1999
Tìm UCLN của $A_{0},A_{1},...A_{1999}$
2.Tìm n nguyên dương : $n.2^{2n+1}+1$ là số chính phương
3.Tìm các số tự nhiên a,b : $2^{a}.3^{b}+9$ là số chính phương
4.Tìm số chính phương dạng $\overline{abcdd}$
5.Tìm n nguyên dương: $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ là số hữu tỉ
6.Tìm n nguyên dương: n không chia hết cho 10, n>1000, n là lập phương của 1 số và khi xóa đi 3 chữ số tận cùng nó vẫn là lập phương
7.Cho $a_{1},...a_{10}$ nguyên dương phân biệt : $a_{1}+...+a_{10}$=62.CMR :$a_{1}...a_{10}\vdots 60$
8.Tìm số nguyên tố p để tồn tại x,y nguyên dương thỏa mãn: $x(y^{2}-p)+y(x^{2}-p)=5p$
9.Cho a,b,c là các số nguyên lẻ.CMR: PT $ax^{2}+bx+c=0$ không có nghiệm hữu tỉ
10.Tìm một dãy dài nhất các số nguyên dương liên tiếp: mỗi một số trong dãy có thể viết được thành tổng 2 số nguyên tố (các số nguyên tố có thể trùng nhau)
11.Cho 9 số nguyên tố >5.CMR luôn tồn tại 6 số $a_{1},...a_{6}$ mà $(a_{1}-a_{2})(a_{3}-a_{4})(a_{5}+a_{6})\vdots 1800$
12.Cho $p_{1}=5$,$p_{n}$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của
$A_{n}=1+p_{1}...p_{n-1}$
CMR: $p_{n}\neq 7$ với mọi n

9) Để pt có nghiệm hữu tỉ thì $\Delta$ là số chính phương

Ta có $\Delta =b^{2}-4ac$

b là số lẻ $\Rightarrow b^{2}\equiv 1 (mod 8)$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=2a'+1\\ c=2c'+1 \end{matrix}\right.$  (ĐK a';c' là số nguyên)

$\Rightarrow 4ac=4(2a'+1)(2c'+1)=16a'.c'+8a'+8c'+4\equiv 4 (mod 8) \Rightarrow \Delta =b^{2}-4ac\equiv 5 (mod 8)$  không là số chính phương

=> pt không có nghiệm hữu tỉ

Giải hệ phương trình với x;y dương: $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ 8(x^{4}+y^{4})+\frac{1}{xy}=5 \end{matrix}\right.$

Cho a;b là các số thập phân 

Chứng minh: $A=\left [ 2a \right ]+\left [ 2b \right ]\geq \left [ a \right ]+\left [ b \right ]+\left [ a+b \right ]$

(Đề thi Ams-CVA một năm nào đó)

Ta thấy : $(x+2)^{4}-x^{4}-8x\vdots 4\Rightarrow y^2\vdots 4\Rightarrow y=2k$

Ta có : $y^2=\left ( x^2+1+x \right )\left ( x+2 \right ).8\Rightarrow k^2=2\left ( x+2 \right )\left ( x^2+x+1 \right )=\left ( x^2+x+1 \right )\left ( 2x+4 \right )$

Gọi $d=\left ( 2x+4,x^2+x+1 \right )\Rightarrow 2x^2+2x+2-\left ( 2x+4 \right )x=2-2x\vdots d\Rightarrow 6\vdots d\Rightarrow d\epsilon \left \{ 1;2;3;6 \right \}$

Ta có bài toán phụ sau : $ab=c^2$ với $a,b,c$ là các số nguyên không âm$\Rightarrow a,b$ là số chính phương

Với $d=1\Rightarrow x^2+x+1,2x+4$ là số chính phương $\Rightarrow x=0$

Với $d=2\Rightarrow \frac{x^2+x+1}{2},\frac{2x+4}{2}\Leftrightarrow 2x^2+2x+2,x+2$ là số chính phương vô nghiệm vì $2(x^2+1+x)$ không chia hết cho 4

Với $d=3\Rightarrow \frac{x^2+x+1}{3},\frac{2x+4}{3}\Leftrightarrow 3\left ( x^2+x+1 \right ),6x+12$ là số chính phương ....

Với  $d=6\Rightarrow \frac{x^2+x+1}{6},\frac{2x+4}{6}\Leftrightarrow 6\left ( x^2+x+1 \right ),12x+24$ là số chính phương vô nghiệm vì $6(x^2+1+x)$ không chia hết cho 4

phải có a;b;c nguyên tố cùng nhau chứ!!

Làm vội vã quá. Chắc gì (3) có 2 nghiệm pb thì (2) có 4 nghiệm pb? Lỡ thay giá trị y vào phép đặt ko tìm được x thì sao? 

