(Chọn đội tuyển tổng hợp 2000 (?) )
Cho $f : \mathbb{Q}^* \to \mathbb{R} $ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} f(x+y) \leq f(x)+f(y) \\ f(xy)=f(x)f(y) \\ f(1997)=1 \end{matrix}\right.$
Chứng mình rằng : $f(2000) \leq 1 $
PRONOOBCHICKENHANDSOME nội dung
Có 226 mục bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME (Tìm giới hạn từ 25-05-2020)
#365609 $f(2000) \leq 1 $
Đã gửi bởi
on 28-10-2012 - 19:53
trong
Phương trình hàm
#365558 Chứng minh rằng: Số $x_{1}^{n}+x_{2}^...
Đã gửi bởi
on 28-10-2012 - 17:12
trong
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Xét dãy : $\left\{\begin{matrix} u_0=2 , u_1=6 \\ u_{n+2}=6u_{n+1}-u_n \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow u_n = x_1^n +x_2^n $
Vậy $u_n$ nguyên .
Mặt khác xét $v_n=u_n(mod 5) $
Dễ dàng CM $v_n$ tuần hoàn chu kì 6 và các giá trị từ $v_0 $ đến $v_5$ đều khác 0 .
Suy ra $v_n \neq 0 \forall n $ hay $u_n$ không chia hết cho 5 với mọi n . ĐPCM
$\Rightarrow u_n = x_1^n +x_2^n $
Vậy $u_n$ nguyên .
Mặt khác xét $v_n=u_n(mod 5) $
Dễ dàng CM $v_n$ tuần hoàn chu kì 6 và các giá trị từ $v_0 $ đến $v_5$ đều khác 0 .
Suy ra $v_n \neq 0 \forall n $ hay $u_n$ không chia hết cho 5 với mọi n . ĐPCM
#365071 $f(n) \equiv n^2$
Đã gửi bởi
on 26-10-2012 - 21:19
trong
Phương trình hàm
Cho $f(n):\mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ tăng và thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} f(2)=4 \\ f(n)f(m)=f(nm) \forall n , m \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng : $f(n) \equiv n^2$
Chứng minh rằng : $f(n) \equiv n^2$
#364842 $N\rightarrow N$ thoa man f(1)=5,f(f(n))=4n+9,f(2^n)=2^{n...
Đã gửi bởi
on 25-10-2012 - 22:04
trong
Phương trình hàm
1/ $25=4.4+9 = f(f(4))=f(f(2^2))=f(2^3+3)=f(11)$
$\Rightarrow f(25)=f(f(11))=53$
$\Rightarrow 109=f(f(25))=f(53)$
$\Rightarrow f(109)=f(f(53))=221$
$\Rightarrow 445=f(f(109))=f(221)$
$\Rightarrow f(445)=f(f(221))=893$
$\Rightarrow 1789=f(f(445))=f(893)$
$\Rightarrow f(1789)=f(f(893))=3581$
$\Rightarrow f(25)=f(f(11))=53$
$\Rightarrow 109=f(f(25))=f(53)$
$\Rightarrow f(109)=f(f(53))=221$
$\Rightarrow 445=f(f(109))=f(221)$
$\Rightarrow f(445)=f(f(221))=893$
$\Rightarrow 1789=f(f(445))=f(893)$
$\Rightarrow f(1789)=f(f(893))=3581$
#363965 $\sum_{x,y,z} x^6 \geq \sum_{a,b,c}...
