BE/BC = 2/5

=> BE / CE = 2/3 

bốn điểm A , B , I , C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

=> tứ giác ABIC nội tiếp

=> góc AIB = góc ACB và góc AIC = góc ABC
mà góc ABC = góc ACB

=> góc AIB = góc AIC

=> IA là tia phân giác của góc BIC

theo t/c đường phân giác ta có BI/CI = BE/EC = 2/3

áp dụng công thức: $ r =(p-a)tan\frac{A}{2} =(p-b)tan\frac{B}{2}=(p-c)tan\frac{C}{2} $

(tự làm hoặc tra goole nhé ^^!)

$ \Rightarrow p = \frac{r}{tan\frac{A}{2}} + a = \frac{r}{tan\frac{B}{2}} + b = \frac{r}{tan\frac{C}{2}} + c $

$ \Rightarrow 3p = \frac{r}{tan\frac{A}{2}} +  \frac{r}{tan\frac{B}{2}}  + \frac{r}{tan\frac{C}{2}} + a + b + c $

$ \Leftrightarrow 3p = r(\frac{1}{tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{tan\frac{B}{2}}+\frac{1}{tan\frac{C}{2}}) + 2p $

$ \Leftrightarrow p =  r(\frac{1}{tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{tan\frac{B}{2}}+\frac{1}{tan\frac{C}{2}})   $

Áp dụng công thức S= pr rồi thay p vào ta có:

$ S = r^{2}(\frac{1}{tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{tan\frac{B}{2}}+\frac{1}{tan\frac{C}{2}}) $

$P = a^{6} + \frac{a^{2}b^{2} + ab + 1 }{ a^{2}}$ 

$\Leftrightarrow P = a^{6} + \frac{(ab+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}{a^{2}}$

$\Rightarrow P \geq a^{6} +  \frac{3}{4a^{2}} $

 tới đây áp dụng bđt cô si cho 4 số:  $(\frac{1}{4a^{2}} ; \frac{1}{4a^{2}} ;  \frac{1}{4a^{2}} ; a^{6} )$

Cho x,y thuộc R sao cho x²+y²=1. Tìm Min của biểu thức  : A=$\frac{x^{2}+2xy}{4y^{2}+1}$

@Mod : Chú ý cách đặt tiêu để

$A =  \frac{x^{2}+2xy}{4y^{2}+x^2+y^2}$

xét $y  = 0$ ta có: $x^2 = 1 $ và $A = x^2 = 1$

xét $y \neq 0$. đặt $ t = \frac{x}{y}$

khi đó: $A = \frac{t^2+2t}{5 + t^2} $    (chia cả tử và mẫu cho $y^2$ )

đến đây có lẽ bạn đã làm đc   

nhầm rồi.!!! Mod xóa hộ cái!!!   

$\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)} \geq  \frac{\frac{(x+y)^2}{2}-1}{\frac{(2-x-y)^2}{4}} = \frac{2[(x+y)^2-1]}{(2-x-y)^2}$

xét hàm $f(t) = \frac{t^2-1}{(2-t)^2}$ với $ t \geq 0$

chứng minh được $f(t) \geq f(\frac{1}{2}) $

đặt $a = x^2 + z^2$ và $b = y^2 + t^2$

$m = x + z \leq \sqrt{2(x^2 + z^2)} = \sqrt{2a}$

ta cần tìm max của $a$.

ta có

     $a + b = 25$

và $ab = (x^2+z^2)(t^2+y^2) \geq (xt+yz)^2 = 144$

suy ra: $a(25 - a) \geq 144$

       $ \Leftrightarrow -(a-9)(a-16)\geq 0$

Câu b t làm thế này:

ta co: 

