Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=5 & \\ (xy-1)^2=x^2-y^2+2& \end{matrix}\right.$

Ta có$x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=5$

<=>$(x-\frac{1}{x})^{2}+(y-\frac{1}{y})^{2}=1$

Lại có$(xy-1)^{2}=x^{2}-y^{2}+2$

<=>$x^{2}y^{2}-x^{2}+y^{2}+1=2xy$

<=>$xy-\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-\frac{1}{xy}=2$

<=>$(x-\frac{1}{x})(y-\frac{1}{y})=2$

Đặt$x-\frac{1}{x}=a;y-\frac{1}{y}=b$ 

đến đây dễ rồi!!!

Cho x,y,z>0 thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$. Chứng minh $\frac{(x+y+z)^4}{x^2+y^2+z^2}\geq 27$

x+y+z=xy+xy+zx

Nên (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z

=>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2x-2y-2z

Đặt x+y+z=a,ta có:

x^2+y^2+z^2=a^2--2a;(x+y+z)^3=a^3;

Thay vào BDT ban đầu,ta có:

a^3-27a+54 >=0(a<>0;a<>2)

=>(a-3)(a^2+3a-18)>=0

Xét a>=3,ta có

a-3 >=0;a^2+3a-18>=0;(1)

Xét a<3;a<>2.ta có:

a-3<0;a^2+3a-18<0;(2)

Từ (1),(2) => dpcm

Dấu = xảy ra tại a=3<=>x+y+z=3

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

Với $a$ or $b$ or $c =0$ thì BĐT luôn đúng.

Với $a,b,c\neq 0$,ta có:

$b+c \geq 16abc <=> \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 16a$

$<=> \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 16(1-b-c)$

$<=>\frac{1}{b}+16b+\frac{1}{c}+16c \geq 16$ (luôn đúng theo Cauchy)

Với $a,b,c,d>0$.Chứng minh:

$\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}\leq \frac{(a+c)(b+d)}{a+b+c+d}$

Lời giải sai, để chứng minh $\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$ cần có thêm điều kiện $xyz \geq 1$ 

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

<=>$(2+x+y)(1+\sqrt{xy})\geq 2(1+x)(1+y)$

<=>$x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}-2xy\geq 0$

<=>$\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\geq 0$(lđ)

Đáp án

Ta có $2(x+y+z)^{2}+\prod (x+y)=\sum 6xy +8xyz$

<=>$2(x+y+z)^{2}+\sum x^{2}y+ \sum xy^{2}+2xyz=\sum 6xy +8xyz$

<=>$2(x+y+z)^{2}+\sum9x +9+\sum3xy+(xy+yz+zx)(x+y+z)=\sum9x +\sum9xy +9+9xyz$

<=>$[2(x+y+z)+3](x+y+z)+(xy+yz+zx)(x+y+z+3)=9\prod (x+1)$

<=>$[\sum(1+x)(1+y)](x+y+z+3)=9\prod (x+1)$

<=>$\frac{\sum(1+x)(1+y)}{\prod (1+x)}=\frac{9}{x+y+z+3}$

<=>$\sum \frac{1}{1+x}=\frac{9}{x+y+z+3}\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Lại có $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$  (*)

Tương tự chứng ming$\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$  (2*)

Từ (*) và (2*) =>$\sum \frac{1}{1+x}=\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Dấu $"="$ xảy ra tại $x=y=z$

mà $x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=18$

=>$x=y=z=1,5$

Cho $x,y,z\geq 1$.Giải hpt:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=18 & \\ 2(x+y+z)^{2}+\prod(x+y)=\sum6xy+8xyz & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}y+xy^{2}-3x=-3 \\ x^{2}+y^{2}-3y=1 \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\dfrac{n}{x})^x$

Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}+2x=\sqrt{x-4}+5$

Điều kiện $x\geq 4$

=>$\sqrt{3x+1}>\sqrt{x-4}$;$2x>5$

=>Vô nghiệm

Chắc đề phải là $\sqrt{3x+1}-2x=\sqrt{x-4}+5$

Tìm a,b thuộc N* thỏa mãn:

$\sqrt{a\sqrt{7}}-\sqrt{b\sqrt{7}}=\sqrt{11\sqrt{7}-28}$

Ta có:

$\sqrt{a\sqrt{7}}-\sqrt{b\sqrt{7}}=\sqrt{11\sqrt{7}-28}$

<=>$(a-b)\sqrt{7}-2\sqrt{ab7}=11\sqrt{7}-28$

<=>$a+b-2\sqrt{ab}=11-4\sqrt{7}$

<=>$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{7}-2$

Đến đây thì xét.=>$a=7$;$b=4$

Giải phương trình: 

$\sqrt{x^{2}+16}-2\sqrt{x^{2}-3x+4}=\sqrt{x+1}-1$

Ta có $\sqrt{x^{2}+16}-2\sqrt{x^{2}-3x+4}=\sqrt{x+1}-1$$(x>-1)$

$<=>\frac{x^2+16-4x^2+12x-16}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}=\frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}+1}$

