857061_350666278384170_2080496512_o.jpg
 
Không nhớ cái ảnh này đăng chưa, bây giờ cứ đăng lại
 
Hàng mới về này là combo
Áo xanh: E.Galois
Giữa: hxthanh (thầy Thanh)
Trái: supermember (Lộc)

Thời gian ôi...Mới ngày nào là hàng mới về, giờ đã là đồ cổ...(Just kidding...).

Biết rằng: 1+2+3+4+...+n=$\frac{n*(n+1)}{2}$ là 1 đa thức bậc 2. Biết $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là 1 đa thức bậc 3. Tìm công thức tính tổng các bình phương

Tổng quát :

Định lý (không chứng minh)
$\sum_{k=1}^{n}k^m=\sum_{k=0}^{m}\binom {n+1}{k+1}S(m,k)k! \quad$ trong đó $S(m,k)$ là số Stirling loại 2

Áp dụng :
- Với $m=2:$
$1^2+2^2+....+n^2=\binom {n+1}{2}+2\binom {n+1}{3}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
- Với $m=3:$
$1^3+2^3+....+n^3=\binom {n+1}{2}+6\binom {n+1}{3}+6\binom{n+1}{4}$
...vv....

Tuyệt vời! Một cách giải ngắn gọn, đơn giản, nhẹ nhàng, chơn chất, mộc mạc...có đâu như cách giải kia: nặng nề, dài dòng...hic...
Nhân đây, xin tri ân anh chanhquocnghiem nhiều nhiều... vì,trên 4rum này, có lẽ anh là người anh duy nhất đã kiểm tra tính đúng đắn hầu hết các lời giải từ trước đến giờ của em!
Thank you so much mille fois.(hihi..)
PS: Thật ra, nói đi thì cũng nói lại, công bằng mà nói: lời giải của em có thể ngắn đi một nửa (do không cần thực hiện bước tính số các số có 4 csố) một khi có thêm nhận xét là số các số có 5 csố bắt đầu bằng 0 sẽ chiếm 1/7 số các số 5 csố đã tính (đã tính là 840 số), do đó đáp số là : $840\times\frac{6}{7}=\boxed{720}$

Chẳng hạn như, đề toán có thêm một số phá vỡ bước cuối (chẳng hạn số 6) hoặc yêu cầu các chữ số phải khác nhau thì làm thế nào ạ? Em cảm ơn thầy!

Chúng ta thử xét bài toán bao gồm cả 2 điều kiện ràng buộc trên như sau:
Cho $B=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6 \right \}$, từ B lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 csố khác nhau và số đó chia hết cho 3.
Giải ( hy vọng không bị sai...hic..) :
Trước hết, ta tính số các số có 5 csố khác nhau thỏa yêu cầu (kể cả csố 0 có nghĩa khi đứng bên trái ngoài cùng). Xét đa thức :
$f(x,y)=(1+x^0y)(1+x^1y)(1+x^2y)(1+x^3y)(1+x^4y)(1+x^5y)(1+x^6y)$
Hệ số của $y^5$ ( ký hiệu $\left [ y^{5} \right ]$ ) trong khai triển $f(x,y)$ là :
$ \left [ y^{5} \right ]f\left ( x,y \right )=r\left ( x \right )=x^{20}+x^{19}+2x^{18}+2x^{17}+3x^{16}+3x^{15}+3x^{14}+2x^{13}+2x^{12}+x^{11}+x^{10} $
Gọi $\omega $ là căn bậc 3 nguyên thủy thì $\omega ^{3}=1$ và :
$N_{1}=\frac{1}{3}\left ( r\left ( 1 \right )+r\left ( \omega \right ) +r\left ( \omega ^{2} \right )\right )$ . Ta có : $r\left ( 1 \right )=21,r\left ( \omega \right )=r\left ( \omega ^{2} \right )=0\Rightarrow N_{1}=\frac{21}{3}=7\Rightarrow$ số các số là $ S_{1}= 7\cdot5!=840$
Tiếp đến, ta tính số các số có 4 csố khác nhau và chia hết cho 3 được lập từ $C=B\backslash\left \{ 0 \right \}$. Tương tự như trên, xét đa thức :
$g(x,y)=(1+x^1y)(1+x^2y)(1+x^3y)(1+x^4y)(1+x^5y)(1+x^6y)$
Hệ số của $y^4$ trong khai triển $g(x,y)$ là :
$ \left [ y^{4} \right ]g\left ( x,y \right )=s\left ( x \right )=x^{18}+x^{17}+2x^{16}+2x^{15}+3x^{14}+2x^{13}+2x^{12}+x^{11}+x^{10} $
Gọi $\omega $ là căn bậc 3 nguyên thủy thì :
$N_{2}=\frac{1}{3}\left ( s\left ( 1 \right )+s\left ( \omega \right ) +s\left ( \omega ^{2} \right )\right )$ . Ta có : $s\left ( 1 \right )=15, s\left ( \omega \right )=s\left ( \omega ^{2} \right )=0\Rightarrow N_{2}=\frac{15}{3}=5\Rightarrow$ số các số là $
S_{2}= 5\cdot4!=120$
Vậy, số các số thỏa yêu cầu đề bài là :
$S=S_{1}-S_{2}=840-120= \boxed {720}$

