Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Có 549 mục bởi Phạm Hữu Bảo Chung (Tìm giới hạn từ 29-04-2020)

Theo nội dung

Xem thành viên

Trang 20 / 22

Sắp theo

Sắp xếp

#442152 $\frac{1}{x-1} +\frac{1}{x+1}= \frac{1}{2\sqrt{x}}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-08-2013 - 11:20 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải

ĐK: $x > 0$ và $x \neq 1$

Phương trình ban đầu tương đương:

$\dfrac{2x}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \Leftrightarrow x^2 - 1 = 4x\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2 - 1 \geq 0\\x^4 - 2x^2 + 1 = 16x^3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x \geq 1\\x \leq -1\end{matrix}\right.\\\left [ x^2- (8 + 6\sqrt{2})x + 3 + 2\sqrt{2}\right ] \left [ x^2- (8 - 6\sqrt{2})x + 3 - 2\sqrt{2}\right ] = 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x = 4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{31 + 22\sqrt{2}}$

#446510 $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 31-08-2013 - 11:47 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Cách 2

Giải

ĐK: $x, y \geq 0$

Đặt $\sqrt{x} + \sqrt{y} = S; \sqrt{xy} = P \, (S, P \geq 0, S^2 \geq 4P)$

Khi đó, hệ ban đầu trở thành::

$\left\{\begin{matrix} S=2 \\ x + y + 6 + 2\sqrt{xy + 3(x + y) + 9} = 16\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=2 \\ S^2 - 2P + 6 + 2\sqrt{P + 3(S^2 - 2P) + 9} = 16\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=2 \\ \sqrt{-5P + 21} = P + 3\end{matrix}\right. $

Phần còn lại thì được rồi nhỉ?

#313429 CMR $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 30-04-2012 - 09:50 trong Đại số

Cho 3 phương trình
$x^2 + ax + 1 = 0 \,\,\, (1)$
$x^2 + bx + 1 = 0(2) \,\,\, (2)$
$x^2 + cx + 1 = 0(3) \,\,\, (3)$
Biết rằng tích 1 nghiệm của phương trình (1) với nghiệm nào đó của (2) là nghiệm của (3).
CMR: $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Giải

Gọi $x_1; x_2$ lần lượt là nghiệm của các phương trình (1); (2) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Dễ thấy $x_1; x_2 \neq 0$
Theo giả thiết, ta có: $x_1.x_2$ là nghiệm của phương trình (3).

Do $x_1$ là nghiệm của (1), suy ra:
$x_1^2 + ax_1 + 1 = 0 \Rightarrow x_1 + \dfrac{1}{x_1} = - a \,\,\,\, (1a)$

$\Leftrightarrow x_1^2 + \dfrac{1}{x_1^2} + 2 = a^2 \,\,\,\, (2a)$

Tương tự, vì $x_2$ là nghiệm của phương trình (2) nên ta có:
$\left\{\begin{array}{l}x_2 + \dfrac{1}{x_2} = -b \,\,\, (1b)\\x_2^2 + \dfrac{1}{x_2^2} + 2 = b^2 \,\,\, (2b)\end{array}\right.$

Do $x_1.x_2$ là nghiệm của phương trình (3), suy ra:

$x_1.x_2 + \dfrac{1}{x_1.x_2} = -c$

Nhân (1a) và (1b) vế theo vế, ta có:
$(x_1 + \dfrac{1}{x_1})(x_2 + \dfrac{1}{x_2}) = ab$

$\Leftrightarrow (x_1x_2 + \dfrac{1}{x_1.x_2}) + \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = ab$

$\Rightarrow -c + \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = ab$

$\Leftrightarrow c.(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}) = abc + c^2 \,\,\, (4)$

Cộng (2a) và (2b) vế theo vế, ta có:
$a^2 + b^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} + 4\,\,\,(5)$

Cộng (4) và (5) vế theo vế, ta có:
$a^2 + b^2 + c^2 + abc = c(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}) + x_1^2 + x_2^2 + \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} + 4 $

$a^2 + b^2 + c^2 + abc = (x_1^2 + x_2^2)(\dfrac{c}{x_1x_2} + 1 + \dfrac{1}{x_1^2x_2^2}) + 4 \,\, (6)$

Ta thấy: $(x_1.x_2)^2 + c.x_1.x_2 + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 1 + \dfrac{c}{x_1x_2} + \dfrac{1}{x_1^2.x^2 } = 0$

Do đó, đẳng thức (6) tương đương:

$a^2 + b^2 + c^2 +abc = 4$

Đây là điều phải chứng minh. ^^!