Đã gửi bởi
on 22-10-2012 - 21:50
trong
Bất đẳng thức - Cực trị
1/ Cho : $\left\{\begin{matrix} x\geq a \geq b \geq c >0 \\ x^2+y^2 \geq a^2+b^2 \\ x^3+y^3+z^3 \geq a^3+b^3+c^3 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
Chứng minh rằng:
$x^6+y^6+z^6 \geq a^6+b^6+c^6$
2/ Cho $a_1 , a_2 , ... , a_n$ là các số thực thỏa mãn :$a_1-a_2\geq a_2-a_3\geq ... \geq a_{n-1}-a_n \geq a_n >0 $ ( $n \geq 2 $)
Chứng minh rằng $\forall 0 \leq x \leq \pi $ thì :$\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}\sin ix + \frac{a_n}{2}\sin nx \geq 0 $
#363949 Tìm n thoả mãn bất đẳng thức
Đã gửi bởi
on 22-10-2012 - 21:37
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Lời giải :
n=1 , n=2 , n=3 đều thỏa mãn ( dễ dàng chứng minh )
Ta chứng minh $\forall n \geq 4 $ thì bất đẳng thức trên không thỏa mãn .
Thật vậy , cố định $x_2 , x_3 , ... , x_n$ . Cho $x_1$ dần đến vô cùng :
$\Rightarrow \lim_{x_1 \to \infty} \frac{VT}{x_1} = \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_n}{x_2} $
và : $\lim_{x_1 \to \infty} \frac{VP}{x_1} = 1 $
Vậy với $\frac{x_2}{x_3} + \frac{x_n}{x_2} < 1 $ thì sẽ tồn tại giá trị $x_1$ sao cho $VT < VP$
Vậy bất đẳng thức trên không đúng với mọi $x_1 , x_2 ,...,x_n$ dương nếu $n\geq 4$
ĐPCM.
Vậy tất cả các giá trị của n là : 1,2,3.
Bài 2 :
CMR : với mọi n tự nhiên , $n\geq 3 $ , với mọi dãy $x_n$ dương tăng ( tức là $0 < x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$) thì bất đẳng thức trên đúng
n=1 , n=2 , n=3 đều thỏa mãn ( dễ dàng chứng minh )
Ta chứng minh $\forall n \geq 4 $ thì bất đẳng thức trên không thỏa mãn .
Thật vậy , cố định $x_2 , x_3 , ... , x_n$ . Cho $x_1$ dần đến vô cùng :
$\Rightarrow \lim_{x_1 \to \infty} \frac{VT}{x_1} = \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_n}{x_2} $
và : $\lim_{x_1 \to \infty} \frac{VP}{x_1} = 1 $
Vậy với $\frac{x_2}{x_3} + \frac{x_n}{x_2} < 1 $ thì sẽ tồn tại giá trị $x_1$ sao cho $VT < VP$
Vậy bất đẳng thức trên không đúng với mọi $x_1 , x_2 ,...,x_n$ dương nếu $n\geq 4$
ĐPCM.
Vậy tất cả các giá trị của n là : 1,2,3.
Bài 2 :
CMR : với mọi n tự nhiên , $n\geq 3 $ , với mọi dãy $x_n$ dương tăng ( tức là $0 < x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$) thì bất đẳng thức trên đúng
#363940 Tìm max của $\frac{1}{x^3}+\frac{1...
Đã gửi bởi
on 22-10-2012 - 21:25
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$(x+y)xy=x^2+y^2-xy > 0 \forall x,y \neq 0 $
$(x+y)xy=x^2+y^2-xy \geq \frac{(x+y)^2}{4}$
$\Rightarrow x^2y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{16}$ ( do 2 vế đều lớn hơn 0 nên bình phương 2 vế và rút gọn $(x+y)^2$)
$\Rightarrow \frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3} = \frac{(x+y)^2}{x^2y^2} \leq 16$
Dấu = xảy ra khi : $x=y=\frac{1}{2}$
$(x+y)xy=x^2+y^2-xy \geq \frac{(x+y)^2}{4}$
$\Rightarrow x^2y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{16}$ ( do 2 vế đều lớn hơn 0 nên bình phương 2 vế và rút gọn $(x+y)^2$)
$\Rightarrow \frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3} = \frac{(x+y)^2}{x^2y^2} \leq 16$
Dấu = xảy ra khi : $x=y=\frac{1}{2}$
#363867 Tìm công thức tổng quát của dãy số $(u_n)$ được cho bởi hệ thức tru...