2)Tìm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.

Ta thấy số các số tự nhiên có 5 chữ số là $9\cdot 10^4$ suy ra số các số thỏa đề bài là $\frac{90000}{2}=45000$
Hoặc là :
Số các số tự nhiên có 4 chữ số :
$9\cdot10\cdot10\cdot 10=9000$
Tổng các chữ số của mỗi số này nếu là lẻ ta có $5$ cách thêm một chữ số chẵn và nếu tổng là chẵn thì ta cũng có $5$ cách thêm một chữ số lẻ để tạo thành các số thỏa đề bài. Do đó, số các số thỏa yêu cầu đề bài là :
$9000\cdot 5=45000$

Cách 3:
Số các số kể cả có chữ số 0 đứng đầu - số các số có chữ số 0 đứng đầu:
$\frac{7!}{2!3!}C_{8}^{2}-\frac{6!}{2!3!}C_{7}^{1}=11760-420=11340$

Cách khác :
Vì các số liệu vào tương đối nhỏ, nên ta tính theo casework .
Có các bộ số xuất hiện trên 3 xúc xắc :
$\begin {align*}
(1\,3\,6)\Rightarrow 3!=6 \\
(1\,4\,5)\Rightarrow 3!=6\\
(2\,2\,6)\Rightarrow 3!/2!=3\\
(2\,3\,5)\Rightarrow 3!=6\\
(2\,4\,4)\Rightarrow 3!/2!=3\\
(3\,3\,4)\Rightarrow 3!/2!=3
\end {align*}$
Do đó XS cần tính là :
$\frac {6\cdot 3+3\cdot 3}{6^3}=\frac {27}{6^3}=\frac {1}{8}$

Thử đếm số bộ nguyên dương $S=\{(x_1,x_2,x_3) \;\;|\;x_1+x_2+x_3=10;\; 1\le x_1,x_2,x_3 \le 6 \}$
theo cách sau:
$\begin{cases}x_1+x_2=10-x_3=k\\ 1\le x_3\le 6\end{cases}\Rightarrow 4\le k\le 9$
$\Rightarrow \begin{cases}x_1=k-x_2\\ 4\le k\le 9\\ 1\le x_2\le 6\end{cases}\Rightarrow \max\{k-6,1\}\le x_1\le \min\{k-1,6\}$
 
$|S|=\sum_{k=4}^9(\min\{k-1,6\}-\max\{k-6,1\}+1)=\sum_{k=4}^7 (k-1-1+1)+\sum_{k=8}^9(6-(k-6)+1)$
$\quad =(3+4+5+6)+(5+4)=27$
 
Mình đúng là thích phức tạp hóa vấn đề!

