Giải phương trình nghiệm nguyên:$\left ( x-2 \right )^{4}-x^{4}=y^{3}$

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2x+1 =y^{3}+y^{2}+1 & \\ 2y +1=z^{3}+z^{2}+1 & \\ 2z+1 =x^{3}+x^{2}+1 & \end{matrix}\right.$

Cho a,b,c dương.CMR $\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$

Ta CM được $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$
$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+abc\geq ab(a+b+c)$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}$
Tương tự $\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}\leq \frac{1}{bc(a+b+c)}$
$\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \frac{1}{ca(a+b+c)}$
Cộng theo vế ta được đpcm

Chứng minh với mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có $cos2A + cos2B + cos2C\leq \frac{3}{2}$
chỉ ra dấu bằng

MÌnh nghĩ là $cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$ chứ nhỉ?

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ĐK $6a+b\sqrt{3}+c\sqrt[3]{2}=3$
TÌm min $S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{3}}$

y=$\sqrt{(2-x)}+\sqrt{(2+x)}$

Ta có $y^{2}=4+2\sqrt{(2-x)(2+x)}$, suy ra min y=2
Áp dụng Cauchy ta tìm được max y=$\sqrt{6}$

đúng rùi mà bạn. $6x^{3}$ chứ??? nếu mình nhớ k nhầm thì bài này trong đề thi vào 10 trường khtn năm 2011

Mình nhầm 1 chút!

n=1,thỏa mãn
Với $n\geq 2$ thì hai chữ số tận cùng của 11...11 trừ hai số tận cùng của 7...77 có hiệu là 34
Theo tính chất của số chính phương nếu hàng đơn vị khác 6 thì hàng chục phải chẵn,34 không thỏa mãn là hai chữ số tận cùng của số chính phương

Mình có cách giải khác:
Ta có: $a=\left ( 10^{2n-1}+10^{2n-2}+...+10+1 \right )-7\left ( 10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1 \right )$
$\Rightarrow a= \frac{10^{2n}-1}{10-1}-7.\frac{10^{n}-1}{10-1}=\frac{10^{2n}-7.10^{n}+6}{9}$
+)Với n=1 ta có: a=4 (thỏa mãn)
+)Với $n\geq 2$ ta có: $(10^{n}-4)^{2}< 10^{2n}-7.10^{n}+6< (10^{n}-3)^{2}$(không có số chính phương nào thỏa mãn)
Vậy n=1

Sai chỗ nào vậy bạn.

Fải là $-6x^{3}$ chứ không fải là $6x^{3}$.

$\oplus$Bình phương hai vế và nhân chéo,phương trình trở thành:
$x^5-4x^4+6x^3-16x^2+25x-12=0$
$\Longleftrightarrow (x-3)(x-1)^2(x^2+x+4)=0$
$\oplus$Từ đó rút được nghiệm là 3 và 1

Bạn chuyển vế sai rồi!xem lại jùm mk nha!

Tìm tất cả các số nguyên dương n để số $a=11...1-77...7$ là bình phương đúng ( 2n số 1, n số 7)

Chứng minh rằng không tồn tại các bộ 3 số nguyên (x,y,z) thỏa mãn: $x^{4}+y^{4}=7z^{4}+5$

Giải phương trình $\sqrt{x+\frac{3}{x}}=\frac{x^{2}+7}{2(x+1)}$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1.CMR
$\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}}\geq 1$

Tìm số n nguyên dương sao cho tất cả các số n+1;n+5;n+7;n+13;n+17;n+25;n+37 đều là số nguyên tố

Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh tam giác.
CM: $(x+y+z)xyz\geq (xy+yz+zx)\sqrt[3]{(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)}$