Với x>1 chứng minh:  

$3(x^{2}-\frac{1}{x^{2}})< 2(x^{3}-\frac{1}{x^{3}})$

Vì x>1==>x-1/x>0.BĐT có thể biến đổi thành

$2(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}})-3(x+\frac{1}{x})> 0\Leftrightarrow 2(x+\frac{1}{x})^{2}-3(x+\frac{1}{x})-2> 0$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$.BĐT  trở thành

$2t^{2}-3t-2> 0  với t> 2\Leftrightarrow 2(t-\frac{3}{4})^{2}-\frac{25}{8}> 0 với t> 2$. Hiển nhiên

e^x-sinx+0,5x²

$f_{(x)}^{'}=e^{x}-cos(x)+x, f_{(x)}^{''}=e^{x}-sin(x)+1> 0,\forall x\in R$. Vậy

$f_{(x)}^{'}=0\Leftrightarrow x=0$.Và hàm đạt giá trị nhỏ nhất

$f_{(0)}=1 khi  x=0$

vì sao biết F di chuyển trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tgiác BCG

Câu a đã CM tứ giác BFCG nội tiếp, sau đó giới hạn quỹ tích khi cho D trùng M và B

Cho $a,b,c>0$ thoả $abc=1$. Chứng minh: $\frac{1}{{{a}^{2}}\left( b+c \right)}+\frac{1}{{{b}^{2}}\left( c+a \right)}+\frac{1}{{{c}^{2}}\left( a+b \right)}\ge \frac{3}{2}$

đặt x=1/a, y=1/b, z=1/c.BĐT trở thành

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$. Hiển nhiên

-Lấy chữ số đầu tiên nhân với 4 rồi cộng với chữ số tiếp theo cho đến hết ta đc 1 số mới

Ý này không dược rõ ràng lắm.Nếu thực hiện như bạn chanhquocnghiem thì đề phải là:"-Lấy chữ số đầu tiên nhân với 4 rồi cộng với các chữ số còn lại ta đc 1 số mới"

 Với ý tưởng tương tự hãy xét bài sau

Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 2017 để tạo thành 1 số tự nhiên . Ta thực hiện 1 thuật toán đơn giản như sau :
-Lấy chữ số đầu tiên nhân với 4 rồi cộng với chữ số tiếp theo (số tạo thành có thể có 1 hoặc 2 chữ số) ta đc 1 số mới(gồm số vừa tạo thành đặt ở vị trí đầu tiên và các chữ số còn lại)
-Tiếp tục tác động lên số mới bước làm giống như trên cho đến khi ta đc kết quả là 1 số có 1 chữ số
Hãy tìm số có 1 chữ số đó

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết tiếp tuyến tại C của (O) cắt AB tại G. Qua A vẽ đt song song CG cắt (O) tại M. Trên cung nhỏ BM lấy điểm D tùy ý 

Lấy điểm E trên (O) sao cho CE song song AD. Gọi F là giao điểm của CD và BE. 

a) CM: GF và AD song song

b) Tìm quỹ tích điểm F khi D thay đổi trên cung BM

a)AD//CE =>số đo cung AE= số đo cung CD=>góc ABE = góc FCG=>BFCG nội tiếp=>góc BGF = góc BCD mà góc DAB = góc BCD suy ra GF//AD mà AD//CE nên GF//CE (ĐPCM)

b)Khi D di chuyển trên cung nhỏ MB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì F di chuyển trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCG(cố định)

Tìm số n biết:   n chia hết cho 7, chia 5 dư 4, chia 3  dư 1, và ko chia hết cho 2 và 4

Tất cả các số có dạng 49(30k+1) với k thuộc số tự nhiên

$Cho x,y,z>0 thoaman x^3+y^3+z^3\leq 3.MaxP=3(xy+yz+zx)-xyz$

$P=3(1-x)(1-y)(1-z)+3(x+y+z)-3+2xyz\leq \frac{(t)^{3}}{9}+3t-1, t=3-x+y+z, 0\leq t< 3$

Dễ dàng CM $P_{max}=8 "="\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài toán:Cho $\Delta$ $ABC$ không cân .phân giác $Ax$ cắt trung trực của BC tại $E$.