Còn có em nữa thầy ơi!
Thử đếm số bộ nguyên dương $S=\{(x_1,x_2,x_3) \;\;|\;x_1+x_2+x_3=10;\; 1\le x_1,x_2,x_3 \le 6 \}$
theo cách sau :
Xét :
$f(x)=\left (\frac{x-x^7}{1-x} \right )^3=x^3\left ( 1-x^6 \right )^3\left ( 1-x \right )^{-3}$
Số bộ 3 nguyên dương là:
$[x^{10}]f(x)=[x^7]\left (1-x^6 \right )^3\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-3}{k}\left ( -x \right )^k=\left ( [x^7]-3[x^1]+h(x) \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+2}{2}x^k=\binom{9}{2}-3\binom{3}{2}=36-9=27$

Hoặc là :
Ta có hàm sinh xác suất :
$$f(x)=\left (\frac {1}{6}(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\right) ^3$$Suy ra XS cần tìm là :
$[x^{10}]f(x)=\frac {1}{8}$

Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
các pro giúp với

Cách khác :
Trước hết, xem chữ số 0 ngoài cùng bên trái là có nghĩa.
Xét hàm sinh :
$$f(x,y)=(1+y)(1+xy)(1+x^2y)...(1+x^9y)$$
trong đó, $x$ đại diện cho các chữ số, $y$ đại diện cho số chữ số.
Với sự trợ giúp của máy tính, ta có số các số có 5 chữ số chia hết cho 9:
$[y^5]f(x,y)=14x^{27}+14x^{18}$
$\Rightarrow 5![y^5]f(x,y)=5!(14+14)=3360$
Số các số có 4 chữ số (không có chữ số 0) chia hết cho 9:
Hàm sinh :
$$g(x,y)=(1+xy)(1+x^2y)...(1+x^9y)$$
$\Rightarrow [y^4]g(x,y)=3x^{27}+11x^{18}$
$\Rightarrow 4![y^4]g(x,y)=4!(3+11)=336$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là :
$3360-336=\boldsymbol {3024}$
Hoặc không cần tính số các số có 4 chữ số nếu có nhận xét :
Vì các chữ số có vai trò như nhau nên số các số bắt đầu là chữ số 0 chiếm $1/10$ số các số. Suy ra số các số thỏa yêu cầu là :
$3360(1-\frac{1}{10})=\boldsymbol {3024}$

Đào bitcoin nào!
Đối với 2 bài toán này, theo mình thì không nhất thiết phải sử dụng đến dao to búa lớn ( hệ thống CAS...) mà chỉ cần với những kiến thức rất cơ bản về tổ hợp lặp, về hàm sinh, về chuỗi ... là ta có thể giải một cách nhẹ nhàng bằng " by pen and paper "cụ thể như sau:
Bài 1: Xét :
$\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=15 \\
x_{1}\geq 3;x_{2},x_{3},x_{4}\geq 0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12 \\
x_{i}\geq 0
\end{cases}$
có số nghiệm là $\binom{12+3}{3}=\binom{15}{3}$
Xét tiếp :
$ \begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12 \\
x_{2}\geq 4;x_{2},x_{3},x_{4}\geq 0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=8 \\
x_{i}\geq 0
\end{cases}$
có số nghiệm là $\binom{8+3}{3}=\binom{11}{3}$
Vậy số nghiệm thỏa đề bài là :
$ \binom{15}{3}-\binom{11}{3}=455-165=\boxed {290}$
Bài 2:
Ta viết hàm sinh cho từng nghiệm :
$\begin{align*}
x_{1}&\longrightarrow x^{2}+x^{3}+...+x^{8} =\frac{x^2\left(1-x^{7} \right )}{1-x}\\
x_2,x_3 &\longrightarrow \frac{x^{4}}{1-x}\\
x_4 &\longrightarrow 1+x+x^2+...+x^5=\frac{1-x^6}{1-x}
\end{align*}$
Ta có hàm sinh :
$f\left ( x \right )=\frac{x^{10}\left ( 1-x^6 \right )\left (1-x^7 \right )}{\left ( 1-x \right )^4}=\frac{x^{23}+x^{10}-x^{17}-x^{16}}{\left ( 1-x \right )^4}$
Ta tính hệ số của số hạng chứa $x^{40}$ trong khai triển của $f(x)$:
$\left [ x^{40} \right ]f(x)=\left (\left [ x^{17} \right ]+\left [ x^{30} \right ]-\left [ x^{23} \right ]-\left [ x^{24} \right ] \right )\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+3}{3}x^k=\binom{17+3}{3}+\binom{30+3}{3}-\binom{23+3}{3}-\binom{24+3}{3}=\binom{20}{3}+\binom{33}{3}-\binom{26}{3}-\binom{27}{3}= 1140+5456-2600-2925=\boxed {1071}$
Voilà! không dùng computer nhé, chỉ by hand mà thôi.