$\frac{AB^{2}}{AC^2} =\frac{BH.BC}{CH.BC} =\frac{BH}{CH}$

theo mình x,y,z dương

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq  \frac{9}{x+y+z} = \frac{3}{2}$

suy ra: $xy+yz+zx \geq \frac{3xyz}{2}$

       $\Rightarrow \frac{4(xy+yz+zx))}{3} \geq 2xyz$

do đó: $xy+yz+zx -2xyz \geq xy+yz+zx -  \frac{4(xy+yz+zx))}{3} =  \frac{-(xy+yz+zx)}{3} \geq \frac{-(x+y+z)^2}{9} = -4 $

cho $a,b,c,d \in  \mathbb{R}$ thỏa:

ta có $ac= \frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{3}{2}a\frac{1}{\sqrt{2}}c$

$\leq \frac{\sqrt{2}}{3}(\frac{9}{4}a^{2}+\frac{1}{2}c^{2})$

tương tự ta có

ac+bd+cd$\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}(a^{2}+b^{2})+$$(\frac{\sqrt{2}}{6}c^{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}cd+\frac{\sqrt{2}}{6}d^{2})+(1-\frac{\sqrt{2}}{3})cd$

$\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{2}+(1-2\sqrt{3})\frac{9}{4}$

hi. mò ra dấu "=" hay thế   !!
đây là cách của t
đặt $y = ac + bd + cd = ac + b(3-c) + c(3-c) = -c^{2} + (a-b+3)c + 3b$

ta có: $ y \leq \frac{-\bigtriangleup }{4a}$ 

hay $y \leq \frac{-(a-b+3)^{2}-12b}{-4}  = \frac{(a+b)^{2}-4ab + 6(a+b)+9}{4} $

ta có: $2ab = (a+b)^{2} - (a^{2}+b^{2}) = (a+b)^{2} - 1$ và $a+b \leq \sqrt {2(a^{2}+b^{2})} = \sqrt {2}$

do đó:

$y \leq  \frac{-(a+b)^{2} + 6(a+b)+11}{4} $

xét $f(t) = \frac{-t^{2} + 6t+11}{4} $ 
từ đó chứng minh đc $y \leq f(t) \leq f(\sqrt {2})= \frac{9+6\sqrt {2}}{4}$  

Cách giải này tự nhiên hơn !!!

Đặt $  a = x- y   (a < 2)  và b = xy $

Biến đổi phương trình thành:

Bài 43:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB < AC$ . Tiếp tuyến tại $A$ cắt $CB$ tại $T$. kẻ đường kính $AD, DB$ cắt $OT$ tại $E$. $CMR: AE // CD$ 

$x^2+xy+y^2=x^2y^2$

$(x+y)^2 = xy(xy+1)$

VT là số CP còn VP là tích của 2 số nguyên liên tiếp

do đó: $xy = 0$  hoặc  $xy+1 = 0$

từ đó tìm đc $x$ và $y$

Chỗ nhân có vấn đề hay sao ấy?Đây nhé:
$(y-x)\geq 1-2x\Rightarrow (y-x)(y+x)\geq (1-2x)(y+x);(y+x)\geq 1\Rightarrow (1-2x)(y+x)\geq 1-2x(????????)$  Biết 1-2x âm dương ra sao?

ukm, t quên. phải xét $x < 1$ và $x >= 1$. sửa rùi đó. xem thử đc hok 

1) Cho $x+y\geq 1;x>0$ Tìm Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$

Em chém bừa vậy   

$D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + y^{2} $

xét $x < 1 \rightarrow y > 0 $

do đó: $ y \geq 1- x \rightarrow y^{2} \geq (1-x)^{2}$ 

$\rightarrow  D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + (1-x)^{2} $

.....