#447853 tìm giá trị nhỏ nhất của $x+\frac{1}{y(x-8y)}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-09-2013 - 21:27 trong Đại số

Giải

Ta có:
$A = x + \dfrac{1}{y(x – 8y)} = x + \dfrac{8}{8y(x – 8y)}$

$\geq x + \dfrac{8}{\dfrac{(8y + x – 8y)^2}{4}} = x + \dfrac{32}{x^2}$

$= \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{32}{x^2} \geq 3\sqrt[3]{8} = 6$

Vậy, $Min_A = 6$
Dấu “=” xảy ra khi: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{32}{x^2}$ và $8y = x – 8y$. Suy ra: $x = 4, y =\dfrac{1}{4}$

#444394 Giải hệ phương trình: $ \begin{cases} x^{3}+xy...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 20-08-2013 - 21:54 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

Hệ ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix}3x^3 + 3xy - 6 = 0\\y^3 + 3xy + 3 = 0\end{matrix}\right. \Rightarrow 3x^3 - y^3 = 9 \Leftrightarrow y = \sqrt[3]{3x^3 - 9}$

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta được:

$x^3 + x\sqrt[3]{3x^3 - 9} - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{3x^6 - 9x^3} = 2 - x^3$

Đặt $a = x^3$, ta được:

$\sqrt[3]{3a^2 - 9a} = 2 - a \Leftrightarrow 3a^2 - 9a = 8 - 12a + 6a^2 - a^3$

$\Leftrightarrow a^3 - 3a^2 + 3a - 8 = 0 \Leftrightarrow (a - 1)^3 = 7$

$\Leftrightarrow a = 1 + \sqrt[3]{7} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x = \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{7}}\\y = \sqrt[3]{3\sqrt[3]{7} - 6}\end{matrix}\right.$

#443551 $\left\{\begin{matrix} x+3y+1=y^2-\fr...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 17-08-2013 - 10:49 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

ĐK: $x > -1$ và $y \geq \dfrac{2}{9}$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$x + 3y + 1 = y^2 - \dfrac{1}{y} + 3\sqrt{x + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 1}}$

$\Leftrightarrow x + 1 - 3\sqrt{x + 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x + 1}} = y^2 - 3y - \dfrac{1}{y} \, (\star)$

Xét hàm số $f(t) = t^2 - 3t - \dfrac{1}{t}$ trên $(0; \propto)$ có:

$f'(t) = 2t - 3 + \dfrac{1}{t^2} = \dfrac{2t^3 - 3t^2 + 1}{t^2} = \dfrac{(t - 1)^2(2t + 1)}{t^2} \geq 0$

Vậy hàm đồng biến trên $(0; \propto)$. Suy ra, phương trình $(\star)$ tương đương: $y = \sqrt{x + 1} \Leftrightarrow x = y^2 - 1$

Thế vào phương trình (2) của hệ, ta được:

$\sqrt{9y - 2} + \sqrt[3]{7y^2 + 2y - 5} = 2y + 3$

$\Leftrightarrow \left (y + 2 - \sqrt{9y - 2} \right ) + \left ( y + 1 - \sqrt[3]{7y^2 + 2y - 5}\right ) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{y^2 - 5y + 6}{y + 2 + \sqrt{9y - 2}} + \dfrac{y^3 - 4y^2 + y + 6}{A} = 0$

$\Leftrightarrow (y^2 - 5y + 6) \left ( \dfrac{1}{y + 2 + \sqrt{9y - 2}} + \dfrac{y + 1}{A}\right ) = 0$

Với $A = (y + 1)^2 + (y + 1)\sqrt[3]{7y^2 + 2y - 5} + \sqrt[3]{(7y^2 + 2y - 5)^2} > 0$

Do $y \geq \dfrac{2}{9}$ nên $\dfrac{1}{y + 2 + \sqrt{9y - 2}} + \dfrac{y + 1}{A} > 0$