$<=>x(\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1})$

$<=>x=0$hoặc $\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$

Ta có $\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$

$<=>12\sqrt{x+1}+12-3x\sqrt{x+1}-3x=\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}$$(\sqrt{x^2+16}-5)+(2\sqrt{x^2-3x+4}-4)+(3x\sqrt{x+1}-18)+(3x-9)+(24-12\sqrt{x+1})=0$

$<=>(x-3)[\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}]=0$

<=>$x=3$ hoặc $\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}=0$

Xét$\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}=0$

Ta có $\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2} >2$;$\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}>4$;$\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}>0$;$-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}>-6$

$=>$ Vô nghiệm

Vậy $x=0;x=3$

Chứng minh: $\text{C}_{2n+1}^{n}\vdots 2n+1$

Cho $a^4+b^4+c^4=1$,$a,b,c>0$

CM:$(\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{b^4}{a})^4\geq 3$

Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1$. Tính giá trị biểu thức:

P=$(a^{2004}-b^{2004})(b^{2005}+c^{2005})(c^{2006}-a^{2006})$

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1$

<=>$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+2=0$

<=>$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+2abc=0.abc=0$

<=>$(a+b)(b+c)(c+a)=0$

Phần còn lại bạn tự chứng minh! =>$P=0$

Một đề mình đã đọc người ta bảo tìm $MAX$ và $a,b,c$ dương

Ta có bất đẳng thức quen thuộc . 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}=\frac{ab}{a+c+b+c}+\frac{bc}{b+a+c+a}+\frac{ca}{a+b+c+b}\leq\frac{1}{4}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b})=\frac{3}{4}$

Sai rồi bạn

$\frac{4ab}{(a+c)(b+c)} \leq \frac{a}{a+c} + \frac{b}{b+c}$

Với lại dấu $"="$ xảy ra tại $a=b=c$ =>$Sum = \frac{1}{4}$

Với đề bài $Max$

Ta có$\sum \frac{ab}{c+1} = \sum \frac{ab}{a+c+b+c} =\sum \frac{1}{\frac{a+c}{ab}+\frac{b+c}{ab}}\leq \sum \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c} \right )=\frac{1}{4}\left ( a+b+c \right )=\frac{1}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{3}$

Max nè :

$A=\frac{5x^{2}-7x+1}{\left | 3x-2 \right |+\left | x^{2}+1 \right |}$

    $=\frac{5x^{2}-7x+1}{\left | 3x-2 \right |+ x^{2}+1 }$

    $\leq \frac{5x^{2}-7x+1}{x^{2}+1}$

    $\leq 1 + \frac{4x^{2} - 7x}{x^{2} + 1}$ (1)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $\left |3x - 2 \right |$= 0

                        $\Leftrightarrow$ $3x - 2$ = 0

                        $\Leftrightarrow$ $x = \frac{2}{3}$

Thay $x = \frac{2}{3}$ vào (1) , ta có : A max = -1.

P/s : sr bạn, mình hơi loạn tí

Không chặt chẽ rồi bạn ơi

Với$x\geq \frac{2}{3}$,ta có:

$A= \frac{5x^{2}-7x+1}{x^{2}-3x-1}=5+\frac{6-22x}{x^2-2.\frac{2}{3}x+\frac{4}{9}+\frac{13}{3}x-\frac{13}{9}}= 5+\frac{6-22x}{\left ( x-\frac{2}{3} \right )^{2}+\frac{13}{3}x-\frac{13}{9}}\leq 5+\frac{6-22.\frac{2}{3}}{\frac{13}{3}.\frac{2}{3}-\frac{13}{9}}=-1$

Dấu "="xảy ra tại $x=\frac{2}{3}$

Tương tự, với $x<\frac{2}{3}$, ta có $A<-1$

Vậy $maxA=-1$ tại $x=\frac{2}{3}$

Còn $min$ thì không có đâu!!!

Cho $0<a,b<1$.Tìm $max$ $a^2b\sqrt{1-a^2}+ab^2\sqrt{1-b^2}$

Với $a=1$ ta có: $a^x-x-1=-x < 0 \forall x >0$.

Cho mình hỏi tại sao có điều này với:

 "BPT" đúng với mọi $x\in \mathbb{R} \iff x\ln a \ge \ln{(x+1)} \quad\forall x>-1, x\neq 0.$

$\[\iff \frac{\ln{(x+1)}}{x} \le \ln{a} \le\frac{\ln{(t+1)}}{t} \quad\forall x>0, \forall t \in (-1,0).\]$

Tìm $a \in \mathbb{R}$ sao cho $a^x-x-1 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

Vì $a,b,c\geq 0$ và $ab+bc+ca= 3$

$\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 1$

 

Sai rồi bạn.Với $a=b=1,2$,ta có $c=0,65$ 

Khi đó $ab+bc+ca=3$ nhưng $a,b>1$

Tìm $f(x) \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$i) f(2x)=2f(x)$;

$ii) f(x)+f(-x)=0$.

Tìm $minA=\sum \frac{a^{2}+2b+1}{c^2+1}$ với$a+b+c=3$ và $a,b,c>0$

Tìm $minA=\sum \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+a}}$

Biết $a+b+c=1$;$a,b,c>0$