Chém câu 6 cái đã
Gọi số bông hoa hồng, lan, cúc, ly, huệ người đó mua là $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$
Xét phương trình nghiệm nguyên không âm sau:
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$
Số cách chọn hoa cũng chính bằng số nghiệm của phương trình trên và bằng $C_{24}^{4}=10626$

Lời giải. Ta có $$A=\sum_{k=1}^{2013}a_{k}b_{k}=\sum_{k=1}^{2013}\left [ a_{1}+\left ( k-1 \right )d \right ]b_{1}q^{k-1}=a_{1}b_{1}\sum_{k=1}^{2013}q^{k-1}+b_{1}\sum_{k=1}^{2013}kq^{k-1}-db_{1}\sum_{k=1}^{2013}q^{k-1}$$
Tổng đầu và tổng cuối ta dùng cấp số cộng và cấp số nhân sẽ tính được còn tổng thứ hai dùng đạo hàm.

pt $\Leftrightarrow \frac{9x-3}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}=9x-3$

 

    $\Leftrightarrow 9x-3=0$

   

  $\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$ (Thỏa diều kiện)

 

(Do $\frac{1}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}\leq \frac{1}{2.\sqrt{\frac{3}{4}}}<1$)

 

Vậy $x=\frac{1}{3}$ 

Bạn giải thích rõ hơn dùm mình với $\frac{1}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}\leq \frac{1}{2.\sqrt{\frac{3}{4}}}$

 

Ngày 1:

 

Bài 1. (4 điểm ) Giải phương trình $\tan^23x+2\tan3x.\tan4x-1=0\\$ 

 

Bài 2. (4 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 

 

Bài 3. (4 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+5$ là số chính phương.

 

Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Trên các đoạn $HB,HC$ lần lượt lấy 2 điểm $B_1, C_1$ sao cho $\widehat{AB_1C}=\widehat{AC_1B}=90$ độ. Chứng minh $AB_1=AC_1$. 

 

Bài 5. (4 điểm) Cho số nguyên $n>1$. Có tất cả bao nhiêu dãy số $(x_1,x_2,...,x_n)$ với $x_i \in \{a,b,c\}, i=1,2,...,n$ thỏa $x_1=x_n=a$ và $x_i$ khác $x_{i+1}$ khi $i=1,2,...,n-1$.   

 

Bài 2. (4 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Giải

Ta có: $u_{1}=\frac{1}{2};u_{2}=-\frac{1}{4};u_{3}=\frac{5}{16};...$

Đặt hàm số $f(x)=x^{2}-x\Rightarrow f'(x)=2x-1\leqslant 0\Leftrightarrow x\leqslant \frac{1}{2}$

Ta có $u_{1}>u_{3}\Rightarrow f(u_{1})f(u_{4})\Rightarrow u_{3}>u_{5}\Rightarrow ...$(u_{3})\rightarrow>

Từ đây suy ra:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}>u_{3}>u_{5}>...>u_{2k+1}\\ u_{2}<u_{4}<u_{6}<...<u_{2k}

\end{matrix}\right.$

Cho hàm số $f(x):N^{*}\rightarrow N$ thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix} f(1)=2;f(2)=0\\f(3k)=3f(k)+1;f(3k+1)=3f(k)+2;f(3k+2)=3f(k) \end{matrix}\right.$

Hỏi có thể tồn tại n để f(n)=2008 được không?

Áp dụng BĐT : $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=(3-2c)(3-2a)(3-2b)=27-8abc-18(a+b+c)+12(ab+bc+ac)\Rightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3$

Làm sao mới ra điều phải chứng minh hả bạn?

Xin lỗi đề ra sai $2^{2}C_{n}^{n}-2+1^{2}C_{n}^{n}-1$ xin sửa lại là $2^{2}C_{n}^{n-2}+1^{2}C_{n}^{n-1}$

Cho n là số tự nhiên, $n\geq 2$. Chứng minh đẳng thức sau:

$n^{2}C_{n}^{0}+(n-1)^{2}C_{n}^{1}+(n-2)^{2}C_{n}^{2}+...+2^{2}C_{n}^{n}-2+1^{2}C_{n}^{n}-1=n(n+1)2^{n-2}$

Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC và mặt phẳng (CAB) vuông góc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng: $cot\widehat{BCD}.cot\widehat{BDC=\frac{1}{2}}$

Cho các số nguyên a,b,c khác 0 thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\epsilon Z\\\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\epsilon Z \\ \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: $\frac{3a^{4}}{b^{2}}+\frac{2b^{4}}{c^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}-4\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\geqslant 0$

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp, M và N là các điểm lần lượt thay đổi trên các cạnh AB và CD sao cho $\frac{MA}{MB}=\frac{NC}{ND}$. Điểm P thay đổi trên đoạn thẳng MN sao cho $\frac{PM}{PN}=\frac{AB}{CD}$. Chứng minh rằng tỷ số diện tích của hai tam giác PAD và PBC không phụ thuộc vào vị trí của M và N.