Bốn số thì sao ??cho tập A ={1,2,3,4,...,19,20} lấy ngẫu nhiên 4 số của tập A.tính xác xuất để lấy dcj 4 số trong đó k có hai số tự nhiên liên tiếp?

Hoặc là :
Xét xâu nhị phân kích thước 20 gồm 16 bit 0 và 4 bit 1. Xếp 16 bit 0 thành hàng ngang, bố trí 4 bit 1 vào 17 khoảng trống, số các xâu loại này chính là số cách chọn 4 số thỏa yêu cầu và bằng $C_{17}^{4}$.

Bốn số thì sao ??cho tập A ={1,2,3,4,...,19,20} lấy ngẫu nhiên 4 số của tập A.tính xác xuất để lấy dcj 4 số trong đó k có hai số tự nhiên liên tiếp?

Chọn 4 số $a,b,c,d$ thỏa yêu cầu thì 4 số này phải thỏa bđt sau:
$$1\leq a<b-1 <c-2 <d-3 \leq17$$
Đặt $w=a,x=b-1,y=c-2,z=d-3$ thì mỗi một cách chọn 4 số $w,x,y,z$ từ tập $\left \{ 1,2,...,17 \right \} $ tương ứng với một cách chọn 4 số thỏa yc đề bài, nên XS cần tìm là :
$\frac{C_{17}^{4}}{C_{20}^{4}}=\frac{2380}{4845}=\frac{28}{57}$

Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn văn, 4 cuốn nhạc, 3 cuốn họa. Thầy muốn lấy ra 6 quyển đem tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn
a> Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn thuộc 2 thể loại văn và nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng
b> Giả sử thầy giáo muốn sau khi tặng sách xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất 1 cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng

b/ Thử dùng hàm sinh nhé...
Ta có hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x)&=\left (1+\binom {5}{1}x+\binom {5}{2}x^2+\binom {5}{3}x^3 +\binom {5}{4}x^4 \right )\\
&\left (1+\binom {4}{1}x+\binom {4}{2}x^2+\binom {4}{3}x^3 \right ) \left (1+\binom {3}{1}x+\binom {3}{2}x^2 \right ) \\
&=(1+5x+10x^2+10x^3+5x^4)(1+4x+6x^2+4x^3)(1+3x+3x^2)
\end{align*}$$
Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu là :
$$6![x^6]f(x)=720\cdot 805=\boldsymbol {579600}$$

2.Một trường có 50hs giỏi trong đó có 4 cặp sinh đôiHỏi có bao nhiêu cách chọn 4 hs trong 1 đội danh dự sao cho 4 học sinh được chọn ko chứa cặp sinh đôi nào

Gọi $k$ là số hs thuộc nhóm sinh đôi được chọn vào đội danh dự thì số cách chọn thỏa yêu cầu là
$$\sum_{k=0}^{4}C_{4}^{k}\cdot 2^k\cdot C_{42}^{4-k}=225794$$

Bạn làm sai hoàn toàn rồi
Nếu chỉ giả sử số kẹo tăng dần từ $x_1 \to x_6$ thì nó cũng có thể giảm từ $x_6 \to x_1$ mà và còn nhiều trường hơp nữa.
Áp dụng theo qui tắc chia kẹo Euler ta tìm đc 126 cách.