Đã gửi bởi
on 22-10-2012 - 18:21
trong
Dãy số - Giới hạn
NX : $ u_n \neq 0 $
Lấy nghịch đảo : $\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2}{u_n}-\frac{1}{u_n^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}-1 = - (\frac{1}{u_n}-1)^2 = ... = -(\frac{1}{u_1}-1)^{2^n}=-(\frac{1}{2})^{2^n}$
$\Rightarrow u_{n+1} = \frac{2^{2^n}}{2^{2^n}-1}$
Lấy nghịch đảo : $\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2}{u_n}-\frac{1}{u_n^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}-1 = - (\frac{1}{u_n}-1)^2 = ... = -(\frac{1}{u_1}-1)^{2^n}=-(\frac{1}{2})^{2^n}$
$\Rightarrow u_{n+1} = \frac{2^{2^n}}{2^{2^n}-1}$
#363655 $f(x^y)=f(x)^{f(y)}$
Đã gửi bởi
on 21-10-2012 - 18:23
trong
Phương trình hàm
Hãy tìm tất cả các hàm số $f(x):\mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}^{*}$ thỏa mãn :
$f(x^y)=f(x)^{f(y)}$
#363654 Tìm tất cả các hàm f:$R\to R$ thỏa: $xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x...
Đã gửi bởi
on 21-10-2012 - 18:19
trong
Phương trình hàm
Đặt $g(x) = f(x)-f(0)$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(0)=0 \\ xg(x)-yg(y)=(x-y)g(x+y) \end{matrix}\right.$
Cho $ x = -y \Rightarrow g(x)=-g(-x)$
Cho $ y \to -y \Rightarrow (x-y)g(x+y)=xg(x)-yg(y)=(x+y)g(x-y) $
$|x|=|y|$ thì đơn giản .
Giả sử $|x| \neq |y| \Rightarrow \frac{g(x+y)}{x+y}=\frac{g(x-y)}{x-y}$
Nhận xét : $\forall u.v \neq 0 , \exists ! (x,y) : \left\{\begin{matrix}|x| \neq |y| \\ x+y=u \\ x-y = v \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \frac{g(x)}{x}\equiv a \forall x \neq 0$
$\Rightarrow g(x) \equiv ax $ ( $x=0$ cũng thoả mãn )
$\Rightarrow f(x) \equiv ax +b $
Thử lại thấy thỏa mãn .
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(0)=0 \\ xg(x)-yg(y)=(x-y)g(x+y) \end{matrix}\right.$
Cho $ x = -y \Rightarrow g(x)=-g(-x)$
Cho $ y \to -y \Rightarrow (x-y)g(x+y)=xg(x)-yg(y)=(x+y)g(x-y) $
$|x|=|y|$ thì đơn giản .
Giả sử $|x| \neq |y| \Rightarrow \frac{g(x+y)}{x+y}=\frac{g(x-y)}{x-y}$
Nhận xét : $\forall u.v \neq 0 , \exists ! (x,y) : \left\{\begin{matrix}|x| \neq |y| \\ x+y=u \\ x-y = v \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \frac{g(x)}{x}\equiv a \forall x \neq 0$
$\Rightarrow g(x) \equiv ax $ ( $x=0$ cũng thoả mãn )
$\Rightarrow f(x) \equiv ax +b $
Thử lại thấy thỏa mãn .
#363583 Tìm n sao cho $a_n \in Z $
Đã gửi bởi
on 21-10-2012 - 12:49
trong
Dãy số - Giới hạn
Cho dãy $a_n:\left\{\begin{matrix} a_1=2 , a_2 =1 \\ a_{n+2}=\frac{n(n+1)a_{n+1}+n^2a_n+5}{n+2}-2 \end{matrix}\right.$
Hãy tìm tất cả các giá trị của n sao cho $a_n \in Z$
Hãy tìm tất cả các giá trị của n sao cho $a_n \in Z$
#363187 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos y \forall x,y \in R $
Đã gửi bởi
on 20-10-2012 - 10:10
trong
Phương trình hàm
Tìm tất cả các hàm số $f(x): R \to R $ thoả mãn :
$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos y \forall x,y \in R $
#362373 \[\frac{{x + y + z}}{{3\sqrt 3 }} \geqslant \frac{{x...