Chứng minh:$E$ nằm ngoài $\Delta ABC$

Gọi (O,R) là đường tròn ngoại tiếp của ABC. Dễ thấy Ax và đường trung trực của BC cùng đi qua điểm giữa của cung BC. Vậy E là trung điểm của cung BC do đó nằm ngoài tam giác ABC

Có 2 máy cùng chế tạo 1 loại sản phẩm. Khả năng chế tạo ra chính phẩm của máy 1 và 2 tương ứng là $0,8$ và $0,9$. Tính xác suất để khi cho máy 1 chế tạo ra 2 sản phẩm, máy 2 chế tạo ra 3 sản phẩm thì thu được ít nhất 4 chính phẩm.

Ta tính xác suất cho phần bù. Tức là có nhiều nhất 1 phế phẩm. Có ba trường hợp

1)Tất cả là chính phẩm : 0,8*0,8*0,9*0,9*0,9

2)Một phế phẩm của máy 1 : 0,8*0,2*0,9,0,9*0,9

3)Một phế phẩm của máy 2 : 0,8*0,8*0,9*0,9*0,1

Xác suất có ít nhất 4 chính phẩm : 0,8*0,9*0,9*(0.8*0.9+0.2*0.9+0.8)

Tự bấm máy nhé

bạn làm trường hợp O nằm ngoài như thế nào ? Nói cụ thể được không ?

Góc H'BC=góc HBC( vì H' và H đối xứng qua BC ) (1)

Góc H'BC = góc H'AC ( vì cùng phụ góc ACB ) (2)

Từ (1) và (2) được góc H'BC=góc H'AC,vậy H' thuộc cung lớn BC của đường tròn suy ra H thuộc cung đối xứng với cung lớn BC qua trục BC (Vẽ hình sẽ thấy rõ)

1. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca=3abc

CMR: a²b + b²c + c²a + 3 $\geqslant$ 2(a+b+c)

$ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a^{2}b+\frac{1}{b}+b^{2}c+\frac{1}{c}+c^{2}a+\frac{1}{a}\geq 2(a+b+c),"="\Leftrightarrow a=b=c$(BĐT Cauchy)

Trường hợp O không nằm trong tam giác ABC làm như thế nào bạn ?

Cũng vậy thôi. Chỉ khác A di chuyển trên cung nhỏ và H di chuyển trên cung lớn

1/$x^{3}+x^{2}+2+3x\sqrt{x+1}=0$

Đặt $t=x\sqrt{x+1} ĐK x\geq -1$.PT trở thành

$t^{2}+3t+2=0\Leftrightarrow t=\left \{ -1;-2 \right \}$

Dễ dàng CM $t\geq -\frac{2\sqrt{3}}{9}$n nên PT vô nghiệm

cho đường tròn (O) B,C thuộc đường tròn (O).số đo cung BC là 120 độ.A thuộc cung lớn BC.H là trực tâm tam giác ABC.CMR H cố định khi A thay đổi trên cung lớn BC

Hình như đề không được chính xác

Gọi H' là điểm đối xứng của H qua BC. Dễ dàng CM H' thuộc cung nhỏ BC. Vậy khi A di chuyển trên cung lớn BC thì H di chuyển trên cung đối xứng với với cung nhỏ BC qua trục BC

bài 2:

nhận xét

nếu n= 1 suy ra 2 là số nguyên tố 

nếu n là số lẻ lớn hơn 1 thì (n^n + 1) là số chẵn lớn hơn 2, do đó không là số nguyên tố

vì vậy n là số chẵn 2, 4, 6, 8 (vì 10^10 + 1 > 10^10)