Bạn xem lại kỹ cách người ta đặt vấn đề nhé, rồi hãy phán đúng sai nhé (phán là sai hoàn toàn mới ghê chứ!).

$\large{\text{Ý bạn là bạn hallofame ở bên trên làm sai ạ?}}$

Đã bảo là đọc KỸ : người ta giải bài toán khác (level cao hơn) với bài OP.

Bạn làm sai hoàn toàn rồi
Nếu chỉ giả sử số kẹo tăng dần từ $x_1 \to x_6$ thì nó cũng có thể giảm từ $x_6 \to x_1$ mà và còn nhiều trường hơp nữa.
Áp dụng theo qui tắc chia kẹo Euler ta tìm đc 126 cách.

Để có thể khẳng định bạn kia "sai hoàn toàn" thì xin bạn vui lòng post bài giải áp dụng bài toán chia kẹo Euler của bạn có đáp án 126 cách để mọi người xem nhé.

Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiện gồm 3 chữ số và chia hết cho 3 , nếu :
1) số đó tuy ý .
2) số đó có các chữ số khác nhau .

1) Lời phi lộ ( ăn cây nào rào cây ấy) : em xin phép vi phạm bản quyền của thầy @hxthanh, anh @chanhquocnghiem !
Ta xét trên hệ cơ số 9, từ số $100_{(9)}$ đến số $888_{(9)}$ có bao nhiêu số chia hết cho 3. Biết rằng :
$100_{(9)}=9^2=81$ và $888_{(9)}=9^3-1=728$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là :
$$\left \lfloor \frac {728}{3} \right \rfloor-\left \lfloor \frac {80}{3} \right \rfloor=242-26=\boldsymbol {216}$$
2) Trước hết, xem chữ số 0 ngoài cùng bên trái là có nghĩa.
Xét hàm sinh :
$$f(x,y)=(1+y)(1+xy)(1+x^2y)...(1+x^8y)$$
trong đó, $x$ đại diện cho các chữ số, $y$ đại diện cho số chữ số.
Với sự trợ giúp của máy tính, ta có số các số có 3 chữ số chia hết cho 3:
$[y^3]f(x,y)=x^{21}+3x^{18}+7x^{15}+8x^{12}+7x^9+3x^6+x^3$
$\Rightarrow 3![y^3]f(x,y)=3!(1+3+7+8+7+3+1)=180$
Số các số có 2 chữ số (không có chữ số 0) chia hết cho 3:
Hàm sinh :
$$g(x,y)=(1+xy)(1+x^2y)...(1+x^8y)$$
$\Rightarrow [y^2]g(x,y)=x^{15}+2x^{12}+4x^9+2x^6+x^3$
$\Rightarrow 2![y^2]g(x,y)=2!(1+2+4+2+1)=20$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là :
$180-20=\boldsymbol {160}$
Hoặc là :
Vì các chữ số có vai trò như nhau nên số các số bắt đầu là chữ số 0 chiếm $1/9$ số các số. Suy ra số các số thỏa yêu cầu là :
$180(1-\frac {1}{9})=\boldsymbol {160}$

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 .Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3