Đã gửi bởi
on 16-10-2012 - 21:13
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Chi can dung bo de don gian : $a^2+ab+b^2 \geq \frac{3}{4}(a+b)^2 \forall a,b \in R $
Thay bat dang thuc tren vao ve phai , quy ve chung minh : $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$
Thay bat dang thuc tren vao ve phai , quy ve chung minh : $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$
#361082 Tìm n thoả mãn bất đẳng thức
Đã gửi bởi
on 11-10-2012 - 21:57
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Xét BĐT :
$\frac{x_1x_2}{x_3}+\frac{x_2x_3}{x_4}+...+\frac{x_nx_1}{x_2}\geq x_1+x_2+...+x_n$
Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho bất đẳng thức trên đúng với mọi $x_1, x_2 , ... , x_n$ là các số thực dương .#358375 $$a_{n+1}=4a_{n}+\sqrt{15a_{n...
Đã gửi bởi
on 02-10-2012 - 20:35
trong
Dãy số - Giới hạn
$a_{n+1}=4a_n+\sqrt{15a_n^2-60}$
$\Rightarrow a_{n+1}^2 - 8a_{n+1}a_n + a_n^2 + 60 = 0 $ (1)
Tăng chỉ số lên 1 : $a_{n+2}^2 - 8a_{n+2}a_{n+1} + a_{n+1}^2 + 60 = 0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $a_n$ và $a_{n+2}$ là nghiệm của phương trình : $t^2 - 8a_{n+1}t+a_{n+1}^2+60=0$
Theo định lý Viète : $a_n + a_{n+2} = 8a_{n+1}$
hay : $a_{n+2} = 8a_{n+1} - a_n$
Ta thấy : $a_0=2 , a_1 = 8 \Rightarrow a_n \in N \forall n \geq 0 $
$\Rightarrow \sqrt{15a_n^2-60} \in N \forall n $ (3)
Dễ dàng CM từ công thức truy hồi : $a_n = (4+\sqrt{15})^n + (4-\sqrt{15})^n \forall n \geq 0$
$\Rightarrow a_{2n} = a_n^2-2$
Xét phương trình :
$\frac{a_n^2+6}{5}=3k^2+6k+5$(*)
$\Leftrightarrow 15k^2+30k +19 - a_n^2 = 0 $
$\Delta ' = 15a_n^2-60 $
Vậy theo (3) thì (*) có nghiệm $k \in N \forall n$
Vậy với mọi n , tồn tại k nguyên dương sao cho : $\frac{a_{2n}+8}{5}= 3k^2+6k+5 = k^2+(k+1)^2+(k+2)^2 $
$Q.E.D$
$\Rightarrow a_{n+1}^2 - 8a_{n+1}a_n + a_n^2 + 60 = 0 $ (1)
Tăng chỉ số lên 1 : $a_{n+2}^2 - 8a_{n+2}a_{n+1} + a_{n+1}^2 + 60 = 0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $a_n$ và $a_{n+2}$ là nghiệm của phương trình : $t^2 - 8a_{n+1}t+a_{n+1}^2+60=0$
Theo định lý Viète : $a_n + a_{n+2} = 8a_{n+1}$
hay : $a_{n+2} = 8a_{n+1} - a_n$
Ta thấy : $a_0=2 , a_1 = 8 \Rightarrow a_n \in N \forall n \geq 0 $
$\Rightarrow \sqrt{15a_n^2-60} \in N \forall n $ (3)
Dễ dàng CM từ công thức truy hồi : $a_n = (4+\sqrt{15})^n + (4-\sqrt{15})^n \forall n \geq 0$
$\Rightarrow a_{2n} = a_n^2-2$
Xét phương trình :
$\frac{a_n^2+6}{5}=3k^2+6k+5$(*)
$\Leftrightarrow 15k^2+30k +19 - a_n^2 = 0 $
$\Delta ' = 15a_n^2-60 $
Vậy theo (3) thì (*) có nghiệm $k \in N \forall n$
Vậy với mọi n , tồn tại k nguyên dương sao cho : $\frac{a_{2n}+8}{5}= 3k^2+6k+5 = k^2+(k+1)^2+(k+2)^2 $
$Q.E.D$
#354726 $\frac{b^2c}{a^3(b+c)}+\frac{c^2a...
