3. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}=\frac{(x-y)^{2}}{2}\\ \\ (x+y)(x+2y)+3x+2y=4 \end{matrix}\right.$

đk:  $x\geq \frac{-1}{2}$   $y\geq \frac{1}{2}$

pt (1)   $(x+y)(x+2y)+3x+2y=4$

$\Leftrightarrow (x+y-1)(x+2y+4)=0$

$\Leftrightarrow x=1-y$   hoặc   $x=-2y-4$

thế vào pt (2)  =>.....

7.  $3x^{2}+3x+2=(x+6)\sqrt{3x^{2}-2x-3}$                

     đk: $x\leq \frac{1-\sqrt{10}}{3}; x\geq \frac{1+\sqrt{10}}{3}$

$\Leftrightarrow (3x^{2}-2x-28)+(x+6)(5-\sqrt{3x^{2}-2x-3})=0$

$\Leftrightarrow (3x^{2}-2x-28)(1-\frac{x+6}{5+\sqrt{3x^{2}-2x-3}})=0$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-2x-28=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{85}}{3}$

                hoặc   $\frac{x+6}{5+\sqrt{3x^{2}-2x-3}}=1\Leftrightarrow x+1= \sqrt{3x^{2}-2x-3}\Leftrightarrow x=1\pm \sqrt{3}$

" Hãy phân tích hai đoạn thơ trên, từ đó chỉ ra điểm gặp gỡ giữa hai nhà thơ.". Hai nhà thơ này gặp nhau khi nào vậy?

8.

pt (1) $\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}(3y+1)+4xy+4y^{3}-4y^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x-2y)^{2}(x+y-1)=0$

$\Leftrightarrow x=2y$

hoặc  $y=1-x$

thế vào pt (2)

$5x^{2}+8x+8=5(x+1)\sqrt{x^{2}+4}$  (1)

Đặt (x+1)=a

       $\sqrt{x^{2}+4}=b$

(1) $\Leftrightarrow 4a^{2}+b^{2}=5ab$

    $\Leftrightarrow (a-b)(4a-b)=0$  $\Leftrightarrow a=b$ hoặc $4a=b$

Giải với từng trường hợp là được

Bài 3 : Tìm nghiệm nguyên của hệ : $\left\{\begin{matrix} 2y^{2}-x^{2}-xy+2y-2x=7 & \\ x^{3}+y^{3}+x-y=8 & \end{matrix}\right.$

Từ  $(1)$ $2y^2-x^2-xy+2y-2x=7 \Leftrightarrow (2y+x+2)(y-x)=7$

Đến đây thử chọn : $(x=-5;y=2);(x=1;y=2)$.

Thay vào pt $(2)$, có $x=1;y=2$ thỏa 

bạn có cách giải nào khác không?

2. đk: $x\geq 0$

$y'= -1+\frac{m}{2\sqrt{x}}$ $\left ( x> 0 \right )$

y có cực trị khi y' $=$0 có nghiệm $\Leftrightarrow m= 2\sqrt{x}$

vậy y có cực trị $\Leftrightarrow m> 0$

Bài 1: $x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^{2}+1}$

Bài 2: $\frac{2x^{2}+x-1}{1+3\sqrt{x-1}}=\sqrt{x(x+1)}$

1)$x^{2}-x-4=2\sqrt{x-1}\left ( 1-x \right )$

 

đk: $x\geq 1$

$x^{2}-x-4+2\sqrt{x-1}^{3}=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-2+2(\sqrt{x-1}^{3}-1)=0$

$(x-2)(x+1)+2.\frac{x-2}{1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+1+\frac{2}{1+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}^{2}})=0\Leftrightarrow x=2$

Giải phương trình:

a, $x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}=2x+1$

 

đk: $x\geq 1$, $x\leq -1$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-1+ \sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}-x=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-1+\frac{x^{4}-x^{3}-x^{2}}{x^{2}+x\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}^{2}}=0$$\Leftrightarrow (x^{2}-x-1)(1+\frac{x^{2}}{x^{2}+x\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}})=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$ $\Leftrightarrow ...$

3.

y có 3 cực trị $\Leftrightarrow m< 0$

ba cực trị tạo thành tam giác vuông $\Leftrightarrow \frac{\left ( 2m \right )^{3}+8}{\left ( 2m \right )^{3}-8}= 0\Leftrightarrow m= -1$ thỏa mãn

1.

