Đây là đề thi thử của trường PTNK lần 1 năm 2021 

Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC.ĐIểm P nằm trong tam giác thỏa mãn $\angle CPM=\angle PAB$. Cho em hỏi cách dựng ạ!

 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), có trực tâm H. Gọi N là trung điểm OH. Gọi D, E là hình chiếu của N lên AC, AB. CMR đường thẳng Ole của tam giác ADE đi qua trung điểm ON.

Bài này bạn dùng bổ đề Euler sau của thầy Linh: 
https://nguyenvanlin...2B0BEooupFFmxx0

Gọi trung điểm của đường trung bình ứng với A của tam giác ABC là P

Gọi đối xứng của N qua P là S thì S nằm trên AO 
Gọi trung điểm của AN là X thì XP song song với AO ( đường trung bình) 

Ta đi chứng minh $\angle PGA= \angle PHA$ (dễ dàng chứng minh bằng các tứ giác nội tiếp) 

Vậy P nằm trên đường thẳng Euler của ADE mà O cũng nằm trên đó

Vậy OP là đường thẳng Euler của ADE đi qua trung điểm ON 

Cho tam giác nhọn ABC với đường tròn nội tiếp (I). Gọi ($O_{a}$) là đường tròn có tâm nằm trên đường cao kẻ từ A, đi qua A và tiếp xúc trong với đường tròn (I) tại $A_{1}$, các điểm $B_{1}$, $C_{1}$ được xác định tương tự.

a) CMR AA1, BB1, CC1 đồng quy tại P.

b) Gọi ($J_{a}$), ($J_{b}$), ($J_{c}$) lần lượt là đường tròn đối xứng với đường tròn bàng tiếp góc A, B, C của tam giác ABC qua trung điểm BC, CA, AB. CMR P là tâm đẳng phương của 3 đường tròn nói trên. 

Gợi ý cũng là cách dựng của bài này: Gọi $D$ là điểm tiếp xúc của $(I)$ với $BC$. Kẻ đường kính $DD'$ của $(I)$;

                                                             $AD'$ cắt $(I)$ tại 1 điểm và điểm đó cũng chính là điểm tiếp xúc của đề bài 
Chứng minh đồng quy bằng cách dùng định lí Ceva.

 Tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Gọi F là điểm Toricelli của tam giác. FA, FB, FC cắt lại (O) tại X, Y, Z. CMR OF chia đôi đoạn nối trực tâm của hai tam giác ABC và XYZ. 

Gợi ý: $F$ cũng chính là điểm Fermat của tam giác $XYZ$

Tại đây, ta phát biểu một bổ đề: 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $F$ là điểm Fermat. $FA, FB, FC$ cắt lại (O) tại $X, Y, Z$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $XYZ$ thì $HF$ đi qua tâm đường tròn Euler của tam giác ABC. Áp dụng bổ đề này 2 lần, ta có điều phải chứng minh.

Đưa về chứng minh M,H,S,G thẳng hàng là được, rồi dùng phương tích để chứng minh

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Dây cung EF cắt AB,AC lần lượt tại P,Q. Gọi X,Y,Z,T lần lượt là trung điểm của các đoạn BQ,CP,PQ,EF. Chứng minh XYZT nội tiếp.

P/s: Giúp mình với các bạn!

Ai có thể gợi ý không ạ? Em cũng đang mong lời giải cho bài này !

Lời giải:

Cho em hỏi bài này với ạ . 

Cho số nguyên $k>1$. Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n+\dots +k^n$.
 

Cho 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho $a+b$ là một số lẻ. Gọi $A,B$ là các tập hợp thỏa $A \cup B = N^*$ và $A \cap B = \varnothing$. Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc B sao cho $|x-y| \in$ {a;b}

- Cho em hỏi bài này với ạ 

$\boxed{Problem 4}$Cho $\Delta ABC(AB<AC)$ có trung tuyến $AM$, đường cao AH. Biết $\widehat{BAH}=\widehat{CAM}$. Chứng minh rằng: $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ 

Đây là tính chất của đẳng giác trong tam giác. Trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và trung tuyến AM thì AH đẳng giác với AM =>

$\widehat{BAH}$=$\widehat{CAM}$.

Cho $S$ là tập số thực thỏa: 
i/ $1 \in S$

ii/ $\forall a,b \in S, a-b \in S$ 

iii/ $a \in S, a \ne 0$ thì $\frac{1}{a} \in S$

Chứng minh rằng $\forall a,b \in S$ thì $ab \in S$.

- Giúp với ạ, em cảm ơn  

Cho tam giác ABC nhọn có các đỉnh M,N,P tạo với các cạnh AB,AC,BC thành các tam giác vuông cân tại M,N,P

Chứng minh rằng AF,CM,BN đồng quy.