@chanhquocnghiem:
Đây cũng là 1 minh chứng cho bài toán được giải quyết tốt khá là nhẹ nhàng, ngắn gọn khi tiếp cận bằng pp "mộc mạc, cổ điển " quen thuộc, trong khi đó nếu dùng hàm sinh thì bài giải khá dài, cồng kềnh và phải vận dụng thêm một ít kiến thức toán học khác.
a/ Cách tiếp cận "chân phương ", truyền thống:(Mời bạn gì đó nên xem phần này nhé ) theo mình thì bạn phân thành 3 tập :$A_0=\left \{ 3,6,9 \right \},A_1=\left \{ 1,4,7 \right \},A_2=\left \{ 2,5,8 \right \} $. Sau đó bạn tính số tập con có 4 phần tử mà tổng các phần tử chia hết cho 3. Tdụ : số cách chọn 2 ptử thuộc $A_0$ + 1 ptử thuộc $A_1$ + 1 ptử thuộc $A_2$ là : $C^{1}_{3}.C^{1}_{3}.C^{1}_{3}=27$..vv... Cứ tính như vậy, bạn sẽ có số tập con có 4 ptử và tổng 4 ptử chia hết cho 3 là $42$. Thực hiện hoán vị 4 ptử trong mỗi tập, bạn sẽ được số các số thỏa yêu cầu đề bài là $4!42$. Từ đây bạn dễ dàng tính được XS mà đề bài yêu cầu.
b/ Tiếp cận bằng hàm sinh :
Ta lập hàm sinh $G(x,y)$, trong đó $x$ mang thông tin là tổng các phần tử, $y$ mang thông tin là số phần tử. Ta có :
$$G(x,y)=(1+xy)(1+x^2y)(1+x^3y)...(1+x^9y)$$
Khai triển dưới dạng tổng thì:
$G(x,y)=\sum_{n,k}^{} a_{n,k}x^ny^k$
Gọi $\omega ^{2\pi i/3} $ là một căn bậc 3 của đơn vị và $N$ là số tập con $ k$ phần tử và tổng k phần tử trong tập con này là $n$ thì :
$N=\sum_{k\geq 0, 3\mid n}^{}a_{n,k}y^k=\frac{G(1, y) +G(\omega, y)+G(\omega^2, y) }{3}$
Ta có :
$G(1,y)=(1+y)^9$
$G(\omega^j,y)=(1+\omega^jy)(1+\omega^{2j}y)...(1+\omega^{9j}y)=\left ( (1+\omega y)(1+\omega^{2}y) (1+\omega^{3}y) \right )^3, \forall j\geq 1$
Dễ thấy phương trình $y^3+1=0$ có nghiệm là $-e^{-1}, -e^{-2}, -e^{-3} $ nên :
$(1+\omega y)(1+\omega^{2}y) (1+\omega^{3}y)=1+y^3$
Suy ra :
$N=\sum_{k\geq 0, 3\mid n}^{}a_{n,k}y^k=\frac{(1+y)^9+2(1+y^3)^3}{3}$
Với $k=4$ ta có :
$N=\frac{\binom{9}{4}+2(1+y^3)^3}{3}=\frac{\binom{9}{4}}{3}=\frac{126}{3}=42$
Suy ra số các số thỏa yêu cầu đề bài là $\boxed {4!42}$
Chú thích :
- Số hạng thứ hai trong tử số của $N$ bằng $0$ vì sau khi khai triển số hạng này thì trong khai triển không có số hạng nào chứa $y^4$.

PS: Nhân đây, cho phép em hỏi thăm anh Chanhquocnghiem : Lâu rồi không thấy anh viết bài trên forum, anh mạnh khỏe chứ?

Bạn/thầy/cô ơi, bạn có thể cho mình xem sơ qua cách đấy được không ạ? Mình đã thử cách đó nhưng lại ra đáp án sai ạ.

Theo bạn trên, ta có các tập sau : $A=\left \{ 1,4,7 \right \},B =\left \{ 2,5,8 \right \},C =\left \{ 0,3,6,9 \right \}$. Các số thỏa yêu cầu sẽ có :
a/ 4 chữ số $\in$ C:
$4!-3!= 18$ số (trừ các số bắt đầu là cs 0)
b/ (2 cs $\in $ C) và (1 cs $\in $ A) và (1 cs $\in $ B):
$C_{4}^{2}\cdot C_{3}^{1}\cdot C_{3}^{1}\cdot 4!-C_{3}^{1}\cdot C_{3}^{1}\cdot C_{3}^{1}\cdot3!=1134$ số
c/ (1 cs $\in $ C) và ((3 cs $\in $ A) hoặc (3 cs $\in $ B)) :
$2\left ( C_{4}^{1}\cdot 4!-3! \right)=180 $ số
d/ (2 cs $\in $ A) và (2 cs $\in $B):
$C_{3}^{2}\cdot C_{3}^{2}\cdot 4!=216$ số
Số các số thỏa yêu cầu là :
$18+1134+180+216=1548$ số

