\[\frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=\left[\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right]^{-1/3}.\]

Lùi dần sẽ tìm ra $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}.$ Từ đó suy ra $u_n.$

Cho $(U_{n})$ được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix}U_{1}=2;U_{2}=2 & \\ U_{n+2}=(n+1)(U_{n+1}+U_{n}) & \end{matrix}\right.$

Tìm công thức tổng quát của $U_{n}$

Thử dùng hàm sinh nhen!

Cho dãy số xác định bởi $x_{1} = \frac{2020}{2019}; x_{n+1} = 2019x_{n}^{2} + x_{n}.$ với mọi x $\geq 1$.

đặt $y_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{x_{k}}{x_{k+1}}$.   tìm lim $y_{n}$.

Ta có $\frac{x_{k}}{x_{k+1}}=\frac{1}{2019x_{k}+1}$ và

$$\frac{1}{x_{k+1}}=\frac{1}{x_{k}}-\frac{2019}{2019x_{k}+1}.$$

Do đó,
$$2019 y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{x_{k}}-\frac{1}{x_{k+1}}\right)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}.$$

...

Cho $x_{1}=a,y_{1}=b;
và x_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2};
y_{n+1}=\sqrt{x_{n}y_{n}}$
Tìm lim $x_{n},y_{n}$

Sao bạn không đề cập đến điều kiện của $a$ và $b$?

Cho dãy số $(x_{n})$:

$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 & \\ x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}+x_{n}+1}-\sqrt{x_{n}^{2}-x_{n}+1} & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng dãy có giới hạn và tính giới hạn đó

Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}.$

Lời giải 1.

Ta thấy $f(x)\le 1.$ Suy ra $x_n \le 1 \forall n\in \mathbb{N}.$

Với $x\le 1,$ ta có đánh giá $f(x) \le x.$ Hơn nữa, khi $x\ge 0$, $f(x)= \frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}\ge 0.$

Từ đó, ta suy ra dãy $\{x_n\}$ giảm và bị chặn dưới.

Lời giải 2. 

$f'(x)= \frac{1}{2}\left[ g(2x+1)-g(2x-1)\right]$, trong đó $g(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+3}}.$

Ta có $g'(t)= \frac{3}{\sqrt{(t^2+3)^3}}.$

Với $x\in [0,1],$ ta có \[0<f'(x)<\frac{1}{2} \left[g(3)-g(-1)\right]=\frac{1}{2} \left[ \frac{3}{12}+\frac{1}{2}\right]:=q<1.\]

Áp dụng định lý Lagrange, ta suy ra dãy hội tụ.

Câu hỏi : Tìm tất cả các hàm f(x) xác định trên (-1;1) và thỏa mãn 
                $$xf'(x) +2f(x) =0 \, \forall x\in  (-1:1)$$

Ta có $(x^2 f(x))^{\prime}=0$  với mọi $x\in (0;1).$

Do đó, tồn tại hằng số $C$ sao cho $x^2 f(x)=C$ với mọi $x\in  (0;1).$

Với $x=0$, ta có $C=0.$ Do đó $f(x)=0$ với mọi $x\in (-1;1)\setminus\{0\}.$ 

Hơn nữa, nhờ tính liên tục của hàm $f$, ta có $f(0)=0.$ 

Vậy có duy nhất hàm $f=0$  (đã được kiểm tra thỏa các điều kiện).

Những bài thấy "vô phương" thì thử tìm nghiệm dạng chuỗi.

Cho dãy $(x_{n})$ xác định như sau: $x_{1}=2,x_{2}=10;x_{n+2}=\frac{8x_{n+1}^{2}-x_{n+1}x_{n}}{x_{n+1}+x_{n}},n\geqslant 1.$

Với mỗi số nguyên dương n, đặt $y_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k})}{x_{k+1}+x_{k}+3}$.

