là cái này hả
$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2} $

tách ra là xong thôi

$13. \dfrac{2x^2}{(3-\sqrt{9+2x})^2}=x+21$
$14. \sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt[4]{\dfrac{x^2-x-2}{4}}$
$15. \sqrt{x-2}+\sqrt{y+2003}+\sqrt{z-2004}=\dfrac{1}{2} (x+y+z)$
$16. \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=2+\sqrt[4]{8}$
$\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{x+1}+\sqrt[8]{1-x^2}+\sqrt{1-x}=3$

13
$ \dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {3 - \sqrt {9 + 2x} } \right)}^2}}} = x + 21 $

$ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{x}{{3 - \sqrt {9 + 2x} }}} \right)^2} = \dfrac{{x + 21}}{2} $

$ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt {9 + 2x} }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{x + 21}}{2}$

$ \Leftrightarrow {\left( {3 + \sqrt {9 + 2x} } \right)^2} = 2x + 42 $

$ \Leftrightarrow {\left( {3 + a} \right)^2} = {a^2} + 33 $

$ \Leftrightarrow a = 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{2} $


16
có lẽ đề phải như thế này
$ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x + \sqrt {1 - x} = \sqrt 2 + \sqrt[4]{8} $

theo Cauchy:
${\left( {\sqrt x + \sqrt {1 - x} } \right)^2} \le 2\left( {x + 1 - x} \right) = 2 \Rightarrow \sqrt x + \sqrt {1 - x} \le \sqrt 2 $

${\left( {\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}}} \right)^2} \le 2\left( {\sqrt x + \sqrt {1 - x} } \right) = 2\sqrt 2 \Rightarrow \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} \le \sqrt[4]{8} $

nghiệm $x = \dfrac{1}{2} $

Mấy bài này đã đăng lên trong topic "50 bài toán casio", nhưng không ai làm cả nên em đưa vào đây mong các cao thủ giúp đỡ.
Bài 1: Tìm 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$.

Bài 2: Tính $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ biết $ a+b+c=3,ab=-2,b^{2}+c^{2}=1$

Bài 3: Có bao nhiêu số nguyên tố bé hơn $2007^{2008}$

Bài 4: Giải phương trình $\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{x^{3}-1}=855$
Mình Thank trước.

bài 4 biến đổi đơn thuần thôi mà
đáp án: $x = 852.740079407 $

chị ấy trông hiền thế còn j

chị ấy có ảnh trên VMF hả em
sao anh không thấy nhỉ

mà cái xấu đẹp thì cũng từng người nhận định, anh chỉ nói vui thôi mà

Không đâu đấy là 3 đề hoàn toàn khác nhau nhưng đề này mới thực sự quan trọng .mà mấy đề trước tớ đưa ra đã có ai giải đâu

http://diendantoanho...mp;#entry250521

http://diendantoanho...mp;#entry250562

http://diendantoanho...mp;#entry250579

post vào 1 Box thôi

Giúp tớ với
$\left\{ \begin{array}{l} \left( {x + y} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) = 5 \\ \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \dfrac{4}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 49 \\ \end{array} \right. $

hướng: vì là hệ phương trình đối xứng nên đặt $ S = x + y,P = xy $ rồi biến đổi tiếp

cuối cùng, sau khi thế được 1 phương trình 1 ẩn
$\dfrac{{21{P^2} - 2{P^3} - 2P}}{{{{\left( {P + 1} \right)}^2}}}.\left( {1 + \dfrac{4}{{{P^2}}}} \right) = 49 $

Vô nghiệm

ừ. Chứ theo em trong mấy lớp chuyên toán ngày nay thì "sắc đẹp tỉ lệ nghịch với thông minh". Mà để vào chuyên toán thì phải thông minh nên...

chưa chắc đâu em
đâu phải thi chuyên Toán là thi mỗi Toán đâu
các môn còn lại có thể kéo lên mà
với lại Toán thi vào chuyên thì cũng không nói lên gì nhiều, lên cấp 3 mới bộc lộ sự thông minh

Nhân dịp năm mới: Gửi tới tập thể VMF "hệ phương trình" sau

$\overline{CHUC}+\overline{MUNG}+\overline{NAM}+\overline{MOI}=3389$

$\overline{HOA}+\overline{MAI}+\overline{NO}+\overline{MUON}=1855$

$\overline{CO}+\overline{GANG}+\overline{HOC}+\overline{GIOI}=13268$

$\overline{CHAM}+\overline{CHI}+\overline{HOC}+\overline{HANH}=4565$

$\overline{CA}+\overline{NHA}+\overline{AN}+\overline{UONG}=4699$

$\overline{GIU}+\overline{GIN}+\overline{NGHI}+\overline{NGOI}=12451$

$\overline{HAI}+\overline{MUA}+\overline{MUA}+\overline{GIO}=1199$

$\overline{MUON}+\overline{NGA}+\overline{GIAN}+\overline{NAN}=8764$

$\overline{MUOI}+\overline{HAI}+\overline{NAM}+\overline{MONG}+\overline{MOI}=3640$
Chúc mọi người năm mới hạnh phúc, may mắn, thành đạt!

