Tim tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , thỏa mãn 

 $f\left ( f\left ( x \right )+y \right )=f\left ( x+y \right )+xf(y)-xy-x+1$

Từ $(1)$ $\Rightarrow \left ( \sqrt{x+2}-\sqrt{y} \right )\left [ \sqrt{x+2} \left ( \sqrt{x+2}+\sqrt{y} \right )+1 \right ]=0$

$\Rightarrow x+2=y$

Từ đó thế vào $(2)$ giải dễ rồi   

Tìm $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a,b,c)=1$ , $a^2+b^2=c^2$, $a^2=b+c$

Đây là 1 bài toán quen thuộc, mình xin gõ lại lời giải bằng '' yếu tố ít nhất'' của thầy Cẩn     

Do BĐT thuần nhất , chuẩn hóa cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ 

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}}{2(x+y)}\geq 3$

Ta có :  $LHS\geq x+y+z+\frac{\left ( x-z \right )^{2}}{x+y+z}=\frac{\left ( x-z \right )^{2}+\left ( y-x \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}+x+y+z+\frac{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}$

 =$\frac{9}{2\left ( x+y+z \right )}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}\geq 3+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}$

Bài toán đc chứng minh nếu ta có : $\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\geq 0$

 Đúng nếu cho $y$ nằm giữa $x,z$

Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=1$

Ta có :  $\sum\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}=\sum \frac{a^{3}\left ( b+c \right )}{b^{3}+c^{3}}\geq \frac{3\sum ab}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab\left ( b-a \right )\left ( a+b \right )+ac\left ( c-a \right )\left ( c+a \right )}{b^{2}-bc+c^{2}}\leq \frac{\sum \left ( a-b \right )^{2}}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \sum \left ( a-b \right )^{2}\left [ \frac{ab\left ( a+b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )}{\left ( a^{3}+c^{3} \right )\left ( b^{3}+c^{3} \right )} +\frac{1}{a+b+c}\right ]\geq 0$

 BĐT trên hiển nhiên đúng , ta có ĐPCM 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

BĐT $\Leftrightarrow \left ( \sum \frac{a}{b} \right )^{2}-9\geq 9\left [ \frac{3\sum a^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}} \right ]-9$

$\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{ab} +\frac{\left ( a-c \right )\left ( b-c \right )}{ac}\right ]\left ( \sum \frac{a}{b}+3 \right )\geq \frac{18\left ( a-b \right )^{2}+18\left ( a-c \right )\left ( b-c \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Ta có : $\sum \frac{a}{b}+3\geq 6$

Ta sẽ chứng minh : $\left ( a-b \right )^{2}\left [ \frac{1}{ab}-\frac{3}{\left ( a+b+c \right )^{2}} \right ]+\left ( a-c \right )\left ( b-c \right )\left [ \frac{1}{ac}-\frac{3}{\left ( a+b+c \right )^{2}} \right ]\geq 0$

Điều này luôn đúng nếu ta giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Không mất tính tổng quát , giả sử $a\geq b\geq c$   

$\Rightarrow a^{n}\geq b^{n}\geq c^{n}$ và  $a^{m-n}\geq b^{m-n}\geq c^{m-n}$

Áp dụng BĐT $Chebyshev$ , ta có 

$\sum a^{m}\geq \frac{1}{3}\sum a^{n}.\sum a^{m-n}$

Tương tự , ta có :

$\sum a^{m-n}\geq \frac{1}{3}\sum a^{m-n-1}\sum a$

Cứ như vậy ta có ĐPCM 

Dễ thấy : $3abc\left ( a+b+c \right )\leq \left ( ab+bc+ca \right )^{2}$   $\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$

Ta sẽ chứng minh :  $2\left ( a+b+c \right )\geq \sum \sqrt{(a+b)(a+c)}$

Điều này hiển nhiên theo BĐT $AM-GM$

  $\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2}=2\left ( a+b+c \right )$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

$\Leftrightarrow \left ( 2y-3 \right )\left ( 3-2x \right )=9$

Áp dụng BĐT $Holder$ ,ta có :

$\left ( \sum \frac{1}{\sqrt{4a^{2}+bc}} \right )^{2}\left [ \sum \left ( b+c \right )^{3}\left ( 4a^{2}+bc\right ) \right ]\geq 8 \left (a+b+c \right )^{3}$

Ta sẽ chứng minh : 

   $8\left ( a+b+c \right )^{5}\geq 16 \sum \left ( b+c \right )^{3}\left ( 4a^{2}+bc \right )$ 