Vậy: $y^2 - 5y + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}y = 2 \Rightarrow x = 3\\y = 3 \Rightarrow x = 8\end{matrix}\right.$

#327240 Giải pt: 1.$\sqrt{x^{5}+x^{3}+x}=(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}-...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 20-06-2012 - 11:04 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

1. Giải phương trình
$\sqrt{x^{5}+x^{3}+x}=(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}-\left | x \right |\sqrt{x^{2}-x+1}$

Giải

ĐK: $x \geq 0$
Phương trình tương đương:
$\sqrt{x(x^4 + x^2 + 1)} + |x|\sqrt{x^2 - x + 1} = (x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)} + \sqrt{x^2(x^2 - x + 1)} = (x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x(x^2 - x + 1)} [\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x}] = (x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}$

Ta sẽ chứng minh: $VT \leq VF$

Thật vậy, áp dụng lần lượt các BĐT Cauchy, Bunhiacopxki, ta có:

$\sqrt{x(x^2 - x + 1)} \leq \dfrac{x + x^2 - x + 1}{2} = \dfrac{x^2 + 1}{2}$

$(\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x}) \leq \sqrt{2(x^2 + x + 1 + x)} = \sqrt{2(x + 1)^2} \leq \sqrt{2.2(1 + x^2)} = 2\sqrt{1 + x^2}$

Nhân vế theo vế các BĐT nói trên, ta được:
$VT = \sqrt{x(x^2 - x + 1)}[\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x}] \leq (x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1} = VF$

Dấu '=' xảy ra khi:

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} = \sqrt{x^2 - x + 1}\\\sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{x}\\x = 1\end{array}\right.$

Hệ nói trên vô nghiệm.

Do đó, dấu "=" trong BĐT không thể xảy ra. ĐIều này đồng nghĩa với:
Phương trình ban đầu vô nghiệm

#464531 phương trình

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 15-11-2013 - 20:24 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

Phương trình tương đương:
$x + (x + 1) + x\sqrt{x^2 + 2} + (x + 1)\sqrt{(x + 1)^2 + 2} = 0$
$\Leftrightarrow x + x\sqrt{x^2 + 2} = - (x + 1) - (x + 1)\sqrt{(x + 1)^2 + 2} \, (\star)$

Xét $f(t) = t + t\sqrt{t^2 + 2}$ có $f’(t) = 1 + \sqrt{t^2 + 2} + \dfrac{t^2}{\sqrt{t^2 + 2}} > 0$

Vậy: f(t) đồng biến trên R. Mà $(\star) \Leftrightarrow f(x) = f(- x - 1)$

$\Leftrightarrow x = - x - 1 \Rightarrow x = \dfrac{-1}{2}$

#435255 $tan^2x+3=(1+\sqrt{2}sinx)(tanx+\sqrt{2}co...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 14-07-2013 - 17:00 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

ĐK: $cos{x} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \, (k \in Z)$

Phương trình ban đầu tương đương:

$\dfrac{\sin^2{x} + 3\cos^2{x}}{\cos^2{x}} = (1 + \sqrt{2}\sin{x}) \left ( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} + \sqrt{2}\cos{x} \right )$

$\Leftrightarrow \dfrac{1 + 2\cos^2{x}}{\cos{x}} = (1 + \sqrt{2}\sin{x})(\sin{x} + \sqrt{2}\cos^2{x})$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\cos{x}} + 2\cos{x} = \sin{x} + \sqrt{2}\cos^2{x} + \sqrt{2}\sin^2{x} + 2\sin{x}\cos^2{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\cos{x}} + 2\cos{x} = \sin{x}(1 + 2\cos^2{x}) + \sqrt{2} = \sin{x}(3 - 2\sin^2{x}) + \sqrt{2}$

Đoạn này không biết đúng không?

Xét hàm số $f(t) = t(3 - 2t^2)$ $\forall$ $t \in [-1; 1]$có $f’(t) = -6t^2 + 3$

Lập bảng biến thiên, ta suy ra: $-\sqrt{2} \leq f(t) \leq \sqrt{2}$

Vì vậy: $0 \leq VF \leq 2\sqrt{2}$.

