Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. CMR
$\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}\leq \frac{3}{4}$

Đồng bậc nên ta chuẩn hóa abc=1 ( đúng k nhỉ)
$P=\sum \frac{x}{y+z}.(b+c)+\sum (b+c)=\sum (x+y+z).\frac{b+c}{y+z}=\frac{1}{2}\sum [\sum (y+z)].\frac{b+c}{y+z}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz
$P\geq \frac{1}{2}(\sum \sqrt{x+y})^2-2\sum x=\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}-\sum x$
$(y+z,z+x,x+y) \rightarrow (2m^2,2n^2,2p^2)$
Dễ dàng chứng minh bằng Schur
$\sum \frac{x}{y+z}.(b+c)\geq \frac{3\sum xy}{\sum x}$
Ta lại có
$(xy+yz+xz)^2\geq 3(x+y+z)xyz=3(x+y+z)$
Suy ra ĐPCM

http://diendantoanho...p-dổi-biến-pqr/

Câu 1
a/ Đặt $\sqrt{x-2}=a, \sqrt{x^2+2x+4}=b$
$(1)\Leftrightarrow b^2-5a^2=4ab$
$\Leftrightarrow (a+b)(b-5a)=0$
...
b/ $x^3+xy^2=y^6+y^4\Leftrightarrow x^3-y^6=y^4-xy^2\Leftrightarrow (x-y^2)(x^2+xy^2+y^4)=y^2(y^2-x)$
$\Leftrightarrow (x-y^2)(x^2+y^2+y^4+xy^2)=0$
...
Câu 2
$\frac{xy}{3 x+4y+2z}=xy.\frac{1}{(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+y)}\leq \frac{xy}{9}.(\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+y})$
Ta có các đánh giá sau
$\frac{xy}{x+y+y}\leq \frac{xy}{9}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y})$
Xây dựng tương tự...
$xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}$
Từ các điều này ta có $P{max}=\frac{1}{3}$

Bạn có thể tham khảo cách giải ở đây
http://diendantoanho...eq-sum-fracabc/
P/s; Mod THPT đóng topic nhé

Cho các số thực không âm a,b,c.CMR
$28\sum a^6-16(\sum a)^2.(\sum a^2+\sum ab)^2+3(\sum a ^2)3\prod (a^2+b^2)-\frac{243}{4}\prod (a^2-b^2)\geq 27(\sum a^4b^2+a^2b^2c^2)$

Em có cái này các anh coi được không
$(x,y,z)\rightarrow (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{3a^2+ab}{(a+b)^2)}\geq 3\Leftrightarrow \frac{3}{4}\sum (\frac{a-b}{a+b}+1)^2+\frac{1}{4}\sum \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a+b)^2)}\geq 3$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{x-y}{x+y})^2\geq 3\prod \frac{x-y}{x+y}$
Mặt khác $\prod \frac{x-y}{x+y}\leq 1\Leftrightarrow 2(x^2y+y^2z+z^2x)\geq 0$
$\square.$

Ý tưởng xuất phát cho bài BĐT
$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3\sqrt[6]{\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}}$
$(\frac{a}{c},\frac{b}{a},\frac{c}{b}) \rightarrow (x,y,z)$
BĐT$\Leftrightarrow x+y+z\geq \sqrt[6]{\frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}}{3}}$
(xyz=1)
Cái này chắc đơn giản rồi
Nhờ điều kiện abc=1 mà ta có thể đơn giản hóa bài toán về AM-GM

Bài 2
Ta có
BĐT $\Leftrightarrow \sum \sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{(b^2+c^2)abc}}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Ta có các đánh giá sau: Theo AM-GM
$\sqrt[3]{\frac{(b^2+c^2)abc}{a^2+bc}}\leq \frac{1}{3}.[\frac{a(b^2+c^2)}{a^2+bc}+b+c]$
$\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{(b^2+c^2)abc}{a^2+bc}}\leq\frac{1}{3} .(\frac{\sum ab(a+b)}{a^2+bc})$
$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{(b^2+c^2)abc}}\geq \frac{3\sum a^2+3\sum ab}{\sum ab(a+b)}$
Ta cần chứng minh
$\frac{3\sum a^2+3\sum ab}{\sum ab(a+b)}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Khai triển và rút gọn đúng theo Schur bậc 1

1
Hướg$(x,y,z)\rightarrow(\frac{a^2}{bc},\frac{b^2}{ac},\frac{c^2}{ab})$

b

BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{a^4}{ab\sqrt{b^4+c^2a^2}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$
AM-GM $\Rightarrow Q.E.D$

Bên Mathscope là lời giải của mình mà (ndhv), bạn không hiểu chỗ nào cứ nói

Mình nghĩ giả sử là $y\geq x\geq z\Rightarrow xy\geq yz\geq xz$ và $x+y\geq y +z\geq x+z$

Giả sử $a\geq b\Rightarrow a^2\geq b^2$
Áp dụng $ Chebyshev $ với 2 dãy $ (a,b) $ và $ (a^2, b^2) $
Ta có
$\frac{1}{2}(a^3+b^3)\geq \frac{1}{2}.(a+b).\frac{1}{2}.(a^2+b^2)\geq \frac{(a+b)ab}{2}$
(Theo $AM-GM$)
Từ đây ta có $Q.E.D$
Bài kia, nhiều cách nhưng mình dùng AM-GM
Ta có
$a^4b^4+a^4c^4+a^4b^4+b^4c^4\geq 4a^3b^3c^2$
Xây dựng các BĐT tương tự cộng lại là ...

