Cho hình vuông $ABCD$ có đường thẳng $d$ di động luôn cắt $AD; BC$ lần lượt tại $E;F$. Chứng minh rằng: nếu đường thẳng $d$ di động thì tổng bình phương của các khoảng cách từ $A;B;C;D$ tới  đường thẳng $d$ là 1 hằng số

Rút gọn $A = \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}} + \sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$

Rút gọn $A = \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}} + \sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$

Rút gọn $A = \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}} + \sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$

cách làm cũng tương tự thôi bạn

uk cảm ơn bạn : )

Từ điều kiện cho suy ra  $\frac{a}{a\dotplus 1}\geq \frac{1}{b\dotplus 1}\dotplus \frac{1}{c\dotplus 1}\dotplus \frac{1}{1\dotplus d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\left ( 1\dotplus b \right )\left ( 1\dotplus c \right )\left ( 1\dotplus d \right )}}$

Làm tương tự  xong nhân hết vào suy ra điều cần chứng minh

mình ghi lộn đề nka bạn; đề mình đã fix mong bạn thông cảm : (

Cách chứng minh hoàn toàn tương tự thôi

Chắc tại bạn không biết mấy cái kí hiệu kia

Để mình viết lại

hình như nó hơi khác cái đề mình mới fix lại đó bạn; bạn thử coi lại cái đề mới mình mới fix đi nka ( thông cảm tại hồi nãy mình đánh sai ) : (

Bài toán tổng quát

 

Cho $x_{i}>0,\forall i=\overline{1,n}$ thỏa $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{1+x_{i}}\geq n-1$

Chứng minh rằng $\prod_{i=1}^{n}x_{i}\geq (n-1)^{n}$.

hiện mình chỉ mới tới lớp 8 nên mình chưa làm dk cái dạng tổng quát; có gì mấy bạn chỉ cho mình dạng bài trên là được rồi..!! : )

$\frac{a}{a+1}\geq \frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(b+1)(c+1)(d+1)}}$

Lập $3$ bất đẳng thức tương tự ta có đpcm

Ta có : $\frac{a}{a+1}\geq \sum \left ( 1-\frac{b}{b+1} \right )=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\prod (b+1)}}$

CMTT: 

..........

Ta có :$\frac{abcd}{\prod (a+1)}\geq 81\sqrt[3]{\frac{1}{(c+1)(a+1)(b+1)}}.\sqrt[3]{\frac{1}{(d+1)(c+1)(b+1)}}.\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(d+1)(b+1)}}.\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(c+1)(d+1)}}=\frac{81}{\prod (a+1)}\Rightarrow abcd\geq 81$

Hình như mình sai thì phải           

 

mình đánh lộn đề nka mấy bạn; mong mấy bạn thông cảm; đề mình đã fix lại roy` hix : (

ta có $\frac{a}{a+1}=1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}+1-\frac{d}{d+1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$

thiết lập các BĐT tương tự rồi nhân các BĐT vế theo vế và rút gọn, ta được đpcm.

----------------------------------------

Mà đề phải là $abcd\geq \frac{1}{81}$ chứ bạn.

mình lộn đề nka bạn; đề mình đã fix lại mong bạn thông cảm hix : (

ta có $\frac{a}{a+1}=1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}+1-\frac{d}{d+1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$

thiết lập các BĐT tương tự rồi nhân các BĐT vế theo vế và rút gọn, ta được đpcm

cách làm của bạn hay

Mình chỉ góp ý là cái chỗ đầu tiên là phải $\frac{a}{a+1}/geq 1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}+1-\frac{d}{d+1}$ nka bạn

Cho $a;b;c;d$ dương thỏa 

$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} + \frac{1}{d+1}  \geq 3$

CMR: $abcd \leq \frac{1}{81}$

Cho $a;b;c;d$ dương thỏa 

$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} + \frac{1}{d+1}  \geq 3$

CMR: $abcd \leq \frac{1}{81}$

Cho $a;b;c;d$ dương thỏa 

$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} + \frac{1}{d+1}  \geq 3$

CMR: $abcd \leq \frac{1}{81}$

Cho $3x^2 + 5y^2=345$

Tìm $x;y$ nguyên ?

Cho $3x^2 + 5y^2=345$

Tìm $x;y$ nguyên ?

Cho $3x^2 + 5y^2=345$

Tìm $x;y$ nguyên ?

Cho $3x^2 + 5y^2=345$

Tìm $x;y$ nguyên ?

Cho $x; y > 0$; $x+y=1$

Tìm min của $P = 1/xy + 1/x^2 + y^2$

đề số hạng cuối là $y^{2}$ hay $\frac{1}{y^{2}}$ bạn?

$y^2$ nka bạn ...!!!

Cho $x+y=1$; $x,y>0$

Tìm min của $P = 1/xy + 1/x^2 + y^2$

Cho $x+y=1$; $x,y>0$

Tìm min của $P = 1/xy + 1/x^2 + y^2$

Cho $x + y = 1$, $x;y >0$

Tìm min của $P = 1/xy + 1/x^2 + y^2$

Cho $\Delta ABC$, trên tia đối tia $CB$ lấy điểm $D$ sao cho $BC=CD$, trên tia đối tia $AC$ lấy điểm

$E$ sao cho $AE=2AC$. Chứng minh rằng: nếu $AD=BE$ thì $\Delta ABC$ vuông

Bài thi QG cách đây vài năm. Giả sử $c$ nhỏ nhất trong ba số $a,b,c$ thế thì theo BĐT AM-GM ta có

\begin{align*}\text{Vế trái} &=\left(\frac{1}{ (a-b)^2}+\frac{(a-b)^2}{(b-c)^2(a-c)^2}\right)+\frac{2}{(a-c)(b-c)} \\
&\ge\frac{2}{(a-c)(b-c)}+\frac{2}{(a-c)(b-c)} \\
& \ge \frac{4}{ab+bc+ca}. \end{align*}

phần tô đậm em chưa hiểu, tại sao từ dòng trên xuống dòng cuối đk ?