Chứng minh rằng dãy $y_{n}$ có giới hạn hữu hạn khi n dần ra vô cực và tìm giới hạn đó.

https://diendantoanh...rac-1kx-k1x-k3/

\[0\leq a\leq b\leq c\]

\[a+ b+ c= abc+ 2\]

CM: \[a^{4}b^{3}\leq \frac{27}{16}\]

Lời giải 1:

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử $a^4b^3 > \frac{27}{16}.$ Do đó $\left(ab\right)^{7/2}\ge a^4b^3 \ge \frac{27}{16}.$

Do đó, $ab>1.$ Suy ra $b>1.$

Từ c\ge b, ta có $-(b-1)(a+ab-2)\ge 0.$

Suy ra $a+ab\le 2.$

Ta có $$\frac{a^4b^3}{27}=a. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}\le \left(\dfrac{a+ab}{4}\right)^4 \le \frac{1}{16}.$$

Suy ra $a^4b^3 \le \frac{27}{16}.$ Điều này mâu thuẩn với giả thiết phản chứng.

Lời giải 2: (Chứng minh trực tiếp)

Từ $c\ge b$, ta có $(b-1)(a+ab-2) \frac{1}{ab-1}\le 0.$

Suy ra một trong ba số $(b-1)$, $a+ab-2,\frac{1}{ab-1}$ là số không dương.

* Nếu $b\le 1$ thì $a^4b^3 \le b^7 \le 1\le \frac{27}{16}. $

* Nếu $ab< 1$ thì $a^4b^3 \le \left(ab\right)^{7/2}< 1\le \frac{27}{16}. $

* Nếu $a+ab\le 2$ thì   $$\frac{a^4b^3}{27}=a. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}\le \left(\dfrac{a+ab}{4}\right)^4 \le \frac{1}{16}.$$

Suy ra $a^4b^3 \le \frac{27}{16}.$

... 

Với $x, y\ge 2$, ta có $(x-2)(y-2) \ge 0 $ nên $xy\ge 2(x+y)-4.$

Do đó $abcd \ge 4ab \ge 8(a+b)-16.$

Tương tự, $abcd \ge 8(c+d)-16.$

Do đó, $$ abcd \ge 4(a+b+c+d)-16 \ge 2(a+b+c+d)>(a+b+c+d).$$

Em xin chào các anh chị trên diễn đàn ạ. Nhờ mọi người giúp em bài này với, em cảm ơn nhiều ạ.

1. Xét tính hội tụ của tích phân suy rộng:

$\int_{1}^{+\infty}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx$

Tồn tại số thực dương $M$  sao cho $0<\ln (1+x) \le \sqrt{x}\, \forall x\ge M.$
Từ đó suy ra TPSR hội tụ.

Bất đẳng thức (Maclaurin, Cauchy)
Giả thiết $f(x)$ là một hàm đơn điệu giảm $\left(0,+\infty\right)$. Khi đó ta luôn có $$ \sum_{k=1}^{n}f(k)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \sum_{k=0}^{n-1}f(k)$$
Đẳng thức xảy ra khi $f(x)$ là hàm nghịch biến.

Liệu ta có thể tổng quát bất đẳng thức trên thành

$$ \int_{a}^{b+1}f(x)dx\leq \sum_{k=a}^{b}f(k)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \sum_{k=a-1}^{b-1}f(k)\quad a,b\in\mathbb N^*$$

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bạn xem kỹ cái đánh giá chính để dẫn đến BĐT gốc thì sẽ auto tự trả lời được vấn đề mới.   

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau : $\left\{\begin{matrix}u_0=\frac12\\u_{k}=u_{k-1}+\frac1{n}u^2_{k-1} \end{matrix}\right.$ $(n\in N,k=1,2,3...n)$

Chứng minh rằng $\lim u_{n}=1$

Đề nhầm lẫn rồi!

Bạn cho mình hỏi làm sao để chứng minh các nghiệm phức đó đều phân biệt vậy bạn?

Ta có $\epsilon_k= \cos\left(\frac{2k \pi}{5}\right)+i \sin\left(\frac{2k \pi}{5}\right), k=\overline{1,5}.$

Đến đây được rồi phải không bạn?

-----------

Đổi $i$ thành $k$ để tránh nhầm lẫn với số phức đơn vị.

Giả sử $P(x), Q(x), R(x), S(x)$ là các đa thức thỏa: $P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$. Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$.