$ => min D = 1,5$

xét $x >= 1$ thì ta có: $y^{2} \geq 0$ . do đó:

 $D \geq  \rightarrow \frac{8x^{2} + 1 - x}{4x} $

cm đc lúc này $min D = 2$ đạt tại $ x = 1$

suy ra $min$ $D = 1,5$

2) Cho x,y >0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$

Tìm Min $B=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$

ta có: $x + y \leq \sqrt {2(x^{2} + y^{2})} = \sqrt{2} $ 

$ B = 2 + x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{x}{y} +\frac{y}{x} $

$ B \geq 2 + 2(x + y) + \frac{4}{x + y} + 2 - (x+y) $

$B \geq 2 + 2\sqrt {2(x + y) . \frac{4}{x + y} } +2 - \sqrt{2}$

$B \geq 4 + 3\sqrt {2}$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của $P=\frac{b+c}{2a^2+bc}+\frac{a+c}{2b^2+ac}+\frac{a+b}{2c^2+ab}$

$P \geq \sum \frac{b+c}{2a^{2}+\frac{(b+c)^{2}}{4}} $ 

$\Leftrightarrow P \geq  \sum \frac{3-a}{2a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}} $ 

$\Leftrightarrow P \geq  \sum \frac{4(3-a)}{9a^{2}-6a+9}$ 

xét hàm số $g(t) = \frac{4(3-t)}{9t^{2}-6t+9} + t$

chứng minh đc $g(t) \geq \frac{5}{3} $ 

suy ra: $ \frac{4(3-t)}{9t^{2}-6t+9} \geq \frac{5}{3} - t$

do đó: $ P \geq \sum (\frac{5}{3} - a) = 2$

$1$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Cmr $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{3\sqrt{3}+9}{2}$

Sử dụng phương pháp tiếp tuyến ta tìm được:

$\frac{1}{1-a} \geq \frac{9+6\sqrt{3}}{4}a^{2} + \frac{3}{4} $
(Chứng minh cái này bằng cách khảo sát biến thiên của hàm số)

tương tự với mấy cái kia rồi cộng lại  ta đc dpcm

Bạn ơi mình cũng thử qua cách này rồi! Nhưng không được, hệ này thầy mình bảo ra nghiệm vô tỉ. Mình đã thử rất nhiều cách và cũng rất lâu nhưng không tìm ra. ( thầy lấy trong đề thi HSG của mấy tỉnh miền Bắc gì đó. Thầy bảo khi nào tụi mình có hướng đi thì thầy mới sửa )

hì, mình  tưởng nghiệm đẹp nên ko giải nữa   , giờ giải lại thì thấy nghiệm vô tỉ   .giờ t cũng đang nghĩ đây  . khi nào thầy sửa thì nhắn cho t nhé!! t cũng muốn biết thầy giải như thế nào!! 

từ giả thiết suy ra: $y = \frac{2x}{2x-1}$ và $\frac{1}{x} < 2$ hay $x > \frac{1}{2}$

ta có: $5x^{2}+y-4xy+y^{2}= (2x -y)^2 + x^2 + y \geq x^2 +y =  x^2 + \frac{2x}{2x-1}$

cần chứng minh: $  x^2 + \frac{2x}{2x-1} \geq 3$

                       $\Leftrightarrow \frac{(3x+2)(x-1)^2}{2x-1} \geq 0 $       (đúng vì $x > \frac{1}{2}$)

  $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$   $(1)$  

Nếu 3 số x , y, z có số dư khác nhau khi chia cho 3 thì x -y ,y - z , z -x cùng ko chia hết cho 3

Mà x + y + z chia hết cho 3 . từ (1) suy ra vô lí.

+ Nếu trong 3 sô x,y,z chỉ có 2 số chia cho 3 có cùng số dư thì 1 trong 3 hiệu x -y ,y - z , z -x có 1 hiệu chia hết cho 3

mà x + y + z ko chia hết cho 3 nên từ (1) suy ra vô lí.

vậy x,y,z có cùng số dư khi chia cho 3. do dó  (x -y) (y - z) ( z -x ) chia hết cho 27

đặt a = x -y.  b = y-z .  c = z-x thì a+b+c = 0 và abc chia hết cho 27

suy ra $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ chia hết cho 3.27 = 81

P/S: bị chậm mất rồi