Cho $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 1$. $CMR :\sum \frac{a}{b+c} + \frac{3abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )} \leq 2$

Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases} x_{1}=1 \\x_{n+1}=\frac{3x_{n}+1}{2x_{n}+1}, n\geq 1 \end{cases}$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó

Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi : $\begin{cases} x_{1}=1 \\x_{n+1}=\frac{x_{n}+3}{x_{n}+2}, n\geq 1 \end{cases}$

Chứng minh dãy $(x_{n})$ có giới hạn, tìm giới hạn đó.

Ở trường hợp (2) , $y+3=\sqrt{1-x^{2}}$

Vì $y\geq -\frac{3}{2} \Rightarrow y+3\geq \frac{3}{2}> 1$

$\sqrt{1-x^{2}}\leq 1$

nên trường hợp này sai 

 $\displaystyle \displaystyle \begin{cases} x^{2}+y^{2}+3\sqrt{1-x^{2}}=1-3y(1) \\ 2x\sqrt{x+2} +(x+1-y)\sqrt{3+2y}=0(2) \end{cases}$

Từ $(1)$ biến đổi ta được $(2\sqrt{1-x^2}-3)^2=(2y+3)^2\Rightarrow ....

Cụ thể ở pt (2) đi bạn mình cx ra nhân tử ở pt (1) nhưng chưa tìm đc cách giải quyết ở pt 2

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực 

$\displaystyle \begin{cases} x^{2}+y^{2}+3\sqrt{1-x^{2}}=1-3y \\ 2x\sqrt{x+2} +(x+1-y)\sqrt{3+2y}=0 \end{cases}$

Mình vừa nghĩ 1 cách khác, có lẽ cách này đơn giản hơn 1 tí 
Từ phương trình (1), ta có : $y=-\sqrt{1-x^2}$

Thế vào pt(2), ta được : 

$\sqrt{x+1}\left ( \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} \right )\sqrt{3-2\sqrt{1-x^{2}}}=-2x\sqrt{x+2}$

Xét trường hợp $x+1=1-x \Rightarrow x=0 (KTM)$

Xét trường hợp $x+1\neq 1-x \Leftrightarrow x\neq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}.\frac{2x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}.\sqrt{3-2\sqrt{1-x^{2}}}=-2x\sqrt{x+2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}.\sqrt{3-2\sqrt{1-x^{2}}}=\left ( \sqrt{1-x} -\sqrt{1+x}\right )\sqrt{x+2}$

Đặt $a=\sqrt{x+1}\geq 0,b=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\geq 0$

Phương trình trở thành : $a\sqrt{b^{2}+1}=b\sqrt{a^{2}+1} \Leftrightarrow a^{2}=b^{2} \Leftrightarrow a=b$

Giải ra tìm được $x=-\frac{3}{5};y=-\frac{4}{5}$

Giải hệ phương trình : 

$\displaystyle \begin{cases} x^{2}-14xy+y^{2}=4 \\ 12x^{2}+y=2-x(12y+5) \end{cases}$

Bạn cộng mấy cái lại là sẽ ra

$\Leftrightarrow \sum \frac{2a}{b+c} -3\leq 2\left ( \sum \frac{a}{b} -3\right )$

$2\left ( \sum \frac{a}{b+c} -\frac{3}{2} \right )\leq 2\left ( \sum \frac{a}{b} -3\right )$

$\sum \frac{a}{b}-3=\sum \frac{a^{2}}{ab}-3\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sum ab}-3=\frac{\sum (a-b)^{2}}{2\sum ab}$

$\Rightarrow 2\left ( \sum \frac{a}{b}-3 \right )\geq \frac{\sum (a-b)^{2}}{\sum ab}$

$2\left ( \sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2} \right )=2\left ( \sum \frac{(a-b)^{2}}{2(a+c)(b+c)} \right )=\sum \frac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}$

Can : $\sum \frac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}\leq \sum \frac{(a-b)^{2}}{ab+bc+ca}$

