Excel là sao nhỉ ? 

a) Tỉ lệ khỏi bệnh khi dùng thuốc $A$ là $0.6$.

Khoảng tin cậy của $95\%$ ($\alpha=0.05$) là: $p-\epsilon,p+\epsilon$ với $\epsilon=z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.

b) Làm giống câu a với trường hợp $2$ mẫu.

Có thể sử dụng $p-value$ ở câu b), với  $z=1.75$ thì $p=1-\Theta(z)=1-0.9599=0.0401<0.1=\alpha$.

Do đó bác bỏ giả thuyết $H_0$.

 

P/S: 'bác bỏ' nghe có vẻ hay hơn 'bỏ ngỏ'  

Cho tập hợp $A=\{1,2,3,\cdots,15\}$. Hỏi có bao nhiêu tập con $4$ phần tử sao cho không có $2$ phần tử nào liên tiếp?

Cho $H_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ và $S_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$. Tính giá trị của:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{16H_{n+2}-36S_{n+2}}{n(n+1)}.$$

Cũng có thể làm như sau:

Chọn ra trước $2$ trong $4$ phòng $C_4^2$.

Chọn tiếp $3$ người trong $10$ để vô $1$ phòng: $C_{10}^3$.

Chọn tiếp $3$ người trong $7$ để vô phòng còn lại: $C_7^3$.

Còn lại $4$ người $2$ phòng thì như trên có $8$ cách nữa.

Vậy có $C_4^2.C_{10}^3.C_7^3.8=201600$ cách.

Có thể giải thích là, nếu chọn bộ $3$ số $(a,b,c)$ thì chỉ cần chọn $a,b$ vì $c$ tính được theo $a,b$.

Với $a=1$ thì ta có thể chọn $b=2,3,\cdots,50$ ($49$ cách)

Với $a=2$ thì $b=3,4,\cdots,51$ ($49$ cách)

Với $a=3$ thì $b=4,5,\cdots 51$ ($48$ cách)

Với $a=4$ thì $b=5,6,\cdots 52$ $(48$ cách)

 

Vân vân, suy ra quy luật với $a=2k-1,2k$ thì có $50-k$ cách chọn $b$, ($k$ chạy từ $1$ đến $49$)

$(x-1)^2+2\leq P(x)\leq 15(x-1)^2+2$ nên $2\leq P(1)\leq 2$.

Chắc là phán được $P(x)$ có đỉnh parabol tại $(1,2)$.

Suy ra $P(x)=a(x-1)^2+2$.

Thế vô được $a=14$.

 

P/S: Chỗ phán sao sao í @@ cảm giác không ổn lắm!

Tam giác $IPA$ vuông tại $P$ nên em luôn có $IP\leq IA$. (Do $IA$ là cạnh huyền)

Thật ra tất cả các bài dạng vầy đều có một cách giải chung. 

Đặt $y=\sqrt[3]{8x-3}$ suy ra $y^3+3=8x$.

Tới đây, $4y=8x^3+3=(2x)^3+3$ và $y^3+3=4(2x)$.

Suy ra: $(2x)^3+4(2x)+3=y^3+4y+3$.

Xét hàm số $f(t)=t^3+4t+3$ thì $y'(t)=3t^2+4>0$ nên $f(t)$ đồng biến. (Ngay bước này không nhất thiết giải như vầy, có thể trừ theo về kế hợp hằng đẳng thức, lí luận phải chặt chẽ)

Do đó: $2x=y$ hay $2x=\sqrt[3]{8x-3}$.

Tới đây mọi chuyện đã dễ dàng hơn

$p+2$ là số nguyên tố, thì $p\geq 3$.

Mà $p^2+2p-8=(p-2)(p+4)$ cũng là số nguyên tố nên $p-2=1$  

a) Tập full chẵn thì không có tính chất $P$.

b) Do đó tập phải ít nhất là $9$ phần tử.

Chia tập $X$ thành $8$ bộ như sau: $(1,16),(2,15),(3,10),(4,9),(5,8),(6,11),(7,12),(11,14)$.

Khi lấy $9$ phần tử thì theo Dirichlet sẽ có ít nhất $2$ phần tử tạo thành $1$ bộ thuộc một trong tám bộ trên.

a. Cơ sở của $W$ là $\{(1,2,3),(0,1,2)\}$.
b. $a(1,2,3)+b(0,1,2)=(2,3,k^2+1)$ thì từ đây ta được $a,b=2,-1$ và $k=\pm\sqrt{3}$.