với n = 2 => (n^n + 1) = 5 nhận

với n = 4 => (n^n + 1) = 257 

với n = 6 => (n^n + 1) = 46657

với n = 8 => (n^n + 1) = 16777217

tới đây dùng thuật toán kiểm tra số nguyên tố các số :257; 46657; 16777217

Lưu ý

257 là số nguyên tố

$a^{3}+1$ với a>1 luôn là hợp số

$6^{6}+1=36^{3}+1,8^{8}+1=(2^{8})^{3}+1$ là hợp số

Vậy với n={1;2;4) thì biểu thức là số nguyên tố

Bài 1: Cho $[x]$ là phần nguyên của $x$. Tính: $[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+...+[\sqrt{2011}]$.

$S=\sum_{i=1}^{n}\left [ \sqrt{i} \right ], k^{2}\leq n<(k+1)^{2}$

Vì với $k^{2}\leq i< (k+1)^{2}\Rightarrow \left [ \sqrt{i} \right ]=k$

Nên $S=k(n-k^{2})+\sum_{i=1}^{k-1}{i[(i+1)^{2}-i^{2}]}$$=(k+1)(n-k^{2})+\sum_{i=1}^{k-1}(2i^{2}+i)=(k+1)(n-k^{2})+\frac{(i-1)i(2i-1)}{3}+\frac{(i-1)i}{2}$

Áp dụng n=2011 k=44. Tính được kết quả 59189

Có $4m$ đồng xu, nhưng chỉ có $2m$ đồng là thật, khối lượng đồng xu thật nặng hơn đồng xu giả. Chứng minh rằng chỉ với một cái cân đĩa và không kèm theo các dụng cụ khác, sau không quá $3m$ phép cân đĩa ta có thể xác định được tất cả các đồng xu thật và giả.

Gọi A là tập hợp các đồng xu thật

B là tập hợp các đồng xu giả

Chia các đồng xu ra làm m nhóm, mỗi nhóm 4 đồng xu. Thực hiện phép cân cho mỗi nhóm như sau

- Đặt trên mỗi đĩa cân 2 đồng xu có hai trường hợp

1) Nếu cân lệch, lấy 2 đồng xu trên đĩa cân nhẹ đặt trên mỗi đĩa căn 1 đồng xu, có hai trường hợp xảy ra

 a)Cân lệch-->trong nhóm có 1 đồng xu giả ở đĩa cân nhẹ

 b)Cân cân bằng--> trong nhóm có 2 đồng xu giả (là 2 đồng xu cân cuối cùng)

2)Nếu cân cân bằng,lấy 2 đồng xu trên cùng môt đĩa cân đặt trên mỗi đĩa căn 1 đồng xu, có hai trường hợp xảy ra

 a)Cân lệch==>xu giả,thực hiện tương tự với 2 đồng xu còn lại-->đồng xu giả còn lại

 b)Cân cân bằng. Chứng tỏ 4 đồng xu cùng tính chất

 Nói chung với tối đa 3 lần cân ta có thể xác định tất cả các đồng xu thật và giả của một nhóm, với hai lần cân ta có thể có thể xác định một nhóm cùng tính chất

Giả sử có k nhóm đã xác định được số tiền thật và giả, số lần cân không quá 3k

Còn lại m-k nhóm có cùng tính chất, đã cân 2(m-k) lần

1)k khác 0. Tức là có đồng  xu thật mẫu

Lấy 1 đồng xu của mỗi nhóm cân với đồng xu thật mẫu.Sau m-k lần sẽ phân biệt được tất cả các đồng xu thật và giả. Tổng không quá 3m lần cân

2)k=0. Tức là m nhóm đều có các phần tử cùng tính chất.Lúc này m chẳn và số nhóm chứa tiền thật và số nhóm chứa tiền giả cùng bằng m/2,Số lần đã cân là 2m

Lấy một nhóm bất kỳ làm mẫu cân với các nhóm còn lại.Dễ thấy sau không quá m lần sẽ xác định được các đồng xu thật và các đồng xu giả.Và tổng số lần cân không quá 3m