Đã gửi bởi
on 16-09-2012 - 21:37
trong
Bất đẳng thức và cực trị
đổi biến $(a,b,c) \to (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ , ta được điểu phải chứng là 1 bất đẳng thức quen thuộc hơn :
$\frac{x^3}{y(y+z)}+\frac{y^3}{z(z+x)}+\frac{z^3}{x(x+y)} \geq \frac{x+y+z}{2}$
Thật vậy :
$\frac{x^3}{y(y+z)}+\frac{y}{2}+\frac{y+z}{4} \geq \frac{3x}{2}$
Lập các bất đẳng thức tương tự , chuyển vế đổi dấu thu đc đpcm .
$\frac{x^3}{y(y+z)}+\frac{y^3}{z(z+x)}+\frac{z^3}{x(x+y)} \geq \frac{x+y+z}{2}$
Thật vậy :
$\frac{x^3}{y(y+z)}+\frac{y}{2}+\frac{y+z}{4} \geq \frac{3x}{2}$
Lập các bất đẳng thức tương tự , chuyển vế đổi dấu thu đc đpcm .
#351023 Cho 3 số thực a, b, c sao cho: $a^2+b^2+c^2=3$ tìm max: $...
Đã gửi bởi
on 30-08-2012 - 22:28
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$\forall x \in [-\sqrt{3},\sqrt{3}] $ , ta có :
$\frac{x}{4-x} \leq \frac{2x^2+1}{9} \Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2 \leq 0 $
Áp dụng bất đắng thức trên
$\Rightarrow \frac{a}{4-a}+\frac{b}{4-b}+\frac{c}{4-c} \leq \frac{2a^2+1+2b^2+1+2c^2+1}{9}=1$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
$\frac{x}{4-x} \leq \frac{2x^2+1}{9} \Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2 \leq 0 $
Áp dụng bất đắng thức trên
$\Rightarrow \frac{a}{4-a}+\frac{b}{4-b}+\frac{c}{4-c} \leq \frac{2a^2+1+2b^2+1+2c^2+1}{9}=1$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
#342113 Cho $x,y>0$, $x+y \le 4$ Tìm min P = $...
Đã gửi bởi
on 31-07-2012 - 09:13
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{x^4}{(y-1)^3}+16(y-1)+16(y-1)+16(y-1)\geq 32x $
Tuong tu $\Rightarrow P \geq 96-16(x+y)\geq 32 $
Dau = xay ra khi $x=y=2$
Tuong tu $\Rightarrow P \geq 96-16(x+y)\geq 32 $
Dau = xay ra khi $x=y=2$
#328397 Cho a,b,c không âm thõa mãn a+b+c≥abc.Chứng minh rằng
Đã gửi bởi
on 23-06-2012 - 19:03
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Phan chung : Gia su $a^2+b^2+c^2 < abc \Rightarrow a^2 < abc \Rightarrow a <bc $
Tuong tu $\Rightarrow abc\leq a+b+c < ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2<abc$ (vo ly )
Vay dieu gia su la sai hay $a^2+b^2+c^2 \geq abc $ . DPCM
Tuong tu $\Rightarrow abc\leq a+b+c < ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2<abc$ (vo ly )
Vay dieu gia su la sai hay $a^2+b^2+c^2 \geq abc $ . DPCM
#326254 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$
Đã gửi bởi
on 17-06-2012 - 12:57
trong
Dãy số - Giới hạn
$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} \Rightarrow a_{n+1} -a_n=\frac{1}{a_n} > 0 \Rightarrow a_n$ tang .
