Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên $976x^{2}+4x+1=y^{2}$

Bài 2: Cho $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $1995\vdots \left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} \right )$

Chú ý:  Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Cho mình sửa lại đầu bài là có thêm (a,b)=1

 Cho $\left\{\begin{matrix}xy= 2 & & \\ & & \end{matrix}\right.x> 0,y> 0$

 Tìm GTNN của : $\frac{1}{x^{2}+1} + \frac{2}{y^{2}+2}$

Bạn cho mình hỏi là ở bài toán phụ của bạn thì dấu bằng xảy ra khi nào vậy ?

$P=\sum \frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}=\sum \frac{a^4}{a\sqrt{1+b^2}}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a\sqrt{1+b^2}}=\frac{9}{\sum a\sqrt{1+b^2}}$

Mặt khác theo $C-S$

$\left ( \sum a\sqrt{1+b^2} \right )^2\leq \left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( 1+a^2+1+b^2+1+c^2 \right )=18\Rightarrow \sum a\sqrt{1+b^2}\leq 3\sqrt{2}$

Vậy $P\geq \frac{9}{3\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Em trình bày hơi tắt(Thông cảm còn xuống xem phim )

Bạn không để y đến đk $a\geq 0,b\geq 0,c\geq 0$ à ?

Đề bài: Giải phương trình: $x.\frac{8-x}{x-1}(x-\frac{8-x}{x-1})=15$

Ta có : $pt\Leftrightarrow \left ( x^{2}-5x-3 \right )\left ( x^{2}-3x-5 \right )\doteq 0$

Đến đây thì dễ rồi 

Tìm GTNN của :  A=$\frac{1}{x^{2}+x} + \frac{1}{y^{2}+y}$ biết $\left\{\begin{matrix}xy= 5 & & \\ x> 0,y> 0 & & \end{matrix}\right.$

Xét 2 TH:

+ TH1 : $\left | x \right |\geq 1 \Rightarrow x^{8}\geq x^{7}$

                                                                   ...

                                                $\Rightarrow VT\geq 1$ mà $VP\doteq 0$

                                                $\Rightarrow$ Vô lí

+TH2: $\left | x \right |< 1 \Rightarrow x^{5}\geq x^{7}$

                                          ...

                                          $\Rightarrow VT> 0$ mà $VP=0$

                                           $\Rightarrow$ Vô lí

KL: Vậy pt vô nghiệm

$a= 0,b= 1$

Ta có : $5a+7b\vdots 17\Leftrightarrow 45a+63b\vdots 17 \Leftrightarrow 6a+5b\vdots 17$

 $\Rightarrow$ Q.E.D

Ta có : F=$\left ( x+y+z \right )^{2}-x\left ( y+z \right )-\sum x^{2}$ $\geq x\left ( y+z \right )-x\left ( y+z \right )-1=-1$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x=0,y=\frac{1}{\sqrt{2}} , z=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Tìm số nguyên tố $p= a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với a,b,c$\in \mathbb{Z}$ sao cho $a^{4} +b^{4} +c^{4} \vdots p$

Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn:

$a+b\geqslant 4$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=2a+3b+\frac{6}{a}+\frac{10}{b}$

$A=\left ( \frac{3}{2}a+\frac{6}{a} \right )+\left ( \frac{5}{2}a+\frac{10}{b} \right )+\frac{1}{2}\left ( a+b \right )\geq 2\sqrt{\frac{3}{2}a.\frac{6}{a}}+2\sqrt{\frac{5}{2}b.\frac{10}{b}}+\frac{1}{2}.4=18$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=2

Tìm GTNN của : A=$x^{3}-48x$  với $x\geq -7$

Bạn có thể giải thích vể cách làm của bạn được không ?

Và đây là lời giải của bài toán trên :

$A=x^{3}-48x=\left ( x+8 \right )\left ( x-4 \right )^{2}-128\geq -128  \forall x$

$\sum a\geq \sum \left ( ab \right )^{3} \Leftrightarrow 2\sum a\geq \sum a^{3}\left ( b^{3}+c^{3} \right ) \Leftrightarrow 2\sum a\geq \left ( 3-a^{3} \right )a^{3} \Leftrightarrow \sum \left ( a^+a^+a^{6} \right )\geq 3\sum a^{3}$

Luôn đúng $\forall a\geq 0,b\geq 0,c\geq 0$

À quên mình tính nhầm !

Đặt $\left\{\begin{matrix}u= x+\frac{1}{y} & & \\ & & \end{matrix}\right.v=y+\frac{1}{x}$

HPT$\left\{\begin{matrix}u^{2}+v^{2}=9 & & \\ & & \end{matrix}\right.u^{3}+v^{3}=4$

Rồi giải bình thường ...

Bạn nào biết mua Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ ở đâu chỉ mình với  !

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3x^{2}y^{2}z^{2}$ 

Bạn  có thể giải thích chi tiết được không ?

Tớ làm cách này không biết có đúng không  : $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{\left ( 2b^{2} +c^{2}\right )\left ( 2c^{2}+b^{2} \right )}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}.\frac{2}{3}\geq \frac{3}{2}.\frac{2}{3}=1$ ?

Tớ có cách khác :$\sum \frac{c^{2}}{a^{2}c^{2}+abc^{2}+b^{2}c^{2}}\geq \sum \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\sum a^{2}c^{2}+abc\left ( a+b+c \right )}\geq (\frac{a+b+c}{ab+bc+ca})^{2}\geq \left ( \frac{3}{a+b+c} \right )^{2}=\frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Ta có : $2.\sum a^{3}+\! \sum a\leq 2.\sqrt[3]{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{3}}+\sum a\leq 3.\sum a$

Mật khác ,từ $\sum a=\sum a^{2}\Rightarrow 2\sum a + 4= \sum \left ( a^{2}+1 \right )\geq 2\sum a \Rightarrow 4\geq \sum a$

Do đó : ta có đpcm