Đặt $(x,-y)=(a,b)$. Khi đó, PT trở thành:

$$ a^3+b^3+2ab-8=0.$$

Ở đây có dạng tổng tích nên $(a+b,ab)=(S,P)$, ta thu được:

$$ P=\dfrac{S^3-8}{3S-2}.$$ 

Để ý $P\leq \dfrac{S^2}{4}$ nên ta có: 

$$\dfrac{S^3-8}{3S-2}\leq \dfrac{S^2}{4} \Leftrightarrow \dfrac{S^3+2S^2-32}{3S-2}\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{3}<S \leq \frac{2}{3}(-1+\sqrt[3]{53-6 \sqrt{78}}+\sqrt[3]{53+6 \sqrt{78}}).$$

Do $S\in \mathbb{Z}$ nên $S=1$ (loại $P$ không nguyên) và $S=2$, được $P=0$.

 

Vậy $(x,y)=\{(2,0),(0,-2)\}$.

 

P/S:

• Nếu đổi lại $x^3-y^3=2xy-8$ thì ở đoạn giải BPT theo $S$ sẽ đẹp hơn .
• Việc đặt lại theo $a,b$ là do sau khi đổi dấu. Còn việc đặt $S,P$ là do thử kiểm tra liệu có thể $S$ nằm trong đoạn nào?
• Các kỹ thuật đặt trên là do kinh nghiệm, tuy nhiên nếu làm nhiều sẽ thành thói quen với các bài dạng PT nghiệm nguyên (vốn không có nhiều điều kiện của biến).
• Ngoài ra, trong vài trường hợp có thể mẫu là ước của tử hoặc một vế nào đó của PT luôn âm/dương.

Giải lại theo cách của bạn:

Ta có ngay: $x(x-2y)^2\leq 1$ và $y(y-2x)^2\leq 1$.

Suy ra $x(x-2y)^2+y(y-2x)^2=x^3+y^3\leq 2$.

Ta lại có $3x^2\leq x^3+x^3+1=2x^3+1$ và $3.2y=2.3y\leq 2(y^3+1+1)$.

Nên suy ra $3(x^2+2y)\leq 2(x^3+y^3)+5\leq 9$.

Vậy $x^2+2y\leq 3$. 

 

P/S: Lời giải của chính bạn luôn nhá  

Đặt $z=2\cos{t}+2i\sin{t}$ và $u=2\cos{u}+2i\sin{u}$.

Do $z+iw$ cũng thuộc đường tròn tâm $(O,2)$ nên $(\cos{t}-\sin{u})^2+(\sin{t}+\cos{u})^2=1$. $(1)$

Chỗ này biến đổi không khó lắm, làm quen kiểu lượng giác số phức thì ok.

$(1)$ tương đương $\cos{t}\sin{u}-\sin{t}\cos{u}=\dfrac{1}{2}$ hay $\sin{(u-t)}=\dfrac{1}{2}$.

Vậy $u-t=\dfrac{\pi}{6}$.

 

P/S: Có thể kết luận là $z$ và $iw$ tạo thành $2$ vector có góc $\dfrac{2\pi}{3}$.

 

Cái biểu thức tính gtnn hơi lạ, vì nó sẽ ra const

Ở đây $z^2$ sẽ quay một góc là $2t$, còn $w^2$ sẽ quay một góc là $2u$. (So với trục $Ox$)

Nhưng khi đó vector $z^2$ cách vector $w^2$ là $\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$, mà $-w^2$ ngược chiều với $w^2$.

Nên $z^2$ cách $-w^2$ một góc là $\dfrac{2\pi}{3}$.

Tới đây thì ra $2$ vector cùng độ dài $z^2$ và $-w^2$ cũng tạo thành góc $\dfrac{2\pi}{3}$.

Suy ra $|z^2-w^2|=|z^2|=|w^2|=4$.

- Ý tưởng số phức lượng giác đến vì sao?

Thực tế, nếu đặt $z=a+bi$ và $w=c+di$, chắc là cũng ra, tuy nhiên khi đó nhiều biến và mối quan hệ giữa $z$ và $w$ phụ thuộc vào $(a,b,c,d)$ (rườm rà).

Chưa kể việc tìm gtnn của $|z^2-w^2|$ cũng cần tới cách đặt $z$ và $w$ nên áp dụng lượng giác vào đây là tương đối hợp lí.

 

- Tại sao $z^2$ lại quay một góc $x$ theo chiều dương với $z=\cos{x}+i\sin{x}$?

