Bạn có cách giải khác mà không dùng đến $\sum$ mình chưa học !!

$\sum \dfrac{a^4}{a^3+2b^3}= \dfrac{a^4}{a^3+2b^3} +\dfrac{b^4}{b^3+2c^3}+\dfrac{c^4}{c^3+2a^3}$

tóm lại $\sum$ cũng chỉ là cách viết gọn lại mà thôi

$Chứng minh : \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + .... + \frac{1}{100^{2}} < 1$

$ta có \frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}$

$cho   a,b    dương     và     a^{2000} + b^{2000} = a^{2001} + b^{2001} = a^{2002} + b^{2002} . Tính  a^{2011} + b^{2011}$

1) Cho tam giác $ABC$. Cmr:
b) $2\cot B=\cot A+\cot C\Leftrightarrow 2b=a$

 

 

2) Cho tam giác $ABC$. Cmr:

$c^2=(a-b)^2+4S \left ( \frac{1-\cos C}{\sin C} \right )$

sao dài thế nhỉ

cách ngắn hơn tại http://diendan.hocma...ad.php?t=405210

$DKXD: x \geqslant \frac{-2}{3}.PT\Leftrightarrow x^{2}-x-1=(\sqrt{5x+5}-(x+2)) + (\sqrt{3x+2}-(x+1))$ .\Rightarrow  x^{2}-x-1=\frac{-x^{2}+x+1}{\sqrt{3x+2}+x+1}+\frac{-x^{2}+x+1}{\sqrt{5x+5}+x+2}$.\Leftrightarrow (x^{2}-x-1)(1+\frac{1}{\sqrt{3x+2}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{5x+5}+x+2})=0$.\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$

sửa lại bài viết đi bạn

khó nhìn quá 

Câu 1: (1 điểm) Tìm tập xác định của hàm số sau $y=\frac{x-1}{x^{2}-3x+2}+\sqrt{4-x^{2}}$

 

làm câu dễ nhất vậy

$TXD :x^{2}-3x+2 \neq 0 và 4-x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow -2\leq x <2 ;x\neq 1$

Giống nhau thôi bạn....Ở đây mình chỉ trình bày rõ ràng rành mạch chi tiết nên mới dài hơn thôi!

cũng không cần phải dài đâu

làm ngắn thì dễ đọc ,dễ quan sát hơn

ngắn nhưng đủ ý thì hơn là dài 

 

Cách giải truyền thống:

Giả sử $a=max$ {a,b,c} khi đó,ta có:

$\frac{b}{a+c+1}\leq \frac{b}{b+c+1},\frac{c}{a+b+1}\leq \frac{c}{b+c+1}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$(1-b)(1-c)(1+b+c)\leq (\frac{1+1+1-b-c+b+c}{3})^3=1\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+b+c}$

$\Rightarrow VT\leq \frac{a+b+c+1-a}{b+c+1}=1$

Dấu bằng khi $a=b=c=0$

 

Cái này nhìn quen quá

Hình như trong sách cũng có 

Cho $a,b,c> 0.CMR \frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ac}+\frac{c^{3}}{ab}\geq a+b+c$

-Vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a/(b+c)<1 => (a+a)/(a+b+c)> a/(b+c). 

-Chứng minh tương tự, ta có: (b+b)/(a+b+c)> b/(a+c) và (c+c)/(a+b+c)> c/(b+a).

-Cộng vế với vế, ta có: a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < (a+a+b+b+c+c)/(a+b+c) =2.

Vậy đpcm.

Nhìn rối mắt quá, bạn nên sử dung Latex cho dễ nhìn hơn nhé

http://diendantoanho...t-1frac3sqrt34/

Không còn cách nào khác mà không sử dụng sin ,cos à.

Giải tại   http://diendan.hocma...195&postcount=2

 

 

 

 

Bài 2: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn

 

c) $\frac{1}{3.5}$ + $\frac{1}{5.7}$ + $\frac{1}{7.9}$ +...+ $\frac{1}{\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)}$

Đề thiếu dấu = rồi nhỉ

Dạng bài này nhân thêm 2 rồi có công thức Tổng Quát sau $\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$

Rút gọn nữa là xong

Giải phương trình $x^{3}-x^{2}+3x-2=0$

Nghiệm pt bậc 3 này lẻ vì vậy bấm máy rồi lấy xấp xỉ

 Với mọi a,b,c CMR

$\frac{a}{b+3c} + \frac{b}{c+3a} + \frac{c}{a+3b}  \geqslant \frac{3}{4}$

Tìm điều kiện của các số thực $a,b,c$ thỏa :   

 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$ 

Điều kiện để BDT đúng là a,b,c>0

Bài này mà cho a ,b,c dương rồi c/m BDT thì có vẻ thuận hơn nhỉ   

$A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy$

x,y>0 và $x+y\leq 1$

Ta có $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy=(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+(4xy+\frac{1}{4xy})+\frac{5}{4xy} \geq \frac{4}{(a+b)^{2}}+2+\frac{5}{(a+b)^{2}}\geq 11$

CÁi này chắc là tìm min 

Bạn giỏi thật, bạn chỉ mình cách làm đi !! sao bạn suy nghĩ khéo léo thế!!

Mình không giỏi lắm đâu ,

LÀm những bài như thế này thì phải tìm được dấu =

Dự đoán dấu = tại $x=y=\frac{1}{2}$ và từ đó tách cái cần tìm min ra thôi 

Đặt $(a,b,c)=(z,y,x)$ thì bất đẳng thức giờ là $(xy+yz+zx)(x^2y+y^2z+z^2x)\leqslant 9$

Giả sử $y$ nằm giữa $x, z$ thì $(x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)\leqslant y(xy+yz+zx)(x^2+zx+z^2)\leqslant \dfrac{9y(x+z)^2}{4}\leqslant \dfrac{9(2x+2y+2z)^3}{27.8}=9$

LÀm theo Tam thức bậc 2 thì sao em nhỉ 

Bài 1

cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

Có a,b,c>0 và abc=1

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{b+a}\geq \frac{3}{2}$

Dùng BDT Cosi

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a$

TT rồi cộng theo vế

1.Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{a^{2}+b+1}\leq 1$

$LHS\geq \frac{\sqrt{2}}{1+x}+\frac{2}{\sqrt{yz+1}}=\frac{\sqrt{2}}{1+x}+\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x}+1}}$

 Đoạn này là sao nhở