Mặt khác: $|VT| = |\dfrac{1}{\cos{x}} + 2\cos{x}| \geq 2\sqrt{2}$

Vậy, phương trình có nghiệm khi: $VT = VF = 2\sqrt{2}$.

Khi đó: $\sin{x} = \cos{x} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \, (k \in Z)$

#443142 Giải bất phương trình: $\sqrt{\frac{8}{x-2...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 15-08-2013 - 20:54 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

ĐK: $2 < x < 8$

Bất phương trình ban đầu tương đương:

$\sqrt{\dfrac{2}{x - 2}} - 1+ \dfrac{4}{\sqrt{8 - x}} - 2 \leq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}} + \dfrac{2(2 -\sqrt{8 - x})}{\sqrt{8 - x}} \leq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{4 - x}{\sqrt{x - 2}\left (\sqrt{2} + \sqrt{x - 2} \right )} + 2\dfrac{x - 4}{\sqrt{8 - x}\left (2 + \sqrt{8 - x} \right )} \leq 0$

$\Leftrightarrow (4 - x)\left [ \dfrac{1}{\sqrt{2(x - 2)} + x - 2} - \dfrac{2}{2\sqrt{8 - x} + 8 - x}\right ] \leq 0$

$\Leftrightarrow (4 - x)\left [2\sqrt{8 - x} + 8 - x - 2\sqrt{2(x - 2)} - 2(x - 2)\right ] \leq 0$

$\Leftrightarrow (4 - x) \left [ 2\left (\sqrt{8 - x} - \sqrt{2(x - 2)}\right ) + 12 - 3x\right ]\leq 0$

$\Leftrightarrow 3(4 - x)^2 \left ( \dfrac{2}{\sqrt{8 - x} + \sqrt{2(x - 2)}} + 1\right ) \leq 0$

$\Leftrightarrow x = 4$

#452274 Giải hệ pt: a) $\left\{\begin{matrix} x^...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 22-09-2013 - 11:03 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Câu b)

Giải

Hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{matrix}(x^2 + xy)^2 = 2x + 9 \,\,\, (1)\\2(x^2 + xy) = x^2 + 6x + 6\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (x^2 + xy)^2 + 2(x^2 + xy ) = x^2 + 8x + 15 = (x + 3)^2 + 2(x + 3)$

Đặt $a = x^2 + xy$ và $b = x + 3$, ta được:

$a^2 + 2a = b^2 + 2b \Leftrightarrow (a - b)(a + b + 2) = 0 \Rightarrow \left[\begin{matrix}x^2 + xy = x + 3\\x^2 + xy = - (x + 3) - 2 = -x - 5\end{matrix}\right.$

Chỉ cần thế vào phương trình (1) nữa là được.

#445914 Tìm min $A=\frac{x^2y}{\left(x^2+y^2\right...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-08-2013 - 16:48 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giải

Đặt $t = \dfrac{x^2}{y^2}$

Từ giả thiết, ta có:

$22\dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{2}{y^2} = 8\dfrac{x^4}{y^4} + 6 + \dfrac{1}{y^4}$

$\Rightarrow 8t^2 - 22t + 6 = - \left ( \dfrac{1}{y^2} - 1\right )^2 + 1 \leq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{4} \leq t \leq \dfrac{5}{2}$

Khi đó:

$A=\dfrac{x^2y}{\left(x^2+y^2\right)\left(\sqrt{4x^2+y^2}+y\right)} = \dfrac{\dfrac{x^2}{y^2}}{\left ( \dfrac{x^2}{y^2} + 1\right ) \left ( \sqrt{4\dfrac{x^2}{y^2} + 1} + 1\right )}$

$\Rightarrow A = \dfrac{t}{(t + 1)\left ( \sqrt{4t + 1} + 1\right )}$

Xét hàm số $f(t) = \dfrac{t}{(t + 1)\left ( \sqrt{4t + 1} + 1\right )}$ trên $\left [ \dfrac{1}{4}; \dfrac{5}{2}\right ]$

Có: $f'(t) = \dfrac{-2t^2 + 2t + \sqrt{4t + 1} + 1}{(t + 1)^2\sqrt{4t + 1}\left ( \sqrt{4t + 1} + 1\right )^2}$