E chưa hiểu sao ko độc lập ạ, tại e thấy công ty A thua lỗ hay không cũng ko ảnh hưởng đến xác suất thua lỗ của công ty B. Ko biết có chỗ nào e hiểu ko đúng ko ạ

Theo mình hiểu thì :
Nếu 2 cty độc lập thì ta phải có $P(M\cap N)=0 $ nhưng theo đề bài thì $P(M\cap N)=0,1 $ do đó sự thua lỗ của 2 cty này là không độc lập với nhau.

gọi X la tập hợp các số có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X. tính xác suất để chọn được một số thuộc X chia hết cho 9

Dễ thấy rằng số có 10 chữ số đôi một khác nhau thì chia hết cho 9 nên số có 8 chữ số đôi một khác nhau mà chia hết cho 9 thì nó không có 1 trong 5 cặp chữ số sau $(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$. Vậy xác suất cần tìm là :
$\frac {5}{C_{10}^{2}}=\frac {1}{9}$

Có lẽ bài này có một cách làm nhanh nhất là sử dụng hàm sinh (dù hơi cao cấp)
Số cách lấy bi thoả mãn yêu cầu đề bài là hệ số của đơn thức $x^8$ trong hệ thức sau:
$\left ( \sum_{i=1}^{7}x^i \right )\left ( \sum_{i=1}^{6}x^i \right )\left ( \sum_{i=1}^{5}x^i \right )$

- Hàm sinh của bạn được lập khi xét trường hợp các bi chỉ khác nhau về màu sắc như sau :
$\begin {align*}
f(x)&=\frac {x^3(1-x^5)(1-x^6)(1-x^7)}{(1-x)^3}\\
\Longrightarrow [x^8]f(x)&=[x^{5}](1-x^5)\sum_{k\geq 0}\binom {k+2}{2}x^k\\
&=\binom {7}{2}-\binom{2}{2}=\boldsymbol {20}\text { cách }
\end {align*}$
- Còn lời giải trên là xét trong trường hợp các bi khác nhau đôi một và lúc này ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
g(x)&=\left ( \binom{5}{1}x+\binom{5}{2}x^2+\binom{5}{3}x^3+\binom{5}{4}x^4 +
\binom{5}{5}x^5 \right )\\
&\cdot \left ( \binom{6}{1}x+\binom{6}{2}x^2+\binom{6}{3}x^3+\binom{6}{4}x^4 +
\binom{6}{5}x^5 +\binom {6}{6}x^6\right )\\
&\cdot \left ( \binom{7}{1}x+\binom{7}{2}x^2+\binom{7}{3}x^3+\binom{7}{4}x^4 +
\binom{7}{5}x^5+\binom{7}{6}x^6+\binom{7}{7}x^7 \right )\\
\Longrightarrow [x^8]g(x)&=[x^8][(7 x + 21 x^2 + 35 x^3 + 35 x^4 + 21 x^5 + 7 x^6 + x^7)\\
&\cdot (6 x + 15 x^2 + 20 x^3 + 15 x^4 + 6 x^5 + x^6)\\
&\cdot  (5 x + 10 x^2 + 10 x^3 + 5 x^4 + x^5)]=\boldsymbol {41811}\text { cách }
\end {align*}$

Em cũng xin đóng góp 1 lời giải khác :
Sau khi viết hàm sinh cho từng chữ số, ta được hàm sinh :
$f(x)=\left(x+x^2+x^3+x^4+x^5 \right)\left (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5 \right)^4$
Gọi $\omega =e^{2\pi i/3}$ là một căn bậc 3 của đơn vị thì theo định lý RUF, số các số thỏa đề bài là :
$N=\frac{f(1)+f(\omega )+f(\omega ^2)}{3}$
với $f(1)=5\cdot6^4, f(\omega )=f(\omega ^2)=0$ nên ta có:
$N=\frac{5\cdot6^4 }{3}=\boxed {2160} $