Gọi $x_{1},x_{2}$ là các nghiệm của pt $x^{2}-6x+1=0$.Kí hiệu $s_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}$ với n là số nguyên dương.

a)Tính $s_{1},s_{2},s_{3}$.

b)Tìm 1 hệ thức giữa $s_{n},s_{n+1},s_{n+2}$.

c)tìm số dư khi chia $s_{50}$ cho 5

Câu a bấm máy.

b) $s_{n+2}-6s_{n+1}+s_{n}=0$, cái này có thể chứng minh đơn giản bằng Vi-ét.

c) $s_{n}$ tuần hoàn chu kỳ 6 khi chia 5, số dư lần lượt là $1,4,3,4,1,2$ nên $s_{50}\equiv 4( mod 5)$

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau:

$u_{1}=4$ ; $u_{2}=14$ ; $u_{n+1}=5u_{n}-6u_{n-1}$  $\forall n\geq 2$

Chứng minh rằng với mọi n thì $u_{n}=-2^{n}+2.3^{n}$

Dùng công thức nghiệm của phương trình đặc trưng: $u_{n}=a.2^{n}+b.3^{n}$

Từ đó ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 2a+3b=4 & \\ 4a+9b=14 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1 & \\ b=2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u_{n}=-2^{n}+2.3^{n}$

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau:

 $u_{1}=2$ ; $u_{2}=3$ ; $u_{n+1}=3u_{n}-2u_{n-1}$   $\forall n\geq 2$

Chứng minh rằng  với mọi $n$ thì $u_{n+1}-2u_{n}$ không đổi.

$u_{n+1}-2u_{n}=u_{n}-2u_{n-1}=u_{n-1}-2u_{n-2}=...=u_{2}-2u_{1}=-1$

Giải hệ : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2}(x-y)(1+4xy)=\sqrt{3}\\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x-y=a & \\ xy=b & \end{matrix}\right.$

Hệ trở thành: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2}a(1+4b)=\sqrt{3} & \\ a^{2}+2b=1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{2}a+4\sqrt{2}b=\sqrt{3} & \\ a^{2}+2b=1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2\sqrt{2}a^{2}-\sqrt{2}a+\sqrt{3}-2\sqrt{2}=0$

Tìm được $a$ thế lại tìm được $b$, đến đây chắc đơn giản rồi.

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1;u_{2}=-2 & & \\ u_{n+2}=u_{n+1}-2u_{n} & & \end{matrix}\right.$

KHÔNG DÙNG QUY NẠP!

Dùng phương trình đặc trưng:$x^{2}-x+2=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x_{1}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}i & \\ x_{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}i & \end{bmatrix}$

$\Rightarrow x_{n}=(\sqrt{2})^{n}(A.cosn\phi +B.sinn\phi)$ với $cos\phi =arccos\frac{1}{2\sqrt{2}},sin\phi =arcsin\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$

Thay $x_{1},x_{2}$ vô thì tìm được hệ số $A,B$.

Giải như trên bạn thu được $x_{n}=(\sqrt{2})^{n}.(\frac{3}{2}.cosn\phi +\frac{1}{2\sqrt{7}}.sinn\phi )$

Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?

Mình nghĩ đa thức là $a x^{3} +b x^{2} +cx +d $

Đặt $f(x)=a x^{3} +b x^{2} +cx +d$. $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$

$f''(x)=2(3ax+b)$

$f'''(x)=6a$

$\Rightarrow 2f(x).f''(x)-(f'(x))^{2}=g(x)$

$\Rightarrow g'(x)=2f'(x).f''(x)+2f(x).f'''(x)-2f'(x).f''(x)=2f(x).f'''(x)=12a^{2}(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

$\alpha \neq \beta \neq \gamma$ và không mất tính tổng quát ta giả sử $\alpha < \beta < \gamma$

Kẻ bảng biến thiên ta có 3 giá trị của $g(x)$, đặt lần lượt là $g(\alpha ),g(\beta ),g(\gamma )$

Ta có: $g(\alpha ).g(\beta ).g(\gamma )< 0$

Nên phương trình cho ta hai nghiệm phân biệt.

Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp $(O)$ và trực tâm $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là điểm đối xứng của $A,B,C$ qua $BC,CA,AB$. Chứng minh $D,E,F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OH=2R$.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+y=3 & \\ x^{2}+2xy-5y^{2}-5x+13y=6 & \end{matrix}\right.$

Tìm các hàm số $f:R\rightarrow R$ với mọi $x,y\in R$:

$f(xy)+f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)$

Cho dãy số ${a_{k}}$ xác định $a_{0}=\frac{1}{2}, a_{k+1}=a_{k}+\frac{a_{k}^{2}}{n}, k=1,2,...,n-1$. Chứng minh rằng $1-\frac{1}{n}< a_{n}< 1$

Theo tin tức mình cập nhật từ Cộng đồng Thiên văn Việt Nam- Vietastro thì sao chổi ISON đã đạt cấp sao biểu kiến là -5.7, không tính mặt trời, mặt trăng thì đây là thiên thể sáng nhất bầu trời hiện tại, nhưng do bay quá gần mặt trời nên chúng ta không thấy nó được bây giờ.