Gia su ton tai $\lim a_n = L \Leftrightarrow L=L+\frac{1}{L}$ (vo ly )
Vay $\lim a_n = +\infty$
Theo dinh ly cesaro
$\lim \frac{a_n^2}{n}=\lim (a_{n+1}^2-a_n^2)= \lim (\frac{1}{a_n^2}+2) =2$
$\Rightarrow \lim \frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$
Gia su ton tai $\lim a_n = L \Leftrightarrow L=L+\frac{1}{L}$ (vo ly )
Vay $\lim a_n = +\infty$
Theo dinh ly cesaro
$\lim \frac{a_n^2}{n}=\lim (a_{n+1}^2-a_n^2)= \lim (\frac{1}{a_n^2}+2) =2$
$\Rightarrow \lim \frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$
#324482 Giải phương trình $$\sqrt{7-x^{2} +x\sqrt{x+5}} = \s...
Đã gửi bởi
on 12-06-2012 - 19:05
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
PT $\Leftrightarrow 4+2x+x\sqrt{x+5}=0 \Leftrightarrow 4+4x+x\sqrt{x+5}-2x =0 \Leftrightarrow 4(x+1)+x.\frac{x+1}{\sqrt{x+5}+2}=0 \Leftrightarrow (x+1)(4+\frac{x}{\sqrt{x+5}+2})=0 $
Den day thi de roi
Den day thi de roi
#323962 $$cos2x+\sqrt{2}sinx\left \lfloor sin(\frac{...
Đã gửi bởi
on 10-06-2012 - 17:47
trong
Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
$... \Leftrightarrow \cos 2x+\sqrt{2}\sin x(\sqrt{2} \cos 3x +1)=(\sin 2x + \cos 2x)^2 \Leftrightarrow \cos 2x + 2\cos 3x\sin x +\sqrt{2}\sin x = 1 + sin 4x \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin x - sin 2x =1- \cos 2x \Leftrightarrow \sin x(\sqrt{2} -2 \cos x) = 2\sin ^2 x \Leftrightarrow ...$
#323390 Cmr $\forall n$ nguyên và $n\ge 1$ thì $(...
Đã gửi bởi
on 08-06-2012 - 15:46
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$(1+\frac{1}{n})^n=(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})...(1+\frac{1}{n}).1<(\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1})^{n+1}=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$
#323271 $\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+...
Đã gửi bởi
on 07-06-2012 - 23:30
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$\exists \alpha , \beta, \gamma \in (0,\frac{\pi}{2}) ; \tan \alpha =x , \tan \beta = y , \tan \gamma =z , \alpha +\beta+\gamma = \pi$
$VT = 2\cos \alpha+\cos \beta + \cos \gamma \leq \frac{\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}{2}=\frac{9}{4}$
$VT = 2\cos \alpha+\cos \beta + \cos \gamma \leq \frac{\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}{2}=\frac{9}{4}$
#321924 Tìm GTLN của $P=\frac{ab}{a+b+ab}+\frac{bc}{b+c+bc}+\frac...
Đã gửi bởi
on 03-06-2012 - 01:22
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{1}{\sqrt[3]{a}}=x , \frac{1}{\sqrt[3]{b}}=y , \frac{1}{\sqrt[3]{c}}=z \Rightarrow xyz=1$
$P=\sum \frac{ab}{a+b+ab}=\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1}=\sum \frac{1}{x^3+y^3+xyz} \leq \frac{1}{xyz}=1$
$Max P =1 \Leftrightarrow x=y=z=1 \Leftrightarrow a=b=c=1$
$P=\sum \frac{ab}{a+b+ab}=\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1}=\sum \frac{1}{x^3+y^3+xyz} \leq \frac{1}{xyz}=1$
$Max P =1 \Leftrightarrow x=y=z=1 \Leftrightarrow a=b=c=1$