Khi đó: $f'(t) = 0 \Leftrightarrow -2t^2 + 2t + \sqrt{4t + 1} + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Vì vậy, ta tìm được: $Min_A = \underset{\forall t \in \left [\dfrac{1}{4}; \dfrac{5}{2} \right ]}{Min_{f(t)}} = f\left (\dfrac{1}{4} \right ) = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi $t = \dfrac{1}{4}$ và $y^2 = 1$. Khi đó: $y = 1$ và $x = \pm \dfrac{1}{2}$

#443322 $\begin{cases} x^2+y^{2}+\frac{2xy...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 16-08-2013 - 13:15 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải

ĐK: $x + y > 0$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$(x + y)^2 - 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} = 1$

$\Leftrightarrow (x + y)^2 - 1 - 2xy \left (1 - \dfrac{1}{x + y} \right ) = 0$

$\Leftrightarrow (x + y - 1)(x + y + 1) - \dfrac{2xy}{x + y}(x + y - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x + y - 1)\left ( x + y + 1 - \dfrac{2xy}{x + y}\right ) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x + y = 1 \, (1)\\x + y + 1 = \dfrac{2xy}{x + y} \, (2)\end{matrix}\right.$

Ta có: $(2) \Leftrightarrow (x + y + 1)(x + y) = 2xy \Leftrightarrow x^2 + y^2 + x + y = 0$

Do $x^2, y^2 \geq 0, x+ y > 0 \Rightarrow x^2 + y^2 + x + y > 0$ nên (2) vô nghiệm.

Vậy, ta có: $\left\{\begin{matrix}x + y = 1 \\x^2 - y = \sqrt{x + y} = 1\end{matrix}\right.$

Phần còn lại lười gõ quá. Bạn tự giải tiếp nhé.

#440789 cho (P):y=$x^2$ và (d):y=(m-1)x-m+3

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 06-08-2013 - 14:33 trong Đại số

Cho (P): $y = x^2$ và (d): $y = (m - 1) x - m + 3$

Tìm các giá trị của m sao cho (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$ thỏa mãn điều kiện $x_1y_2+x_2y_2-3 \ge 0$

Không biết đề có phải là $x_1y_2 + x_2y_1 - 3 \geq 0$ không nhỉ?

Giải

Phương trình hoành độ của (P) và (d) là: $x^2 = (m - 1)x - m + 3 \Leftrightarrow x^2 - (m - 1)x + m - 3 = 0$

Phương trình trên có biệt thức: $\Delta = (m - 1)^2 - 4(m - 3) = m^2 - 6m + 13 = (m - 3)^2 + 4 > 0 $ $\forall$ $m \in R$

Do đó, nó luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1; x_2$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = m - 1\\x_1.x_2 = m - 3\end{matrix}\right.$

Gọi giao điểm của (P) và (d) là: $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$ thì $y_1 = x_1^2$; $y_2 = x_2^2$

Vì vậy:: $x_1y_2 + y_2x_1 - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x_1x_2^2 + x_2x_1^2 - 3 \geq 0$

$\Leftrightarrow x_1x_2(x_1 + x_2) - 3 \geq 0 \Rightarrow (m - 1)(m - 3) - 3 \geq 0$

$\Leftrightarrow m^2 - 4m \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 4$ hoặc $m \leq 0$

#343013 GPT: $cos^{3}x.cos3x + sin^{3}x.sin3x = \frac...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 03-08-2012 - 10:31 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

GPT: $cos^{3}x.cosx + sin^{3}x.sinx = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Giải

Phương trình tương đương:
$\cos^4{x} + \sin^4{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow (\sin^2{x} + \cos^2{x})^2 - 2\sin^2{x}.\cos^2{x} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow 2\sin^2{x}\cos^2{x} = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \sin^2{2x} = 2 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Phương trình nói trên vô nghiệm vì:
$VT = \sin^2{2x} \leq 1 < 2 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = VF$

#442807 giải phương trình:$(2+\frac{1}{\cos x})...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 14-08-2013 - 16:32 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Phần giải tiếp

Ta có:

$2\sin{\left ( \dfrac{\pi}{6} - 2x\right )} - 6\cos{x} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2 \left ( \dfrac{1}{2}\cos{2x} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{2x}\right ) - 6\cos{x} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \cos{2x} + 1 - \sqrt{3}\sin{2x} - 6\cos{x} = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos^2{x} - 2\sqrt{3}\sin{x}\cos{x} - 6\cos{x} = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos{x}(\cos{x} - \sqrt{3}\sin{x} - 3) = 0$

Chú ý đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm.