nhìn qua thì khi tách hết ra sẽ có hệ 9 phương trình bậc 1 có 9 ẩn là C, H, U, M, O, A, I, N, G

nhưng dù sao thì bài này cũng rất có ý nghĩa trong dịp năm mới

mà cái câu $\overline{MUON}+\overline{NGA}+\overline{GIAN}+\overline{NAN}=8764$ có nghĩa là gì thế

có thể gái chuyên toán không xinh

flavor_fall là 1 ví dụ như vậy

x,y,z thuộc Z.Thỏa mãn hệ:
x^2-6x-2y=15
(x^2-3x)y=-2(z+3)
x^2y^2+2y+12 4z
anh em dđth giúp dùm.THANKS

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 6x - 2y = 15 \\ \left( {{x^2} - 3x} \right)y = - 2\left( {z + 3} \right) \\ {x^2}{y^2} + 2y + 12 \le 4z \\ \end{array} \right. $

giai he pt
(1-12\(3x+y))nhan voi can bac hai cua x=2
va (1+12\(3x+y))nhac voi can bac hai cua y=6

$\left\{ \begin{array}{l} \left( {1 - \dfrac{12}{{3x + y}}} \right)\sqrt x = 2 \\ \left( {1 + \dfrac{{12}}{{3x + y}}} \right)\sqrt y = 6 \\ \end{array} \right. $

hic! nhầm đề mình sửa lại rồi đó nó khá đơn giản

nếu thế thì khi rút gọn nó sẽ ra 1 phương trình bậc 2 ẩn là sin x => đơn giản

Giải phương trình : $ 3x^3+3x^2-3x+1=6 $

phương trình bậc 3 có cách làm tổng quát rồi em
nghiệm: http://www.wolframal...=3x^3+3x^2-3x-5

cho mh hỏi cái bài ni cái nha:
1)Cho ABC coa AC=3,AB=4,BC=5
Tính bán kính (0) nội tiếp ABC?
2)Cho nửa (0) đường kính AB=2R.Mlaf 1 điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M#A,B).kẻ 2 tiếp tuyến Ax,By vs nửa đường tròn.qua M kẻ tiếp tuyến thứ 3 lần lượt cắt Ax,By tại C,D.
Tìm vị trí M để CD MIN
tks nhiều nhiều nha và chuk người giáng sinh vui vẻ nhé

1)
dễ 1 cách khó tin
theo Pythagore đảo có ${3^2} + {4^2} = {5^2} \Rightarrow \Delta ABC $ vuông tại A
ta có:
${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right).r \Rightarrow r = 1 $

2) tự vẽ hình
kẻ $OH//Ax//By,H \in CD $
Có
$CD = MC + MD = AC + BD = 2OH \ge 2OM = 2R $

$sinx(cos2x+sin^2x)+cos^2x(tan^2x-1)=0$
$\Leftrightarrow sinxcos^2x=cos2x$
$\Leftrightarrow 2cos^2x-1=sinx cos^2x $
$\Leftrightarrow 2-\dfrac{1}{cos^2x} =sinx$
$\Leftrightarrow 2-\dfrac{1}{1-sin^2x} =sinx $
đến đây giải pt bậc 3 là xong
toi rồi nghiệm lẻ

cách khác:
$\sin x.\cos 2x + {\cos ^2}x\left( {{{\tan }^2}x - 1} \right) + {\sin ^3}x = 0 $

$ \Leftrightarrow \sin x\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + {\sin ^2}x - {\cos ^2}x + {\sin ^3}x = 0 $

$ \Leftrightarrow - {\sin ^3}x + \sin x + 2{\sin ^2}x - 1 = 0 $

$ \Leftrightarrow x = ??? $

Bằng qui nạp các bạn hay thử chứng minh với $ a,b \in N, b>a \ge 3 $ thì ta có $ a^b > b^a $

Bài này chứng minh không khó, các em THCS thử làm xem

tiếp nè:
CMR: ${a^b}.{a^c} ={a^{b + c}} $
${({a^b})^c}={a^{bc}} $
${a^{(b/c)}}= {\sqrt[c]{a^b}} $

theo định nghĩa phép lũy thừa:
${a^b}.{a^c} = \left( {a.a.....a.a} \right).\left( {a.a.....a.a} \right) = {a^{b + c}} $
hạng tử đầu có b số a; cái sau có c số a

1) Cho các số thực a,c,b sao cho $abc=1$ . Tìm max của
${\rm A} = \dfrac{1}{{a + b + 4}} + \dfrac{1}{{b + c + 4}} + \dfrac{1}{{a + c + 4}} $