Anh ơi Sao chuyên Đề 12: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHONG^ GIAN bị thiếu vậy Anh 

Cái này mình chỉ sưu tầm trên mạng thôi, còn bị thiếu thì có lẽ do lỗi tác giả.

Nếu đã qua hạn nộp thì khi minh muốn đăng lại bài này, thi mình phải đăng bài khác hay ad mở khoá cho mình

Bạn nhắn tin qua mình hay các ĐHV khác để mở nhé!

2.Cho a,b,c > thoả mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$ (1)

(Peru, 2007)

$3\sum \frac{1}{ab}\leq (\sum \frac{1}{a})^{2}\leq (a+b+c)^{2}$

$3+2\sum \frac{1}{ab}\leq 3+\frac{2}{3}(\sum \frac{1}{a})^{2}\leq 3+\frac{3}{2}(a+b+c)^{2}\leq (a+b+c)^{2}$

Cho mình hỏi nếu qua 2 tháng kể từ lúc phát hành báo là minh được hỏi phải không , sao có một bài  phương trình hàm của tháng 9 mình đăng thì lại bị khoá

Nếu báo tháng 9 thì cuối tháng 11 mới hết hạn.

Cho dãy các đa thức ${P_{n}(x)}$ được xác định như sau:

$P_{0}(x)=0$, $P_{n+1}(x)=P_{n}(x)+\frac{x-P_{n}^{2}(x)}{2}$ với mọi $n$ nguyên dương, $x\in \mathbb{R}$,

Chứng minh rằng $0\leq \sqrt{x}-P_{n}(x)\leq \frac{2}{n+1}$ với mọi $n$ nguyên dương, $x\in [0,1]$.

Đây là bài trong THTT thì phải       

Nhưng hết hạn rồi bạn.

$\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{27\sqrt{2}}{8}(x-1)^{2}\sqrt{x-1}$ (1)

 

Nhờ mọi người cho hướng làm

Bạn chú ý lại cách đặt tiêu đề nhé.

$(1)\Leftrightarrow x+\sqrt{x^{2}-1}=\frac{729}{32}(x-1)^{5}$

$\Leftrightarrow x-\frac{5}{3}+\frac{x^2-\frac{25}{9}}{\sqrt{x^{2}-1}+\frac{4}{3}}=\frac{729}{32}(x-1)^{5}-3=\frac{3}{32}(3^{5}(x-1)^{5}-2^{5})$

Đặt $3x-3=a$

Phương trình thành $\begin{bmatrix} x-\frac{5}{3}=0 & \\ 1+\frac{x+\frac{5}{3}}{\sqrt{x^{2}-1}+\frac{4}{3}}=\frac{9}{32}(a^{4}+2a^{3}+4a^{2}+8a+16) (2)& \end{bmatrix}$

Nếu $x\neq \frac{5}{3}$

Ta chứng minh được $VT(2)\leq 3$, $VP(2)\geq \frac{9}{2}$ nên (2) vô nghiệm.

Mình xin gửi tới mọi người một số tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán :

 

1) Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán tại Bình Định tháng 4/2013 ( các file đính kèm )

2) Kỷ yếu hội thảo Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi Khu vực Đồng bằng sông Cửu Long diễn ra tại Thành phố Cao Lãnh từ 23-25 tháng 08 năm 2013.

Tải kỉ yếu hội thảo tại đây hoặc tại đây.

Mình ghép các file Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán tại Bình Định tháng 4/2013 thành một để các bạn tiện tải về tại đây.

Ai có bản ebook hay pdf của cái cuốn sách này không ạ

http://www.amazon.co...u/dp/0817635173

 

Thanks nhiều

Của bạn đây.

 Geometric Problems on Maxima and Minima.pdf   4.53MB   1257 downloads

Các bạn duy trì topic nhé, mình sẽ nhờ các ĐHV THCS đánh dấu lại giùm và mong các bạn đánh số bài đúng thứ tự nhé!

Bài 1: Cho tam giác $ABC, M,N$ nằm trên các cạnh $AB, AC$ sao cho $MB=BC=CN.$ Tính tỷ số $\frac{MN}{BC}$ theo $R$ và $r$.

Tìm đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(x)P(3x^{2})=P(3x^{3}+x^{2})$

Cho $a,b,c> 0$ thỏa $2013ac+ab+bc=2013$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2b^{2}}{b^{2}+2013}+\frac{3}{c^{2}+1}$

P/s: Bài này có nhiều hướng nên các bạn giải nhiều cách nhé!

Kết luận : Đa thức cần tìm thỏa mãn đề bài là $P(x)\equiv C$ hoặc $P(x)\equiv (x^{2}+3x+1)^{m},m\in \mathbb{N}$

Bạn xem lại nhé, mình thử thấy không thỏa. Các bài có dạng giống bài này đa thức $P(x-a)$ khi biểu diễn trên mặt phẳng phức giao nhau thì mới có nghiệm, bài ở đây là một ví dụ.