#337890 Giải phương trình: $\frac{\sin ^{4}\frac{x}{2}+\cos...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-07-2012 - 22:44 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình:
$\frac{\sin ^{4}\frac{x}{2}+\cos ^{4}\frac{x}{2}}{1-\sin x}-\tan ^{2}\sin x=\frac{1+\sin x}{2}$
Cách thực dụng nhất:

Giải

Chú ý:
$\sin^4{\alpha} + \cos^4{\alpha} = (\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha})^2 - \dfrac{1}{2}(2\sin{\alpha}.\cos{\alpha})^2 $

$= 1 - \dfrac{1}{2}.\sin^2{2\alpha}$

ĐK: $\left\{\begin{array}{l}\cos{x} \neq 0\\\sin{x} \neq 1\end{array}\right. \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \,\, (k \in Z)$

Phương trình ban đầu tương đương:
$\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}.\sin^2{x}}{1 - \sin{x}} - \dfrac{\sin^3{x}}{\cos^2{x}} = \dfrac{1+\sin x}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2 - \sin^2{x})(1 + \sin{x})}{2(1 - \sin^2{x})} - \dfrac{2\sin^3{x}}{2(1 - \sin^2{x})} = \dfrac{(1 + \sin{x})(1 - \sin^2{x})}{2(1 - \sin^2{x})}$

$\Leftrightarrow 2\sin^3{x} - \sin{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = 1\\2\sin^2{x} + 2\sin{x} + 1 = 0 \, (VN)\end{array}\right.$

Do ĐK xác định là $\sin{x} \neq 1 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

#326971 $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2&=2\\x^2+3x-x...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-06-2012 - 11:40 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2&=2\\x^2+3x-xy^2+y^3-y^2+y&=0

\end{matrix}\right.$$

Giải

Phương trình thứ 2 của hệ tương đương: $x^2 + x + x(2 - y^2) + y^3 - y^2 + y = 0$ $\Rightarrow x^2 + x + x^3 + y^3 - y^2 + y = 0$ $\Leftrightarrow (x + y)(x^2 - xy + y^2 ) + (x - y)(x + y) + x + y = 0$ $\Leftrightarrow (x + y)(x^2 + y^2 - xy + x - y + 1) = 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x + y = 0\\x^2 + y^2 - xy + x - y + 1= 0\end{array}\right.$

- Với x + y = 0; thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta nhận được 2 cặp nghiệm: $$(x; y) = (1; -1); (-1; 1)$$

- Với $x^2 + y^2 - xy + x - y + 1 = 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(x - y)^2 + \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 + \dfrac{1}{2}(y - 1)^2 = 0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y\\x = -1\\y = 1\end{array}\right.$
Điều này không cùng xảy ra.

Do đó, với ĐK $x^2 + y^2 -xy + x - y + 1 = 0$, hệ vô nghiệm.

Kết luận: Hệ có 2 cặp nghiệm: $(x; y) = \{(1; -1); (-1; 1) \}$

#443053 $sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 15-08-2013 - 15:39 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Giải

Ta có:

$P = \sin{A} + \sin{B} + \sqrt{6}\sin{C} = 2\sin{\dfrac{A + B}{2}}\cos{\dfrac{A - B}{2}} + 2\sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{C}{2}}$

$P = 2\cos{\dfrac{C}{2}\cos{\dfrac{A - B}{2}}} + 2\sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{C}{2}}$

Do $\cos{\dfrac{C}{2}} > 0 \Rightarrow P \leq 2\cos{\dfrac{C}{2}} + 2\sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{C}{2}}$

Mặt khác, ta có:

$2\cos{\dfrac{C}{2}}\left ( 1 + \sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}}\right ) = \dfrac{2}{\sqrt{10}}.\sqrt{10}\cos{\dfrac{C}{2}}\left ( 1 + \sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}}\right )$