$y'= x^{2}-2mx-1$

y có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow y'= 0$ có 2 nghiệp phân biệt 

$\Leftrightarrow \Delta ' = m^{2}+ 4 > 0$ 

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= \left ( x_{1} +x_{2}\right )^{2}-2x_{1}x_{2}=2$

$4m^{2}+2= 2\Leftrightarrow m= 0$ thỏa mãn

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{2}+1=\sqrt{2x^{3}-x^{2}+x+1}$

đk:   $x\geq \frac{-1}{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+x+2=2\sqrt{2x^{3}-x^{2}+x+1}$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1)+(2x+1)=2\sqrt{(2x+1)(x^{2}-x+1)}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}-x+1}-\sqrt{2x+1})^{2}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-x+1}=\sqrt{2x+1}$

b) Gọi N là giao điểm của BH và AC. P là một điểm thuộc cạnh AB sao cho
n n
PMB NMC = . Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng.
 

nghĩa là sao vậy?

Giải các hệ phương trình sau: 

Câu 1:  $\left\{\begin{matrix} xy^{2}-2y+3x^{2}=0 & & \\ y^{2}+x^{2}y+2x=0 & & \end{matrix}\right.$

Câu 2:  $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=1-xy & & \\ x^{2}+y^{2}=3xy+11& & \end{matrix}\right.$

Câu 3:  $\left\{\begin{matrix} x^{2}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{x}{y}=12 & & \\ x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=8& & \end{matrix}\right.$

Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình $x^{2}-xy=6x-5y-8$.

sao mình giải theo phương pháp miền giá trị lại không được vậy?

Bài 1: Cho x,y,z thuộc [0;1]. Chứng minh: $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}\leq 6$

Bài 2: cho x,y,z thuộc [-1;3] và x+y+z=3. chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 11$

bài 1 chứng minh gì thế bạn   

chõ,y,z thuộc [0;1] chứng minh $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}\leq 6$

do $x\in \left [ 0;3 \right ]$ 

 

nhưng bài này không cho x thuộc [0;3] mà

mình mới tìm được max thôi. bạn xem có đúng không nha!

$P^{2}=[x\sqrt{5-x}+(3-x)\sqrt{2+x}]^{2}$$\leq 7[x^{2}+(3-x)^{2}]$

$\Leftrightarrow P^{2}\leq 7(2x^{2}-6x+9)=14[(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}]=14(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{63}{2}\leq \frac{63}{2}$

$\Leftrightarrow P\leq \sqrt{\frac{63}{2}}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

d, ta có: tứ giác AFDC nội tiếp $\Rightarrow$ $\angle HCD= \angle HAF$

 Mà $\angle HAF= \angle BCM$ (cùng chắn cung BM)

$\Rightarrow \angle HCD=\angle DCM$

$\Delta CDH= \Delta DCM\Rightarrow HD=DM$ hay H và M đối xứng qua BC

$\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2+1}{2x}=\frac{(x^2+1)^2}{2x(1-x^2)}$

đk:            $x\neq 0 , x\neq \pm 1$

pt $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=\frac{2x^{2}(x^{2}+1)}{2x(1-x^{2})}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=\frac{x(x^{2}+1)}{1-x^{2}}$

$(1-x^{2})\sqrt{x^{2}+1}=x(x^{2}+1)$

$3x^{3}-x+(1-x^{2})(2x-\sqrt{x^{2}+1})=0$

$(3x^{2}-1)(x+\frac{1-x}{2x+\sqrt{1+x^{2}}})=0$

$\Leftrightarrow ....$

f. Ta có: $\angle NPC= \angle NBC$ (cùng chắn cung NC)

tứ giác BFEC nội tiếp $\Rightarrow \angle EBC=\angle EFC$

$\Rightarrow \angle NPC=\angle EFC$ mà chúng ở vị trí đồng vị $\Rightarrow$ EF // PN

e. tứ giác BFHD nội tiếp $\Rightarrow \angle FDH=\angle FBH$

tứ giác ABDE nội tiếp $\Rightarrow \angle ADE=\angle ABE$

$\Rightarrow \angle FDA=\angle ADE$ $\Leftrightarrow$ DH là phân giác $\angle FDE$

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x^{2}-3x+5)}=4-2x$

đk: $x\geq 1$

đặt $\sqrt{x-1}=t$           $(t\geq 0)$

$\Leftrightarrow t+\sqrt{t^{2}+4}+2t\sqrt{t^{4}-t^{2}+3}=2-2t^{2}$

$\Leftrightarrow 2t^{2}+t(1+2\sqrt{t^{4}-t^{2}+3})+\sqrt{t^{2}+4}-2=0$

$\Leftrightarrow 2t^{2}+\frac{t^{2}}{2+\sqrt{t^{2}+4}}+t(1+2\sqrt{t^{4}-t^{2}+3})=0$

$\Leftrightarrow t(2t+\frac{t}{2+\sqrt{t^{2}+4}}+1+2\sqrt{t^{4}-t^{2}+3})=0$

Do $(2t+\frac{t}{2+\sqrt{t^{2}+4}}+1+2\sqrt{t^{4}-t^{2}+3})>0$ 

$\Rightarrow t=0$

$\Leftrightarrow ...$