Tính

$I=\int_{0}^{1}sin(ln(-ln(x)))dx$

sai rồi đáp án là -0,8

Ta có:$\sum |ab|\leq \frac{3(a+b+c+d)^2}{8}$ (dễ dàng CM bằng biến đổi tương đương)

Vậy: $F=(\sum a)^2-\sum ab+\sum a\geq (\sum a)^2-\sum |ab|+\sum a\geq \frac{5(\sum a)^2}{8}+\sum a\geq -0,4$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d=-0,2$

(Vậy đáp án là -0,4 nhé)

tìm $lim\sqrt[n]{2}$

$lim\sqrt[n]{2}=lim2^{1/n}=lime^{\frac{1}{n}ln2}=1$

CMR: $\frac{3}{5}<\frac{1}{2004}+\frac{1}{2005}+\frac{1}{2006}+..+\frac{1}{4006}<\frac{3}{4}$

Ta có: $\sum_{x=2004}^{4006}1/x> \frac{2003^2}{\sum_{x=2004}^{4006}x}=\frac{2003^2}{\sum_{x=1}^{4006}x-\sum_{x=1}^{2003}x}=\frac{2003^2}{\frac{4006.4007}{2}-\frac{2003.2004}{2}}=\frac{2003^2}{2003.4007-2003.1002}=\frac{2003}{3005}> 3/5$

Ta lại có: $\sum_{x=2004}^{4006}1/x=H_{4006}-H_{2003}< ln(4006)-ln(2003)+\frac{1}{2.4006}=ln(2)+\frac{1}{2.4006}<3/4$

Ai nói phương trình trên vô nghiệm? Vui lòng thử bộ $(x,y,z)=(1,2,2)$

Xin lỗi nhầm.

Tìm x,y,z nguyên dương thoả mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=p\\ x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+1 \end{matrix}\right.$, với p là số nguyên tố.

Sai.

Tính A = $\int \frac{dx}{(x^{2}+9)^\frac{3}{2}}$

Đặt:

$x=3sinht\Rightarrow dx=3cosh(t)dt$

$\Rightarrow A=\int \frac{3cosh(t)dt}{\sqrt{(9sinh^2(t)+9)^3}}=\frac{1}{9}\int \frac{dt}{cosh^2(t)}=tanh(t)/9+C=\frac{x}{9\sqrt{x^2+9}}+C$

Cho dãy số {$a_{n}$}: $a_{1}$ =3; $a_{n}$ = $a_{n-1}$  +3$n^{2}$ +5. Tính $a_{2012}$, $a_{2013}$. Nêu rõ quy trình ấn phím    

Ta có:

$a_{2012}=a_{2011}+3.2012^2+5=a_{2010}+3(2012^2+2011^2)+2.5=...=a_{1}+3(\sum_{x=1}^{2012}(x^2)-1^2)+2011.5=3+3(\frac{2012(2012+1)(2.2012+1)}{6}-1)+2011.5=1006.2013.4025+2011.5$

Tương tự:$a_{2013}=3\sum_{x=1}^{2013}(x^2)+2012.5=2013.1007.4027+2012.5$

(Ủa có cần dùng máy tính đâu nhỉ?)

cho tam  giác ABC vuông ở A, $\alpha$ là góc giữa 2 trung tuyến BM, CN. Chứng minh: $sin\alpha \leq \frac{3}{5}$

Gọi G là giao điểm của BM và CN, ta có$\Rightarrow$G là trọng tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow BG=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}\sqrt{AB^2+AC^2/4}$

Tương tự:

$GN=\frac{1}{3}CN=\frac{1}{3}\sqrt{AC^2+AB^2/4}$

Xét $\Delta BGN$:

$cos\alpha =\frac{BG^2+GN^2-AB^2/4}{2BG.GN}=\frac{\frac{2}{9}BC^2}{\frac{4}{9}\sqrt{(AB^2+AC^2/4)(AC^2+AB^2/4)}}\geq \frac{\frac{2}{9}BC^2}{\frac{2}{9}(\frac{5}{4}BC^2)}=4/5$

Vì $0< \alpha < \pi \Rightarrow sin\alpha =\sqrt{1-cos^2(\alpha )}\leq 3/5$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $AB=AC$ hay $\Delta ABC$ vuông cân tại A

(Chú ý: $sin(\pi-\alpha )=sin\alpha$)

Tìm GTNN của:

$f(x)=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{d}+\frac{\sqrt{(c-x)^2+b^2}}{f}(x\in \mathbb{R}^+)$

Trong đó a,b,c,d,f là các tham số thực dương và $d\neq f$

(*Không sử dụng đạo hàm)

Chứng minh rằng:

$\frac{ln(3)}{2}> \sum_{i=1}^{\infty }\frac{ln(i)}{2^i}$

Bài toán: Tìm lim của: $$u_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\forall n\in \mathbb{N}$$

Ta có:$\lim u_{n}=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{i}> 1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...=1+1/2+1/2+1/2+...=+\infty$

Vậy $\lim u_{n}=\infty$

Cho số thực $x$ với $0\leq x\leq \pi$ và $\pi^2/6=\sum_{k=1}^{\infty }1/k^2$

Chứng minh rằng:

$x(\pi-x)=\pi^2/6-\sum_{k=1}^{\infty }\frac{cos(2kx)}{k^2}$

Đầu tiên, ta chứng minh được:$\sum_{x=1}^{n}a_{x}^2\geq \frac{(\sum_{x=1}^{n}a_{x})^2}{n} (\forall n\in\mathbb{N}^*)$ bằng quy nạp.

Áp dụng vào bài toán với n=2014, ta có:

$2014^3+1\geq \sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2\geq \frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}\geq 2014^3$

Vậy ta có 3 TH:

TH1:$\sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=\frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=2014$

TH2:$\sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=\frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3+1\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=\sqrt{2014^2+1/2014}$(loại)

TH3:$\left\{\begin{matrix} \sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=2014^3+1\\ \frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3 \end{matrix}\right.$

Ta thấy hệ này không có nghiệm nguyên dương.

Vậy ta có được bộ số tư nhiên duy nhất thỏa mãn đề bài là $a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=2014$

Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a \in \mathbb{N}^*)$

Ta có: $f(5)-f(3)=98a+16b+2c=2015$

$\Rightarrow f(7)-f(1)=342a+48b+6c=3(f(5)-f(3))+48a=3.2015+48a=3.(2015+16a)$

Vì a là số nguyên dương nên $2015+16a$ cũng là số nguyên dương.

$\Rightarrow$ Điều phải chứng minh.

mk học lớp 8

Ta có:$S=\sum_{n=2017+1}^{2.2017}1/n+\sum_{x=2.2017+1}^{3.2017+1}1/x> \frac{2017^2}{\sum_{n=2017+1}^{2.2017}n}+\frac{2018^2}{\sum_{x=2.2017+1}^{3.2017+1}x}$(BDT Cauchy-Schwarz)

$=\frac{2.2017^2}{(3.2017+1).2017}+\frac{2.2018^2}{(5.2017+2).2018}=\frac{2.2017}{3.2017+1}+\frac{2.2018}{5.2017+2}$

$=4036/10087+2017/3026>1$

CMR: S=1/(2017+1)+1/(2017+2)+...+1/(3.2017+1)>1

 

Giúp e vs mn ơi   

Ta có: $S=\sum_{n=2017+1}^{3.2017+1}1/n> \int_{2017+1}^{3.2017+1}dx/x=ln(\frac{3.2017+1}{2017+1})> ln(e)=1$

Vì vai trò của $\alpha$ và $\beta$ là như nhau nên giả sử:

$\left\{\begin{matrix} \alpha =1/2+\sqrt{-3}/2 \\ \beta =1/2-\sqrt{-3}/2 \end{matrix}\right.$

Ta có: $S=\alpha ^{2012}+\beta ^{2012}=\frac{\alpha ^{2048}}{\alpha ^{36}}+\frac{\beta ^{2048}}{\beta ^{36}}=\frac{(1/2+\sqrt{-3}/2)^{2048}}{(1/2+\sqrt{-3}/2)^{36}}+\frac{(1/2-\sqrt{-3}/2)^{2048}}{(1/2-\sqrt{-3}/2)^{36}}$

Nhận thấy: $\alpha^3=\beta ^3=-1$ nên:

$S=(1/2+\sqrt{-3}/2)^{2048}+(1/2-\sqrt{-3}/2)^{2048}=(1/2+\sqrt{-3}/2)^{1024}+(1/2-\sqrt{-3}/2)^{1024}=...=(1/2+\sqrt{-3}/2)^2+(1/2-\sqrt{-3}/2)^2=-1$