$\leq \dfrac{1}{\sqrt{10}} \left ( 10\cos^2{\dfrac{C}{2}} + 1 + 2\sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}} + 6\sin^2{\dfrac{C}{2}}\right )$

$= \dfrac{1}{\sqrt{10}}\left [ - \left ( 2\sin{\dfrac{C}{2}} - \dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \dfrac{50}{4} \right ]\leq \dfrac{5\sqrt{10}}{4}$

Vậy: $\sin{A} + \sin{B} + \sqrt{6}\sin{C} \leq \dfrac{5\sqrt{10}}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}A = B \\\sin{\dfrac{C}{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}\\\cos{\dfrac{C}{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}\end{matrix}\right.$

(Sử dụng được BĐT Côsi do $0 < C < 180^o$ nên $\sin{\dfrac{C}{2}}, \cos{\dfrac{C}{2}} > 0$ )

#438498 giải phương trình

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-07-2013 - 23:37 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Giải phương trình

$\sqrt[4]{\frac{(x^{2}+x)^{2}+5\sqrt[3]{x^{8}}}{144}}=\frac{x}{x+1}$

Giải

ĐKXĐ: $x \neq -1$

Điều kiện để phương trình ban đầu có nghiệm: $\frac{x}{x+1} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$ hoặc $x < -1$

Phương trình ban đầu tương đương:
$\dfrac{x^2(x + 1)^2 + 5x^2\sqrt[3]{x^2}}{144} = \left ( \dfrac{x}{x + 1} \right )^4$

$\Leftrightarrow x^2 \left ( \dfrac{(x + 1)^2 + 5\sqrt[3]{x^2}}{144} - \dfrac{x^2 }{(x + 1)^4} \right ) = 0 \,(1)$

- Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho.

- Với $x \neq 0$, (1) tương đương:
$(x +1)^6 - 5(x +1)^4\sqrt[3]{x^2} - 144x^2 = 0$

$\Leftrightarrow \left ( \dfrac{x +1}{\sqrt[3]{x}}\right )^6 + 5\left ( \dfrac{x +1}{\sqrt[3]{x}}\right )^4 - 144 = 0$

Đặt $a = \dfrac{x +1}{\sqrt[3]{x}}$, ta được: $a^6 + 5a^4 - 144 = 0 \Leftrightarrow (a^2 - 4)(a^4 + 9a^2 + 36) = 0 \Leftrightarrow a = \pm 2$
Suy ra: $x + 1 = \pm 2\sqrt[3]{x}$

- Nếu $x + 1 = 2\sqrt[3]{x} \Leftrightarrow (\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = \left (\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \right )^3= -2 \pm \sqrt{5}$

- Nếu $x + 1 = -2\sqrt[3]{x}$. Từ điều kiện $x < -1$ hoặc $x \geq 0$. Suy ra, trường hợp này không thỏa mãn.

Kết luận: Phương trình có tập nghiệm: $S = \{ 0; 1; -2 \pm \sqrt{5}\}$

#329260 $\sqrt{x-4}+\sqrt{y-1}=4$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-06-2012 - 08:34 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta có: $\sqrt{x-4}+\sqrt{y-1}=4$.
Tìm GTLN: $x+y$

Giải

Cảm giác nó thế nào í!?
ĐK: $x \geq 4; y \geq 1$
Ta có:
$\sqrt{x-4}+\sqrt{y-1}=4 \Leftrightarrow x - 4 + y - 1 + 2\sqrt{(x - 4)(y - 1)} = 16$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{(x - 4)(y - 1)}= 21 - (x + y)$

Do $2\sqrt{(x - 4)(y - 1)} \geq 0 \Rightarrow 21 - (x + y) \geq 0$

$\Leftrightarrow x + y \leq 21 \Rightarrow Max_{(x + y)} = 21$

Dấu "=" xảy ra khi:
$(x - 4)(y - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 4\\y = 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 4\\y = 17\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = 1\\x = 20\end{array}\right.\end{array}\right.$

P/S: Sonksnb là người ở đâu vậy?