Vậy sau tất cả các trường hợp đã liệt kê đã CM được sau không quá 3m phép cân đĩa sẽ xác định được các đồng xu thật và giả 

Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$ , với x,y là các số tự nhiên

Xét hai số k và k+1.Ta có

$\left\{\begin{matrix} (x_{k+1}+_{k+1})^{2}+3x_{k+1}+y_{k+1}=2(k+1)\\ (x_{k}+y_{k})^{2}+3x_{k}+y_{k}=2k \end{matrix}\right. \Rightarrow (x_{k+1}+y_{k+1})^{2}-(x_{k}+y_{k})^{2}+3(x_{k+1}-x_{k})+(y_{k+1}-y_{k})$

Ta tìm được bộ

$x_{k+1}=x_{k}+1,y_{k+1}=y_{k}-1$

Vì y bất kỳ nên sau một số bước y<0 vô lý

Vậy cách biểu diễn trên luôn tồn tại nhưng không duy nhất

Chỗ màu đỏ là sao vậy bạn ?

Côsi đó mà $a,b> 0\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}\geq 2$

Cho x,y,z bất kỳ Đặt

a=x-y

b=y-z

c=z-x

Hãy biểu diễn x,y,z theo a,b,c

1) Cho a,b>0 mà ab=1. Tìm $Amin=(a+b+1)(a^{2}+b^{2})+\frac{4}{a+b}$

2) Cho x, y, z >0 mà $Amax=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Dễ thấy $a+b\geq 2$\Rightarrow A$\geq 6\frac{(a+b)^{2}}{4}+\frac{4}{a+b}\geq 5+\frac{(a+b)^{2}}{4}+\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+b}\geq 8 "="\Leftrightarrow a=b=1$ (Côsi)

Vậy $A_{min}=8 \Leftrightarrow a=b=1$

Dựng hình vuông ngoại tiếp tứ giác bất kì

Phân tích

Giả sử dựng được hình vuông MNPQ như yêu cầu ( MN,NP,PQ,QM lần lượt chứa A,B,C,D).

kẻ CE//DB, CE=DB.CA' vuông góc với MN tại A', EB' vuông góc với QP tại B'. Dễ thấy CA'=CB'=MN. Qua phép quay (C,Pi/2)

A'-->B',A-->A'' thuộc EB'

Cách dựng

Dựng CE//DB CE=DB

Dựng A'' là ảnh của A qua phép quay (A,Pi/2)

Dựng B' là chân đường vuông góc hạ từ C đến EA''

P ,Q là chân đường vuông góc hạ từ B,D đến CB'

M,N là chân đường vuông góc hạ từ A đến DQ,BP

NMPQ là hình vuông phải dựng

Hãy tự CM và biện luận nhé!

Cho đường thẳng d và 2 điểm A,B nằm cùng phía với d. Dựng điểm M thuộc d sao cho : AM+BM=a

Với a là độ dài cho trước

Phân tích

Giả sử dựng được điểm M thỏa mãn yêu cầu. Lúc đó M thuộc d và M thuộc elip có tiêu điểm A,B và chiều daì trục lớn bàng a

Cách dựng

Dựng elip có tiêu điểm A,B và độ dài trục lớn bằng a

Elip giao d tại M

M là điểm phải dựng

Chứng mimh (Dễ dàng tự CM)

Biện luận

Gọi A' là hình chiếu của A qua d

a>A'B bài toán có hai nghiệm

a=A'B bài toán có một nghiệm

a<A'B bài toán vô nghiệm

Bạn có thể chỉ rõ cho mình tia Oy* ?? nằm ở đâu k

Dựng hình

Trên Ox lấy điểm M

Dựng các tam giác đều AOO' ,AOO'',AMM',AMM''

Qua O'M' và O''M'' dựng được các tia O'y' và O''y''

O'y' và O''y'' là các tia phải dựng

(Lưu ý thay thế O''y'' cho $O^{*}y^{*}$ )