Thay vào thì luôn có nghiệm mà 

Giả sử nghiệm là $y_{1}\Rightarrow x^{2}-xy_{1}-1=0\Rightarrow \Delta =y_{1}^{2}+4> 0$

Giả sử $a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq a_{n} \Rightarrow a_{1}\geq 1;a_{2}\geq 2;a_{3}\geq 3;...;a_{n}\geq n \Rightarrow \frac{1}{a_{1}^{2}}+\frac{1}{a_{2}^{2}}+...+\frac{1}{a_{n}^{2}}\leq 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}$

Xét số hạng tổng quát 

$\frac{1}{k^{2}}\leq \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \Rightarrow \frac{1}{a_{1}^{2}}+\frac{1}{a_{2}^{2}}+...+\frac{1}{a_{n}^{2}}\leq 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}\leq 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}< 1$

Vậy đẳng thức ko xảy ra

gọi an là đồng dư số cờ mà người n ( gọi tên sao tùy) giữ vậy ban đầu mỗi người có đồng dư số cờ khi mod 3 là (1;1;1;1;1;1;........;1) Sau đó nếu hữu hạn lần chuyển tất cả cờ về 1 người thì lúc này đồng dư trở thành (1;0;0;0;0;0;0;0;....;0) Vô lý vì đây là đại lượng bất biến đồng dư

có thể làm rõ ràng hơn được không ạ?? đại lượng bất biến ở trong bài này là gì thế?

ĐK $x\geq 1;y\geq 1$ 

Áp dụng BĐT Cô-si:

$\left\{\begin{matrix} 2x\sqrt{y-1}\leq \frac{x^{2}+4y-4}{2}\\ 2y\sqrt{x-1}\leq \frac{y^{2}-4x+4}{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow 2x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}-x^{2}-y^{2}\leq \frac{x^{2}+y^{2}+4x+4y-8}{2}-x^{2}+y^{2} \Leftrightarrow -(x^{2}+y^{2}-4x-4y+8)\geq 0 \Leftrightarrow (x-2)^{2}+(y-2)^{2}\leq 0$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=2

thay vào pt(2) thỏa mãn

Vậy (x;y)=(2;2)

Toán chuyên SP thì a đc 7 điểm . Toán thường cũng 7 nốt=))))))))

một anh ở SP bảo em là năm nay SP lấy điểm sàn chuyên là 7 hả anh? Anh Black Selena cho em hỏi với 

giải phương trình nghiệm nguyên 

a, 3x²-4y²=13

 

a) $4(x^{2}-y^{2})=13+x^{2}\Rightarrow 13+x^{2}\vdots 4\Rightarrow x^{2}\equiv 3(mod 4)$  

Mà số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư là 0; 1

=> pt vô nghiệm 

$\boxed{\text{Đề 7}}$ Năm $2001$ (Dành cho thí sinh chuyên tóan)

 

Câu $1$: CMR biểu thức:

 

$\left ( \left | \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2} \right |-\left | x \right | \right )+\left ( \left | \sqrt{xy}-\frac{x+y}{2} \right |-\left | y \right | \right )$

 

không phụ thuộc vào $x,y$.

 

 

$xy\geq 0\Rightarrow$ x;y cùng dấu. Đặt biểu thức đã cho là A

Nếu x=y=0 thì A= 0

Nếu $x;y> 0\Rightarrow A= \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2} \Rightarrow A=\sqrt{xy}+\frac{x+y}{2}-x+\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}-y=0$

Nếu $x;y< 0\Rightarrow \left | x+y \right |\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow x +y> 2\sqrt{xy}\Rightarrow\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\\ \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2}> 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow A=-\sqrt{xy}-\frac{x+y}{2}+x+\sqrt{xy}-\frac{x+y}{2}+y=0$

Vậy A=0

Giải hệ pt: 

1) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=4\\ \sqrt{x+4}+\sqrt{y+4}=6 \end{matrix}\right.$

2) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}+\sqrt{y+1}=4\\ \sqrt{x+4}+\sqrt{y+6}=6 \end{matrix}\right.$

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

$A=\sum \frac{a}{3a+b+c} \Rightarrow 3-2A=(1-\frac{2a}{3a+b+c})+(1-\frac{2b}{3b+a+c})+(1-\frac{2c}{3c+a+b})=(a+b+c)(\frac{1}{3a+b+c}+\frac{1}{3b+a+c}+\frac{1}{3c+a+b})\geq (a+b+c)\frac{9}{5(a+b+c)}=\frac{9}{5} \Leftrightarrow A\leq \frac{3}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}=1\\ x^{3}y+xy+x^{2}=-1 \end{matrix}\right.$

1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

$a) 3^x+1=(y+1)^2$

 

 

a) $3^{x}=y(y+2)$

Vì y và y+2 không đồng thời chia hết cho 3 và y<y+2

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ y+2=3^{x} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=1 \end{matrix}\right.$

Cho biết phương trình $$x^2 + ax + b = 0$$ có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh phương trình $$x^4 + ax^3 + (b-2)x^2 - ax + 1 = 0$$ cũng có 4 nghiệm phân biệt. ( Cả 2 là phương trình ẩn x ).

$x^{2}-ax+b=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow \Delta =a^{2}-4b\geq 0$   (*)

x=0 ko là nghiệm của pt (2)

$\Rightarrow x^{2}+ax+b-2-\frac{a}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow (x-\frac{1}{x})^{2}+a(x-\frac{1}{x})+b=0$

Đặt $x-\frac{1}{x}=y\Rightarrow y^{2}+ay+b=0$  (3)

Kết hợp với (*) => pt (3) có 2 nghiệm phân biệt => pt (2) có 4 nghiệm phân biệt