Số phức thông qua công thức Euler, ta có $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$, chính vì vậy $z^2=e^{i.2x}=\cos{2x}+i\sin{2x}$. (Nên nó thành $2x$ thoi)

Hoặc là bình phương lên thẳng, cũng sẽ $z^2=\cos^2{x}-\sin^2{x}+i.2\cos{x}\sin{x}=\cos{2x}+i\sin{2x}$.

 

P/S: Bài $2$ anh cũng không rõ cách làm lắm. (Nam nhá Tại để giới tính vui thoi)

Các bài dạng này có thể xử lý bằng tổng $S$ tích $P$ để thêm được một điều kiện $S^2\geq 4P$.

 

Đặt $(x,-y)=(a,b)$. Khi đó, $S=a+b,P=ab<0$.

Từ PT ban đầu, ta được:

$$a^3+b^3=13(a^2+b^2) \Rightarrow P=\dfrac{S^3-13S^2}{3S-26}.$$

 

Giải hai BPT $P<0$ và $S^2\geq 4P$, ta được $(S,P)=\{(9,-324), (10,-75)\}$. 

 

Thử lại, ta được $(x,y)=(15,5)$.

Viết lại dưới dạng $y=\dfrac{3x^2}{x^4-7x^2+9}=\dfrac{3}{x^2+\dfrac{9}{x^2}-7}$.

Tới đây nếu $x\geq 4$ thì $x^2+\dfrac{9}{x^2}-7>3$ (Hiển nhiên không thoả)

Thử lại thì các giá trị $1,2,3$ đều thoả.

Hình như này là đề tài Sentiment Analysis .

Nói về data thì bên HCMUIT họ khá là nhiều nha. 

 

Em có thể kiếm trên GG Scholar của các thầy Kiệt, cô Ngân ở UIT.

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thoả mãn:

\[ P(a+b)=6(P(a)+P(b))+15a^2b^2(a+b) \]

với mọi số phức $a,b$ thoả $a^2+b^2=ab$.

(Titu Andresscu)

$30=2*3*5$.

Ta chỉ cần tạo ra các tập con nhỏ nhất mà chia hết $30$ là được. Ví dụ như muốn có tập $\{2,3,4,5\}$ thì ta chỉ cần $\{2,3,5\}$ hoặc $\{3,4,5\}$ là ok.

+ Tập có $3$ phần tử mà mỗi phần tử chia hết cho $1$ trong $3$ số $2,3,5$: $\{2,4,6,8\}$, $\{3,6,9\}$ và $\{5\}$.

+ Tập có $2$ phần tử, khi đó hiển nhiên có $10$ và $\{3,6,9\}$.

Tính số tập con của các TH trên nhân với số tập con tương ứng khi chọn các phần tử còn lại.

 

P/S: Nhớ lọc các TH giống nhau  

Chắc là dùng hàm sinh mũ á!

Hàm sinh 

$$ g(x)=(\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dots)^4 = (e^x-1-x)^4.$$

Chỉ cần tính $(e^x-1-x)^2= \dfrac{1}{4} x^{4}+\dfrac{1}{6} x^{5}+\dfrac{5}{72} x^{6}+\dfrac{1}{45} x^{7} + O(x^8)$.

Rồi lấy khúc đầu bình phương lên tiếp, được: 

$$ \frac{x^{14}}{2025}+\frac{x^{13}}{324}+\frac{317 x^{12}}{25920}+\frac{37 x^{11}}{1080}+\frac{x^{10}}{16}+\frac{x^{9}}{12}+\frac{x^{8}}{16}.$$

Kết quả sẽ là $11!$ nhân hệ số của  $x^{11}$ là: 

$$ 11!.\dfrac{37}{1080}=1367520. $$

@@ Nếu sử dụng hàm sinh thì nên để ở Đại học luôn. 

Bài $1$ khá là khoai đấy. Phải chia ra $x_i$ full không âm và $x_i$ full dương.

Nên thay $x_i$ là số tự nhiên (không âm hoặc dương) để các bạn nhỏ dễ tiếp cận...

Tìm số nghiệm nguyên của phương trình sau $$\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{4}=20$$ với $0 \leq \mathrm{x}_{\mathrm{i}}<8, \forall \mathrm{i} \in\{1,2,3,4\}$.

 

Ghi chú: Bài có thể tiếp cận bằng nhiều cách (hàm sinh, nguyên lý bù trừ, ...)