Trường hợp đặc biệt của định lí Jacopi

Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O). Điểm P bất kì nằm trên cung nhỏ CD. PB $\cap$ CD = K, PB $\cap$ CA=M

PA $\cap$ DC =L,  PA $\cap$ DB =N. MN cắt cạnh AD,BC tại F,E. FK $\cap$ EL=Q. Chứng minh PQ $\perp$ CD

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt AC tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt AB tại F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DE,DF. Chứng minh OI$\perp$AD khi và chỉ khi AD,BN,CM đồng quy. (Đã sửa)

Lời giải: 

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). Trên (IBC) lấy P bất kì, PB,PC cắt (O) tại E,F, D là hình chiếu của P lên BC .Gọi M là trung điểm EF. Qua M kẻ đường thẳng song song với PC,PB cắt trung trực của PD lần lượt tại Q,R. Trung trực của QR căt PM tại N. Chứng minh (NQR) tiếp xúc với (O). 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. Gọi $X, Y$ lần lượt là giao điểm của $AI$ với $DE, DF$. Đường tròn đường kính $XY$ cắt $BC$ lần lượt tại $S, T$. Chứng minh rằng $(AST)$ tiếp xúc $(I)$

Gọi $S$ là giao điểm của $(HIG)$ với $(AEF)$

Ta phát biểu bổ đề tỉ số phương tích: 

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại 2 điểm $A,B$. Lấy điểm $C,D$ bất kì thỏa mãn $\frac{\mathbb{P}_{C/(O)}}{\mathbb{P}_{D/(O)}}=\frac{\mathbb{P}_{C/(O')}}{\mathbb{P}_{D/(O')}}$. Khi đó bốn điểm $A,B,C,D$ đồng viên. 

Quay trở về bài toán: 

$(1)$ Ta chứng minh $AH$ là tiếp tuyến của $(HIG)$ 

Đây chính là câu $(a)$ bài 5 trong đề thi tuyển sinh vào trường LQĐ Đà Nẵng 2020

$(2)$ Xét phương tích của điểm $J,K$ đối với $(HIG)$ và $(AEF)$

$\frac{\mathbb{P}_{J/(AEF)}}{\mathbb{P}_{J/(HIG)}}=\frac{IH.IA}{IH^2}=\frac{IH^2}{IH^2}=1$

$\frac{\mathbb{P}_{K/(AEF)}}{\mathbb{P}_{K/(HIG)}}=\frac{KH.KF}{KH.KG}=\frac{KH.KG}{KH.KG}=1$

Suy ra: $\frac{\mathbb{P}_{J/(AEF)}}{\mathbb{P}_{J/(HIG)}}=\frac{\mathbb{P}_{K/(AEF)}}{\mathbb{P}_{K/(HIG)}}$

Nên: $(KJH), (AEF), (HIG)$ đồng trục $\rightarrow K, J, H, S$ đồng viên

Làm tương tự với điểm $L$ thì $J, H, L, S$ đồng viên. Suy ra $HJLK$ nội tiếp. 

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$, $(I)$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ tại $D$, $E$, $F$. Dựng hình bình hành $ABPC$, đường thẳng qua $P$ vuông góc với $EF$ tại $K$. Chứng minh $DK$, $DP$ đẳng giác $\widehat{EDF}$
P/s:   

Không biết có phải trùng hợp không chứ câu này đang nằm trong số tháng 9 của tạp chí Pi 
Mình nghĩ là bạn không nên đăng ở diễn đàn
Nếu không phải thì cho mình xin lỗi nha. 

Cho tam giác $ABC$ nhọn với đường cao  $BD,CE$.Gọi M là trung điểm $BC$,đường thẳng $AM$ cắt $DE$ tại $F$.Kẻ $CH$ vuông góc với $BF$ tại H.Chứng minh $AB$ là tiếp tuyến của $(AHD)$

P/s: Giúp em bài này với ạ! (Đã giải ra rồi ạ)

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=60^o$. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho $CD=2BD$. Kẻ $DE$ // $AC$ ($E\in AB$). Chứng minh $\widehat{BED}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$.

Hình như có nhầm lẫn ở đề đúng không bạn?

Gọi K là hình chiếu của C lên AB. F là trung điểm HC, D là trung điểm của AK.

EF= $\frac{1}{2}$AH mà AH=BE => EF=$\frac{1}{2}$BE => $\widehat{EBC}$=30^o (1)

ED=$\frac{1}{2}$CK mà CK$\le$AH mà AH=BE => DE $\le$$\frac{1}{2}$BE 

=> $\widehat{EBA}$$\le$30^o (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\widehat{ABC}$$\le$60^o

$\boxed{Problem 34}$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $D$ sao cho $BD = \frac{BC}{2}$. Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt $AC$ ở $E$. Gọi $M$ là điểm trên đoạn thẳng $DE$ sao cho $DM=BD$. Chứng minh rằng: $\widehat{ADM}=2\widehat{DAM}$

Gọi N là trung điểm BC, $\Delta$ABC vuông tại A mà AN là trung tuyến => AN=BN=CN=$\frac{1}{2}$BC

BD=$\frac{1}{2}$BC => BN=BD

mà BD=DM => BN=DM => BDMN là hình bình hành=>BD//MN 

=>$\widehat{ABN}$=$\widehat{ADN}$ mà $\Delta$NAB cân tại N => $\widehat{ABN}$=$\widehat{BAN}$

$\Delta$NAM cân tại N => $\widehat{MAN}$=$\widehat{AMN}$ mà $\widehat{DAM}$=$\widehat{AMN}$

=>$\widehat{ADM}$=$\widehat{ABN}$=$\widehat{BAN}$=$\widehat{DAM}$+$\widehat{MAN}$=2$\widehat{DAM}$