$\Leftrightarrow \sum \left ( a-b\right )^{2}\left ( \frac{1}{\sum ab} -\frac{1}{(a+c)(b+c)}\right )\geq 0 \Leftrightarrow\sum \left ( a-b \right )^{2}\left ( \frac{c^{2}}{\sum ab.(a+c)(b+c)} \right )\geq 0$

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh 

$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1+\frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$

$\sum \frac{a}{b+2c}-1 \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ca)}-1=\frac{\sum a^{2}-\sum ab}{3\sum ab}=\frac{(b-c)^{2}+(a-c)(a-b)}{3\sum ab}$

Can chung minh :$\frac{(b-c)^{2}+(a-c)(a-b)}{3\sum ab}\geq \frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$

WLOG, gia su $a=min\left \{ a;b;c \right \} \Rightarrow (a-c)(a-b)\geq 0$

Quy ve chung minh $\frac{(b-c)^{2}}{3\sum ab}\geq \frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}} \Leftrightarrow (b-c)^{2}\left ( b^{2}+2bc+c^{2}-ab-bc-ca \right )\geq 0$ 
 

c/ Điều kiện : $x\geq -\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \left (2+4x+2\sqrt{(1+x)(1+3x)} \right )(1+2x)=4(1+4x)$

$\Leftrightarrow \left ( 1+2x+\sqrt{(1+x)(1+3x)} \right )(1+2x)=2(1+4x)$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-4x-1 +\sqrt{3x^2+4x+1}.\sqrt{4x^{2}+4x+1}=0$

$VP\geq 4x^2-4x-1+\sqrt{3x^2+4x+1}.\sqrt{3x^2+4x+1}=7x^{2}\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi $x=0$ (thỏa)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$

a/

Điều kiện : $-1\leq x\leq 3$

$\Leftrightarrow 14-4x+2\sqrt{(4-x)(10-3x)}=\left ( 4+2\sqrt{(1+x)(3-x)} \right )(7-2x)$

$\Leftrightarrow 7-2x+\sqrt{(4-x)(10-3x)}=\left ( 2+\sqrt{(1+x)(3-x)} \right )(7-2x)$

$\Leftrightarrow (7-2x)- \sqrt{3x^{2}-22x+40}+(7-2x)\sqrt{(1+x)(3-x)}=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-3)^2}{7-2x+\sqrt{3x^2-22x+40}} +(7-2x)\sqrt{(1+x)(3-x)}=0$

$-1\leq x\leq 3 \Rightarrow VP\geq 0$

Dấu bẵng xảy ra khi $x=3$ (thỏa) 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3$

b/ Điều kiện : $x\geq \frac{-1}{2}$

$\Leftrightarrow (x+1)x^{2} +2(2x+1)\sqrt{2x+1} -2(2x+1)(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)x^{2}+2(2x+1)\left ( \sqrt{2x+1}-(x+1) \right )=0$

$\Leftrightarrow (x+1)x^{2}-\frac{2(2x+1)x^{2}}{\sqrt{2x+1}+x+1}=0$

$\Leftrightarrow x^{2}\left [ \frac{x^{2}-2x-1+(x+1)\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}+x+1} \right ]=0$

$\Leftrightarrow x^{2}\left [ \frac{x^{2}+(x+1-\sqrt{2x+1})\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}+x+1} \right ]=0$

$\Leftrightarrow x^{4}\left [ \frac{1+\frac{\sqrt{2x+1}}{x+1+\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}+x+1} \right ]=0$

$\Leftrightarrow x=0$ (thỏa) 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 1$ . Chứng minh rằng : 
$\left | \frac{a-b}{c} +\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right |\leq \left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}$

Ta có $7xy+y-x=7 \Rightarrow xy+y-x+1=8-6xy$

Thay vào $(1)$, ta có $x^{3}+y^{3}=8-6xy \Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-8+6xy=0 \Leftrightarrow (x+y-2)(x^{2}+y^{2}-xy+2x+2y+4)=0$

