1) Giải phương trình: $(x^2+1)^2=5-x\sqrt{2x^2+4}$

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=9y^2+36y+63 & \\ x^2-y^2+x=4y & \end{matrix}\right.$

Ps: Ko biết vì sao bài nào mình cũng làm không được nhể

1) Giải phương trình: $(x+4)\sqrt{2x-1}=6x-2$

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+7=5y-6z & \\ y^2+7=10z+3x & \\ z^2+7=-x+3y & \end{matrix}\right.$

Ps: Bài 1 còn cách nào khác ngoài bình phương hai vế không nhỉ?

Cho hai số thực dương $x,y$ thoả mãn $x+y=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\sqrt{2(x^2+y^2)}+4\sqrt{x}+4\sqrt{y}$$.

Ps: Lẽ ra tui nên đăng bài này trên box THCS

Năm nay chắc em lên lớp 10 nhỉ? Em cần tìm sách về phần gì? (tổ hợp, số học, đa thức, dãy số, hình học, bđt, ...?)

Năm nay em lên lớp 10 luôn ạ.

Em cần tìm sách tổ hợp, số học, bđt và hình học với muốn tìm hiểu mấy cái như phương trình hàm ạ anh

Đọc sách tìm tòi trên mạng thôi em. Chứ ko có cái gì là tự nhiên biết đc cả

Nhưng em đang tìm một cuốn sách có thể giúp em mở mang ạ. Vậy anh có thể gợi ý giúp em một số cuốn được không ạ?

$\boxed{4}$ $:$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $AB$, $AC$ tại $E$, $F$. Tiếp tuyến tại $E$ của $(IEC)$ cắt tiếp tuyến tại $F$ của $(IFB$) tại $P$. Chứng minh $AP$, $OI$, $BC$ đồng quy

Em vẽ nó đâu đồng quy đâu nhỉ?

Ps: Vừa vào lớp 10 thấy hình học ghê quá

Sử dụng bổ đề $1$ trong https://diendantoanh...q-2a2b2c2sqrt3/

Cho em hỏi làm sao để biết những bổ đề này mà áp dụng ạ?

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 1+(a^3+b^3+c^3-3abc)^2$$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$$P=\frac{bc}{\sqrt[4]{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt[4]{b^2+3}}+\frac{ab}{\sqrt[4]{c^2+3}}$$

https://diendantoanh...cabbcfracbcab1/

Chắc do nãy em nhân sai nên mới ko làm đc, chuyển sang nhân với $a+b$ thì lại ngon

Sol của em:

Nhân hai vế BĐT cho $(a+b)$, ta được:

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(a+b)\geq \frac{(a+b)^2}{b+c}+(b+c)+(a+b)$

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq \frac{(a+b)^2}{b+c}+2b$ (Đúng theo $C-S$ và $AM-GM$)

Hoặc nhân 2 vế cho $b+c$

Gợi ý cho em một cách: Cộng $1$ vào hai vế rồi dùng BĐT C-S

Thử hết cả hai cách rồi mà ko ra hai anh ơi

Bài này cũng quen thuộc mà nhỉ!

Nhìn thì quen thuộc nhưng giải ko được ạ

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$

Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho $AE=AF$. Đường trung tuyến $AM$ và đường thẳng $EF$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng: $\frac{QE}{QF}=\frac{AC}{AB}$.

Giải phương trình: $x^3-3x^2+2x=(x-1)\sqrt{7x^2-14x-12}$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^2+3xy+y^2+3x+2y+1=0 & \\ 4x^2-y^2+x+4=\sqrt{2x-y}+\sqrt{x-4y} & \end{matrix}\right.$

Cho a,b,c mà sao điều kiện là x,y,z vậy. Bn xem lại nha

Ok mình sửa rồi nha, lag tí

Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xy=yz+zx$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\frac{4z(z^2-xy)-(x^2+y^2)(2z-x-y)}{(x+y)z^2}$$.

Ai giải giúp em với ạ, khó quá ạ

$2$) Gợi ý: Bổ đề:  $\forall x,y,z>0$, ta có bđt:

$$\frac{\left(\sum x^{2}\right)^{2}}{2\sum x^{3}y^{3}+\sum x^{3}}\geq \frac{9}{\left(\sum x\right)^{2}}$$

Làm sao để chứng minh bổ đề này vậy ạ?

$2$) Với $\sum ab=1$: $$\left(\sum a\right)\left(\sum a^{2}\right)\geq 3\sqrt{3}\sum a^{2}-11\sum a+9\sqrt{3}$$

Bổ đề $2$ là đánh giá chặt nhất và ta có thể xây dựng nhiều bđt khác trên cơ sở này

Làm sao để chứng minh đc bổ đề này vậy a?

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sqrt{3}$$.

Ps: Em làm mãi mà chỉ chứng minh được $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+3$ thôi à, ko ra đáp án

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$T=\frac{a^4}{b^4(5-3\sqrt[3]{a})}+\frac{b^4}{c^4(5-3\sqrt[3]{b})}+\frac{c^4}{a^4(5-3\sqrt[3]{c})}$$.

1) Với các số thực dương $a,b,c$, tìm GTNN của biểu thức:

$$Q=\frac{1}{(a+b)^3}+\frac{1}{(b+c)^3}+\frac{1}{(c+a)^3}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{32}$$.

2) Với các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{5(x+y+z)}{3}+\frac{x}{y^3+z^3+1}+\frac{y}{z^3+x^3+1}+\frac{z}{x^3+y^3+1}\geq 6$$.

Ps: Mới thêm đề