#448412 Giải hệ $\left\{\begin{matrix}x^2-4x=(xy+2...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-09-2013 - 13:23 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 3

Giải

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$(2x - y)(x - 4y^2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}y = 2x\\x = 4y^2\end{matrix}\right.$

+ Với $y = 2x$, phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$16x^3 - 32x^2 + 2x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 1\\x = \dfrac{3 \pm \sqrt{19}}{4} \Rightarrow y = \dfrac{3 \pm \sqrt{19}}{2}\end{matrix}\right.$

+ Với $4y^2 = x \geq 0$, phương trình thứ hai của hệ tương đương: $16x^3 + 5 = 0$.

Do $x \geq 0 \Rightarrow VT > 0$. Phương trình vô nghiệm.

#448404 Giải hệ $\left\{\begin{matrix}x^2-4x=(xy+2...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-09-2013 - 13:02 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 1.

Giải

Hệ ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix}x^2 - 20x - 8 = y(x + 2)(4x + 2)\\x^2 + x - 2 = y(2x + 1)^2\end{matrix}\right.$

Nhận thấy: $x = 1, x = -2, x = \dfrac{-1}{2}, y = 0$ đều khiến hệ vô nghiệm.

Chia vế theo vế của hai phương trình, ta được:
$\dfrac{x^2 - 20x - 8}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2x + 4}{2x + 1} \Leftrightarrow x(5x + 4) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = \dfrac{-4}{5} \Rightarrow y = -6\end{matrix}\right.$

Bài 2

Giải

Cộng vế theo vế hai phương trình, ta được:
$3x^2 + 4xy + y^2 - 3y - 7x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow (3x + y - 1)(x + y - 2) = 0$

#444000 Giải HPT: $x^{3}-y^{3}-3x^{2}-15x+18y-36=0...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-08-2013 - 12:13 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bạn tham khảo thêm tại link sau nhé:
http://diendantoanho...endmatrixright/

#441992 $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3x}+\frac{2x}{3...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 11-08-2013 - 15:51 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

ĐK: $x \geq -3, x \neq 0, y > 0$

Phương trình (1) của hệ tương đương:

$\dfrac{y + 2x^2}{xy} = \dfrac{3(x + \sqrt{y})}{2x^2 + y} \Leftrightarrow (2x^2 + y)^2 = 3xy(x + \sqrt{y})$

$\Leftrightarrow 4x^4 + 4x^2y + y^2 = 3x^2y + 3xy\sqrt{y} \Leftrightarrow 4x^4 + x^2y - 3xy\sqrt{y} + y^2 = 0$

$\Leftrightarrow 4\dfrac{x^4}{y^2} + \dfrac{x^2}{y} - 3\dfrac{x}{\sqrt{y}} + 1 = 0$

Đặt $\dfrac{x}{\sqrt{y}} = a$. Khi đó:

$4a^4 + a^2 - 3a + 1 = 0 \Leftrightarrow (2a - 1)^2(a^2 + a + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = \dfrac{1}{2}\\a^2 + a + 1 = 0 \, (VN)\end{matrix}\right.$

Với $a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{y} = 2x \Rightarrow x \geq 0$

Khi đó, phương trình (2) của hệ trở thành: $8x = \sqrt{2x + 6} - 4x^2 \Leftrightarrow 4x^2 + 8x = \sqrt{2x + 6}$

Đặt $2x + 2 = a \, (a \geq 2) \Rightarrow a^2 - 4 = \sqrt{a + 4}$.

Lại đặt: $t = \sqrt{a + 4} > 0$. Khi đó, ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}t^2 - 4 = a\\a^2 - 4 = t\end{matrix}\right.$

Trừ vế theo vế, ta được: $t^2 - a^2 = a - t \Leftrightarrow (t - a)(t + a + 1) = 0 \Leftrightarrow a = t$

$\Rightarrow a = \sqrt{a + 4} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a \geq 0\\a^2 - a - 4 = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow a = \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}$

$\Rightarrow x = \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{4} \Rightarrow y = \dfrac{13 - 3\sqrt{17}}{2}$

Hệ có nghiệm duy nhất; $(x; y) = \left (\dfrac{-3 + \sqrt{17}}{4}; \dfrac{13 - 3\sqrt{17}}{2}\right )$

Trang 20 / 22