${a_3} = \dfrac{{1 + {a_2}}}{{{a_1}}} $
${a_4} = \dfrac{{1 + {a_3}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + 1}}{{{a_1}.{a_2}}} $
${a_5} = \dfrac{{1 + {a_4}}}{{{a_3}}} = \dfrac{{\left( {{a_1} + 1} \right)\left( {{a_2} + 1} \right)}}{{{a_1}.{a_2}}}.\dfrac{{{a_1}}}{{1 + {a_2}}} = \dfrac{{{a_1} + 1}}{{{a_2}}} $
${a_6} = \dfrac{{1 + {a_5}}}{{{a_4}}} = ... = a{{\kern 1pt} _1} $
${a_7} = \dfrac{{1 + {a_6}}}{{{a_5}}} = ... = {a_2} $

như vậy theo quy nạp thì ta có:
$ {a_n} = {a_k};k \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$
với $\[n \equiv k\left( {\bmod 5} \right) $
Vậy ${a_{2010}} = {a_5} = \dfrac{{{a_1} + 1}}{{{a_2}}} $

mượn tạm chỗ này để giải bài cho ai đó
bài 2:
đặt $A = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)...2n $
$B = 1.3.5...\left( {2n - 1} \right) $
$C = 2.4.6....2n = {2^n}.1.2.3....n $
Ta có:
$A.C = {2^n}.\left( {2n} \right)! $
$B.C = \left( {2n} \right)! $
$ \Rightarrow A = {2^n}.B \Rightarrow $ xong

bài 4:
giả sử BĐT đúng với n số a ( dễ dàng kiểm chứng với n=1,2 đúng)
ta CM BĐT đúng với n+1 số a hay
$\sqrt {a + \sqrt {a + \sqrt {a + .... + \sqrt a } } } < \sqrt {a + \dfrac{{1 + \sqrt {4a + 1} }}{2}} = \sqrt {\dfrac{{4a + 1 + 2\sqrt {4a + 1} + 1}}{4}} = \dfrac{{1 + \sqrt {4a + 1} }}{2} $
Vậy BĐT ban đầu đúng

bài 5: khá hay
giả sử đúng với n, tức là ${n^{n + 1}} > {\left( {n + 1} \right)^n} $
ta CM đúng với n+1, hay ${\left( {n + 1} \right)^{n + 2}} > {\left( {n + 2} \right)^{n + 1}} $

ta có:

${\left( {n + 1} \right)^2} = {n^2} + 2n + 1 > {n^2} + 2n $
$ \Leftrightarrow {\left( {n + 1} \right)^{2\left( {n + 1} \right)}} > {\left( {{n^2} + 2n} \right)^{n + 1}} $
$ \Leftrightarrow {\left( {n + 1} \right)^n}.{\left( {n + 1} \right)^{n + 2}} > {n^{n + 1}}.{\left( {n + 2} \right)^{n + 1}} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 2}}}}{{{{\left( {n + 2} \right)}^{n + 1}}}} > \dfrac{{{n^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^n}}} > 1 $

Cho tam giac nhon ABC, đường cao AD.Các đường thẳng BM,CM theo thứ tự cắt AC,AB tại E,F .DE,DF theo thứ tự cắt lại các đường tròn đường kính AB,AC tại K,L.CMR đường thẳng nối trung điểm của các đoạn thẳng EF, KL đi qua điểm A

tốt nhất là bạn nên post toàn bộ phần "Đề ra kì này" trên THTT tháng 12 rồi nhờ mọi người giải hộ
người ta không chửi bạn là may cho bạn rồi đấy

$ x (x^2+x+1)=0 \Leftrightarrow x^3+x^2 + x=0 \Leftrightarrow x^3 -1=0 $ ( Do x^2 +x = -1 )

chỗ này sai em ạ
vì ta chưa biết PT ban đầu có nghiệm không (hay nói cách khác là chưa chắc tồn tại số x để x^2 +x = -1 nên chỗ tương đương phía sau không thể là tương đương được mà chỉ dùng suy ra được thôi
và như thế thì khi tìm được nghiệm phải thử lại rồi mới kết luận được

Đợt anh thi HSG tỉnh thì chỉ lao vào toán thôi, tập trung toàn lực cho toán, học ngày học đêm
nhà trường xếp lại lớp,những ai thi chuyên thì học riêng và chỉ học mỗi môn đó thôi

đường lối thì anh nghĩ môn nào cũng thế, luôn cần 1 khoảng thời gian nào đó mình tập trung toàn lực
và nhất là phải thật chăm

ta có n chẵn vì nếu n lẻ thì 2n+1 chia 4 dư 3 vô lí
ta CM n chia hết cho 5 và 8
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} 2n + 1 = {a^2} \\ 3n + 1 = {b^2} \\ \end{array} \right. $
$ \Rightarrow 5n + 2 = {a^2} + {b^2} \Rightarrow a \equiv b \equiv 1\left( {\bmod 5} \right) $
$ \Rightarrow 2n \equiv 0\left( {\bmod 5} \right) \Rightarrow n \vdots 5 $

vì n chẵn nên 3n+1 lẻ
đặt $3n + 1 = {\left( {2k + 1} \right)^2} \Rightarrow 3n = 4k\left( {k + 1} \right) \vdots 8 \Rightarrow n \vdots 8 $

từ đó ta có n chia hết cho 40

zô nhiệt tình