TH1 : $x+y=2$ thay vào $(2)$ tìm đc x,y 
TH2 : $x^{2}+y^{2}-xy+2x+2y+4=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}+ (x+2)^{2}+(y+2)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y=-2$ thử lại thấy ko thỏa mãn 

$\left\{\begin{matrix} p-1=2x(x+2) (1) & & \\ p^{2}-1=2y(y+2) (2)& & \end{matrix}\right.$

Lay (2)-(1) , ta co :

$p^{2}-p=2\left ( y-x \right )\left ( y+x \right ) \Leftrightarrow p(p-1)=2\left ( y-x \right )\left ( y+x \right )$

$x< p,y< p\Rightarrow 0< y-x< p \Rightarrow \left ( y-x;p \right )=1$

$p=2 \Rightarrow 2x(x+2)=1 (VL)$

$\Rightarrow p> 2 \Rightarrow \left ( 2;p \right )=1$

$2\left ( y-x \right )\left ( y+x \right )\vdots p\Rightarrow y+x\vdots p$

$0

The vao giai tim dc x,y

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a,b,c\geq \frac{6}{5}$ và $ab+bc+ca=abc(a+b+c-8)$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=ab+bc+ca+abc$

chỉnh đề lại thành $\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq 3$ mới đúng nhé bạn

$Max: \left (2b^{2}+1 \right )(4+4+1)=(b^{2}+b^{2}+1)(4+4+1)\geq (2b+2b+1)^{2} . => \sqrt{2b^{2}+1}\geq \frac{4b+1}{3}. =>6\geq \frac{4(a+b)+2}{3} =>a+b\leq 4 . Min:36=2+2(a^{2}+b^{2}) + 2\sqrt{(1+2a^{2})(1+2b^{2})}= 2+2(a^{2}+b^{2}) + 2\sqrt{1+2(a^{2}+b^{2})+4a^{2}b^{2}}\leq 2+2(a+b)^{2}+2\sqrt{1+2(a+b)^{2}}. Dat: a+b=S => 36\leq 2+2S^{2}+2{\sqrt{1+2S^{2}}} \leq 2+2S^{2}+ \frac{1}{5}(2S^{2}+26)=>S^{2} \geq 12 => S\geq 2\sqrt{3}$

Giải phương trình $\sqrt{4x+6}-\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}+12x+10}=x^{2}-2$

GIải hệ pt  

$\begin{cases} \sqrt{x+y}\left ( \sqrt{y} +1\right )=\sqrt{x^2+y^2}+2 \\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2} \end{cases}$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c(c+2a)}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a(a+2b)}} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{3}}$

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có : 
$\left ( \sum \frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} \right )^{2}.\left [ \sum a \left ( b+c \right ) \right ] .\left ( \sum \frac{a\left ( b^{2}+c^{2} \right )}{b+c} \right ) \geq \left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )^{4}=1$

Cần chứng minh : $\sum \frac{a\left ( b^{2}+c^{2} \right )}{b+c}\leq 1$

$\Leftrightarrow \sum a\left ( b+c \right )\leq 2abc\left ( \sum \frac{1}{b+c} \right ) + a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$Cauchy-Schwaz : 2abc.\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right )\geq \frac{9abc}{a+b+c} \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc.\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right )\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca) \left [ Schur \right ]$

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài toán 45 : 
Cho $\Delta ABC$ nhọn có trực tâm $H$, đường tròn tâm $I$ qua $B,C$ và cắt $HB,HC$ lần lượt tại $E,F$. Các đường tròn $(HBF),(HCE)$ cắt nhau tại $D$ . $(J)$ là đường tròn qua $E,F$ và trung điểm $BC$ cắt $HB,HC,FB,EC$ lần lượt tại $M,N,P,Q$. Gọi $U,V$ là tâm các đường tròn $(DMP),(DNQ)$.

CMR $ID//UV$