Gọi $\varepsilon_i, i=1, 2, \cdots 5,$ là các nghiệm phức phân biệt của phương trình $x^5=1.$ Khi đó, ta có 

$$P(1)+\varepsilon_i Q(1)+\varepsilon_i^2R(1)=0$$ với mọi $i=\overline{1,5}.$

Đa thức bậc không vượt quá hai $P(1)+Q(1)z+R(1)z^2$ có hơn 2 nghiệm. Do đó, đa thức này chính là đa thức $0$. Vì thế $P(1)=0.$ Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh.

Có vẻ như anh nhầm gì đó ở chỗ chú ý. Theo nội dung tiêu chuẩn Cauchy, dãy số $u_n$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

Bạn đọc không kỹ. Dãy thì chưa chắc là dãy số.

Sao Un-U(n-1) lại <0 ạ. Em chưa hiểu lắm

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

 

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ 

 

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

 

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ 

 

Giả sử √x=L.
Anh chị giúp e chứng minh dãy trên là hữu hạn và có giới hạn là L với.
Em rất cảm ơn ạ

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ Hơn nữa, $u_{n}-u_{n-1}=\frac{x-u_{n-1}^2}{2u_{n-1}}\le 0 \forall n\ge 2.$
Vì thế $\left\{ u_n\right\}_{n\ge 2}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ. Gọi $b= \lim u_n, b\ge \sqrt{x}.$

Cho hệ thức truy hồi qua giới hạn, ta nhận được phương trình: $b= \frac{1}{2}\left( b+\frac{x}{b}\right).$ Suy ra $b=L=\sqrt{x}.$ Điều cần phải chứng minh.

Tìm cực trị của hàm $z = x^3y^2(6 - x - y)$, $x>0$, $y>0$.

Trên miền $x>0, y>0$, hàm số chỉ có duy nhất một điểm dừng $(3,2)$ và điểm dừng đó là điểm cực tiểu.

Tìm cực trị nha bạn, nó có tới 3 điểm dừng là $(2;3),(a;0),(0,b)$ với $a,b \in \mathbb{R}$.

"Ba"???- Mình đếm mãi không ra "3"!

Các bạn ơi mình mới học về đa thức cho mình hỏi 

Đa thức đồng nhất 0 là gì ạ?

P≡0 với P=0 có khác nhau ạ cũng nhưu P≡a với P=a có khác nhau không ạ em cảm ơn

Khi viết $P=0$, bạn hiểu như thế nào? (0 là gì?)

Chứng minh đẳng thức đó mà cũng dùng đến định lý Hamilton Calley thì hơi kỳ cục!

Riêng quả viết "thay" $\lambda$ bởi $A$ và $1$ bởi $E$ là thấy bá đạo rồi. Chắc lại sách mấy trường kinh tế - kĩ thuật, toàn mấy ông lởm khởm viết. 

Đó là nội dung định lý Hamilton Caylley!

ai giúp mình câu hệ , cảm ơn!!!

Câu hệ:

Giải bằng đại số thông thường rất phức tạp. Lời giải xem tại:

(Đề khác một tí!)

 

Bài 87: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x^{3}-3xy^{2}-x+1=y^{2}-2xy-x^{2} \\ &y^{3}-3yx^{2}+y-1=y^{2}+2xy-x^{2} \end{matrix}\right.$

https://diendantoanh...ình-vmf/page-12

Lời giải bằng số phức:

Các thành phần $x^3-3xy^2,- y^3+3x^2y$ liên quan phần thực và phần ảo của số phức $z^3$, với $z=x+ i y, x, y\in \mathbb{R}.$

Và các thành phần $x^2-y^2,2xy$ liên quan phần thực và phần ảo của số phức $z^2$, với $z=x+ i y, x, y\in \mathbb{R}.$

Đặt $z=x+ i y, x, y\in \mathbb{R}.$

$PT(1)- i \times PT(2)$, ta có

$z^3-z+1+i=z^2+iz^2.$

$\iff (z^2-1)(z-1-i)=0.$

...

Giải giữa chừng mới thấy kinh hoàng khi bài này dành cho lớp 9!!!!