Lời giải

Gọi $Z,V$ lần lượt là giao điểm của $MD$ với $AH,HI$. Ta có kết quả quen thuộc là $AD$ là tia phân giác của $\widehat{HAO}$. 

Suy ra $\widehat{ZAI}=\widehat{DAQ}=\widehat{DMQ}\Rightarrow$ Tứ giác $AMZI$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{AZI}=\widehat{AMI}=90^{0}$ $\Rightarrow ZI//BC$.

Gọi $L$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Ta có: 

$\frac{ZH}{ZA}=\frac{IL}{IA}=\frac{BL}{BA}=\frac{DL}{DB}=\frac{DB}{DA}=\frac{DI}{DA}$           (1)

Lại áp dụng định lý $Menelaus$ vào tam giác $AHI$ với cát tuyến $DZV$ ta có:

$\frac{VH}{VI}.\frac{DI}{DA}.\frac{ZA}{ZH}=1$                       (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh!

tôi mới học lớp 8 nên không biết Nhân tử langrange

Em đã coi qua tài liệu cân bằng hệ số nhưng vẫn chưa tìm được cách chứng minh bài này có gì mong diễn đàn giúp em

Bài bạn ngược dấu rồi.Mà đừng có bao giờ bảo đề Thái Bình dễ nha bạn 

Cho các hằng thức dương a,b,c và các biến số x,y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx $\geq 1$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$ax^{2} + by^{2} + cz^{2}$

Có ai có solution cho bài này chưa ?

Ý tưởng có thể như sau:

- Viết phương trình đường thẳng $AH$, tham số hóa tọa độ điểm $A$

- Do $\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HM}=0\Rightarrow$ tọa độ điểm $A$.

- Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, ta có kết quả $AH//=2OM\Rightarrow$ tìm được tọa độ điểm $O$.

- Viết phương trình đường thẳng $BC$, tham số hóa $B$ chú ý là $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra tọa độ điểm $C$ (theo $B$).

Do $OM$ vuông góc với $BC$, từ đó suy ra tọa độ điểm $B,C$

Giả sử $AD$ là đường đối trung. Theo bổ đề quen thuộc suy ra $OI$ vuông góc với $AD$, gọi $S$ là giao điểm của $OI$ và $BC$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $(I)$ với $AB, AC$. Dễ thấy $S, P ,Q$ thẳng hàng. Từ đó suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{SB}{SC}$.

Áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $ABC$ với cát tuyến $SFE$ ta được:

$\frac{FA}{FB}.\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}=1$

$\Leftrightarrow \frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$

Nên theo định lý $Ceva$ đảo ta có điều phải chứng minh. 

bài nyaf trước tôi không làm được giwof tôi làm dc rồi khi nào tôi sẽ lập topic về toán 8

bài này dễ mà

Bài 2.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.

Ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng $AH$, tham số hóa điểm $A$, từ đó suy ra tọa độ các điểm $B$, $C$  (theo $A$).

Ta có kết quả $AH//=2OM$ suy ra tọa độ điểm $O$ (theo $A$)

Mà $OD$ vuông góc với $AB$ từ đó suy ra tính tích vô hướng là xong

Bài 1.

Tham số hóa tọa độ điểm $G$, gọi $P$ là trung điểm của $BC$ suy ra tọa độ điểm $P$ (theo $G$)

Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ từ đó $\overline{PA}.\overrightarrow{PM}=0$ từ đó suy ra tọa độ điểm $P$.

Từ đó viết được phương trình đường thẳng $BC$

Với x,y là các số thực dương , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}} + \sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}$

Do $abc=1$ nên ta đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\sum \frac{ac}{ab+2bc}\geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{ac}{ab+2bc}\geq \frac{(ab+bc+ca)}{3(ab+bc+ca)}\geq 1$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Cho tam giác ABC nhọn nõi tiếp đường tròn (O).Gọi P là một điểm bất kì trên đường đối trung tại đỉnh A của tam giác ABC. BP,CP lần lượt cắt CA,AB tại E,F.Gọi (AEF) cắt (O) tại Q .Tiếp tuyến tại A của (AQP) cắt BC tại T .Chứng minh rằng : TA = TP.

Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên $a;b;c$ nghiệm đúng của phương trình $x^2+y^2+z^2=3xyz$ và thỏa mãn điều kiện $min {a,b,c} > 2004$

Chào mọi người mình muốn có tài liệu chuyên của các trường ở tỉnh thành Hà Nội và Thành phố HCM ai có thì up lên nhé

Bạn xem lại đề nhé

Kính chào các anh chị VMF , hôm nay viết bài này em muốn các anh chị giảng cho em về phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức , em có đọc tài liệu nhưng vẫn không hiểu cho lắm về cách viết phương trình tiếp tuyến!Mong các anh chị giúp em     

-Em lập topic này để mọi người thảo luận với nhau về các bài toán khó,ai có bài khó up lên nhé.Em mở đầu một bài

1,Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên a;b;c nghiệm đúng của phương trình x² + y²+z²=3xyz và thỏa mãn điều kiện Min a,b,c > 2004. ( Bài này em nghĩ 1 tuần rồi không ra đi hỏi thầy cô  thì bảo là để khi khác ) 

Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên a;b;c nghiệm đúng của phương trình x² + y² + z²=3xyz và thỏa mãn điều kiện min {a,b,c} > 2004

Bài 1 : Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên a;b;c nghiệm đúng của phương trình x² + y²+z²=3xyz và thỏa mãn điều kiện Min a,b,c > 2004

Em đã hỏi rất nhiều trên diễn đàn nhưng không thấy ai trả lời giúp có gì mong các anh chị giúp

Cho a,b >0 thỏa mãn  $9a^{2}+4b^{2}=9$ . tìm Min $A=(1+a)(\frac{3}{2b}+1)+(1+\frac{1}{a})(\frac{2b}{3}+1)$

Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên a;b;c nghiệm đúng của phương trình x² + y² + z²=3xyz và thỏa mãn điều kiện min {a,b,c} > 2004

Cho 3 số a,c,c thỏa mãn :  $0\leq a,b,c\leq 2$ và a+b+c=3 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

                        P=$4a^{3} + 4b^{3} + 4c^{3} + (a+b)(b+c)(c+a)$

Cho x và y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y\(\leq \)1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}+1}{4y^{2}}.\frac{y^{2}+1}{4x^{2}}$