Cho 2 đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại điểm K, ((O') nằm trong (O)). Điểm A nằm trên (O) sao cho 3 điểm A, O, O' không thẳng hàng. Các tiếp tuyến AD và AE của (O') cắt (O) lần lượt tại B và C (D, E là các tiếp điểm). Đường thẳng AO' cắt (O) tại F. Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DE, FK đồng quy.

Bạn giải thích cho mình rõ giúp nha: DI=DB=DC.

Cảm ơn bạn nhiều lắm!!!

Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự là tâm của đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng $\widehat{AIO}\leq 90^{o}$ khi và chỉ khi $AB+AC\geq 2BC$

a) Chứng minh rằng $\forall x\epsilon R$ thì $e^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}$

b) Tìm a>0 sao cho $a^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}$

Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm chung với (O). Gọi H là hình chiếu của O lên d, gọi M là một điểm trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O). Gọi C,D là hình chiếu của H lên MA, MB. Các đường thẳng CD, AB cắt OH tại I và K. Chứng minh I là trung điểm của HK.

Cho mình xin link sách Tài liệu chuyên toán Đại số 10 đi perfectstrong ơi!!!

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 9 điểm có toạ độ là các số nguyên, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 9 điểm trên có diện tích là một số chẵn.

$PT(1)\Leftrightarrow (2x-y+3)(3x+y-2)=0$

Bạn có phương pháp nào để đặt nhân tử chung dễ dàng như vậy, cho mình xin bí quyết nhé!!!

1. $\sqrt[3]{x^{2}+ 4x + 3} + \sqrt[3]{4x^{2}-9x-3}=\sqrt[3]{3x^{2}-2x+2} + \sqrt[3]{2x^{2}-3x-2}$

2. $2x^{2}+3\sqrt[3]{x^{2}-9}=\frac{10}{x}$

3.$\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{3}+y^{3}-x^{3}=x^{5}-9x^{2}-9\\ 2y^{2}+4y=x-x^{2} \end{matrix}\right.$

4.$3x^{4}-4x^{3}=1-\sqrt{(1+x^{2})^{3}}$

Giúp mình nhé

Bài 3:

Hệ pt tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} (x^{2}+1)(y^{3}-x^{3}+9)=0(1)\\ 2y(y+2)=-x(x-1)(2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{3}+8=x^{3}-1\\ 6y(y+2)=-3x(x-1) \end{matrix}\right.$

Cộng vế với vế ta được $(y+2)^{3}=(x-1)^{3}\Leftrightarrow x=y+3$

Thay vào (2) ta được $3y^{2}+9y+6=0\Leftrightarrow [\begin{matrix} y=-1\\ y=-2 \end{matrix}$

Vậy hệ có 2 nghiệm (1;-2) và (2;-1)

Theo Cauchy Schwarz ta có

                               $A\leq \sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}=\sqrt{\sum \frac{1}{ab+b+1}}$

Do abc=1 nên ta có

                $\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1$

            $\Rightarrow A\leq 1$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bạn giải thích giúp mình với:

$\sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}$

$\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}$

Bạn ơi giải thích giúp mình với $y_{1}=y_{2}=...=y_{n}$

 

Đặt $y_1=x+2\sqrt{3x}$

$\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}=x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y_1=x+2\sqrt{3x}\\y_2=x+2\sqrt{y_1}\\...\\y_{n-1}=x+2\sqrt{y_{n-2}}\\y_n=x+2\sqrt{y_{n-1}}=3x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left \{\begin{matrix}y_1=y_2=...=y_{n-1}=y_n=3x \\3x=x+2\sqrt{3x}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=0\\ x=3\end{matrix}\right.$

Theo mình nghĩ, bạn phải thêm điều này cho dễ hiểu

$\sqrt{y_{n}}=x$

Bạn có thể hiểu như thế này:

$y_1=x+2\sqrt{3x}=x+2\sqrt{y_n}=x+2\sqrt{x+2\sqrt{y_{n-1}}}=...=x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+....2\sqrt{3x}}}=x+2x=3x$

Mình vẫn chưa hiểu $y_{n}=3x$ bạn oi!!!

Mình vẫn chưa hiểu $y_{n}=3x$

Đặt $y_1=x+2\sqrt{3x}$

$\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}=x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y_1=x+2\sqrt{3x}\\y_2=x+2\sqrt{y_1}\\...\\y_{n-1}=x+2\sqrt{y_{n-2}}\\y_n=x+2\sqrt{y_{n-1}}=3x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left \{\begin{matrix}y_1=y_2=...=y_{n-1}=y_n=3x \\3x=x+2\sqrt{3x}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=0\\ x=3\end{matrix}\right.$

Bạn ơi giải thích giúp mình với $y_{1}=y_{2}=...=y_{n}$

$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}} + \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30}}}} < 9$

Ta có

$\sqrt{6}<3$

$\Rightarrow 6+\sqrt{6}<9$

$\Rightarrow \sqrt{6+\sqrt{6}}<3$

$\Rightarrow \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}<3$

Tương tự ta cũng có

$\sqrt{30}<6$

$\Rightarrow \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30}}}}<6$

Như vậy suy ra được đpcm.