Chuẩn hóa cho $a+b+c=1$ , $q=ab+bc+ca$ , $r=abc$ , ta có :

 BĐT $\Leftrightarrow 1\geq 2\left ( 4q-15r+22qr+q \right )$ 

    $\Leftrightarrow 2r\left ( 15-22q \right )-8q^{2}-2q+1\geq 0$

Xét $4q-1\leq 0 \Rightarrow \left ( 1-4q \right )\left ( 2q+1 \right )\geq 0$  (Luôn đúng )

Xét $4q-1\geq 0\Rightarrow LHS\geq \frac{2\left ( 15-22q \right )\left ( 4q-1 \right )}{9}-8q^{2}-2q+1$

                                $= \frac{\left ( 4q-1 \right )\left ( 21-62q \right )}{9}\geq 0$

   Luôn đúng do $q\leq \frac{1}{3}<\frac{21}{62}$

   Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ và $a=b,c=0$ và các hoán  vị 

Đặt $a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z}$

$P=\sum \frac{y^{5}}{x^{3}\left ( z^{2} +y^{2}\right )}\geq \frac{(\sum x^{3})^{2}}{xyz(\sum x^{2}z )+\sum x^{3}y^{3}}$

Lại có : $3xyz\leq \sum x^{3}$

$\sum x^{2}z\leq \sum x^{3}$

$3\sum x^{3}y^{3}\leq \left ( \sum x^{3} \right )^{2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

APMO 2005  , 

Cho $p,R$ lần lượt là nửa chu vi và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tìm GTNN  $\frac{R}{p}$

Tìm bộ 3 số $(x,y,z)$ tự nhiên thỏa mãn phương trình :  

                $5^{x}.7^{y}+4=3^{z}$

Bảy đa giác đều có diện tích là $1$ nằm trong hình vuông có độ dài cạnh là $2$ . Chứng minh rằng có ít nhất 2 đa giác cắt nhau với diện tích phần chung không nhỏ hơn $\frac{1}{7}$

 Chứng minh      $\left [ a,b,c \right ].\left ( a,b \right ).(b,c).(c,a)=(a,b,c).abc$

Giải phương trình           $\sqrt{\frac{x+3}{4}}+\sqrt{\frac{x+2}{3}}+\sqrt{\frac{x+1}{2}}=2x$

Giải hệ phương trình                                                                                                                                                                                           $\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{x} \left ( \frac{1}{4}+\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y} \right )=2 & & \\ \sqrt[4]{y}\left ( \frac{1}{4}-\frac{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x+y} \right )=1& & \end{matrix}\right.$

2/   $\left\{\begin{matrix} (4x^{2}-4xy+4y^{2}-51) \left ( x+y \right )^{2}+3=0& & \\ \left ( 2x-7 \right )\left ( x-y \right )+1=0& & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình   $\sqrt[3]{5-x}\left ( \sqrt{3x-2} -1\right )=3\left ( x-1 \right )$

Cho $x,y,z>0$   .  Chứng minh $\sum \frac{x+1}{y+1}\leq \sum \frac{x}{y}$

Cho $a,b,c,d>0$ . Chứng minh $\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)(b+d)}\geq \sqrt{abcd}$

Ai có đề chon HSG tỉnh Hưng Yên 2015-2016 có thể đăng lên đc ko 

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$ , hằng số $k\in Z^{+}$ 

   Chứng minh :   $x^{k}y^{k}\left ( x^{k}+y^{k} \right )\leq 2$

Đặt $\frac{a}{c}=x;\frac{b}{c}=y$ .Từ giả thiết $\Rightarrow x+y+xy=3\Rightarrow x+y=3-xy$

Dễ thấy $xy\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}\Rightarrow x+y\geq 3-\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}\Rightarrow 0< x+y\leq 2$

Ta có $P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2xy+3\left ( x+y \right )}+\frac{3}{x+y}-1=\frac{(x+y)^{2}}{6+x+y}+\frac{3}{x+y}-1$

Xét $f\left ( t \right )=\frac{t^{2}}{6+t}+\frac{3}{t}-1$ với $t=x+y\left ( t\in (0;2] \right )$

Đến đây em ko biết đạo hàm     

Dễ thấy $a^{3}+b^{3}\geq ab\left ( a+b \right )\Rightarrow a^{3}+b^{3}+abc\geq ab\sum a\Rightarrow \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{c}{abc\sum a}$

Tương tự cộng lại ta có ĐPCM