Mình làm theo hướng này, Khang coi được không
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel
$\frac{3^2}{2a^2+bc}+\frac{1}{bc}\geq \frac{16}{2(a^2+bc)}$
$\Rightarrow
\frac{9a^2}{2a^2+bc}+\frac{a^2}{bc}\geq \frac{16a^2}{2(a^2+bc)}$
Mặt khác $\sum \frac{2a^2}{2a^2+bc}\leq 2$
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \frac{8}{3}\sum a^2+4\geq 9+\sum \frac{a^2}{bc}$
$\Leftrightarrow \sum a^2\geq \sum \frac{a^2}{bc}$
Đến đây em làm SOS, nhưng chắc chứng minh tương đương được

Bài 1
Cho a,b,c là các số thực tùy ý thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=1$.CMR
$\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leq \frac{3}{4}$
Bài 2
Cho a,b,c là các số thực tùy ý thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=1$.CMR
$\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}+\frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$
Mặc dù nó " cũ " rồi nhưng chúng ta hãy sáng tạo nhiều cách giải

Bài này em làm theo S.O.S em phân tích còn đoạn tiêu chuẩn anh tự suy ra nhé
Ta có các đẳng thức sau
$\sqrt{2(a^2+b^2)}-(a+b)=\frac{(a-b)^2}{a+b+\sqrt{2(a^2+b^2)}}$
$\Rightarrow ab.\sqrt{2(a^2+b^2)}-ab(a+b)\geq \frac{ab(a-b)^2}{a+b+\sqrt{2(a^2+b^2)}}$
$VT-\sum ab(a+b)=\frac{\sum ab(a-b)^2}{a+b+c}$

Áp dụng Mincopxli
Ta có $P=\sqrt{(\frac{1}{2}-x)^2+(\sqrt{\frac{3}{4}})^2} +\sqrt{(\frac{1}{2}+x)^2+(\sqrt{\frac{3}{4}})^2}\geq \sqrt{[(\frac{1}{2}-x)+(\frac{1}{2}+x)]^2+(\sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{\frac{3}{4}})^2}$
Đến đây bạn tự tính nhé, mình hơi lười

Những bài này thường là vô nghiệm anh ah
Ta xét dấu tam thức bậc 2 của phương trình dưới theo 2 ẩn x và y
$y^2-y(1-x)+x^2=0\Rightarrow \triangle _{y}=(x-1)^2-4x^2=-3x^2-2x+1\geq 0\Rightarrow (x+1)(1-3x)\geq 0\Rightarrow -1\leq x\leq \frac{1}{3}$
Tương tự $0\leq y\leq \frac{4}{3}$
Từ 2 điều kiện này thay vào phương trình đầu thầy không thỏa mãn ,vậy phương trình vô nghiệm

Bài này dùng được SOS
Ta có các điều sau
$\sum \frac{a}{b}= \sum \frac{a^2}{ab}\geq \frac{\sum (a)^2}{\sum ab}$
$\sum a.\sum ab-9abc=\sum a(b-c)^2$
BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{\sum (a)^2}{\sum ab}-3\geq \frac{\sum a(b-c)^2}{\sum a.\sum ab}$
$\Leftrightarrow \frac{ \frac{1}{2}\sum (a-b)^2}{\sum ab}\geq \frac{\sum a(b-c)^2}{\sum a.\sum ab}$
$\Leftrightarrow \frac{\sum a}{2}.\sum (a-b)^2\geq \sum a(b-c)^2$
Đến đây xét theo tiêu chuẩn SOS là ra, ^^ (lười)

Ta có PT$\Leftrightarrow 3\sqrt{x-2}-\sqrt{x+6}=2(x-3)\Leftrightarrow \frac{8(x-3)}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}=2(x-3)$
$\Leftrightarrow x-3=0 \vee \frac{8}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}=2$

Sử dụng AM-GM :$\frac{x_{n}}{1+x_{n}}={}\frac{1}{1+x_{1}}+...+\frac{1}{1+x_{n-1}}\geq (n-1)\sqrt[n-1]{\frac{1}{\prod (1+x_{n-1})}}$
Xây dựng các BĐT tuơng tự nhân lại với nhau ta có Q.E.D

$BDT\Leftrightarrow \sum m.\sum \frac{m}{(n+p)^2}\geq \frac{9}{4}$
Ta có
$\sum m.\sum \frac{m}{(n+p)^2}\geq (\sum \frac{m}{n+p})^2\geq (\frac{3}{2})^{2}=\frac{9}{4}$
Theo $ Cauchy-Schwarz va Nesbit$

Bài 5

Do $a,b,c>0$ nên $abc+1\geq \sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)\Leftrightarrow (\sqrt[3]{abc}+1)(\sqrt[3]{abc}-1)^2\geq 0$ (Luôn đúng)
$\to \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$ Vì thế nên ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn:
$$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)}$$
Đặt $a=k.\frac{x}{y},b=k.\frac{y}{z},c=k.\frac{z}{x}$ $\to k=\sqrt[3]{abc}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}=\frac{1}{k}\frac{yz}{kxy+zx}+\frac{xz}{kyz+xy}+\frac{xy}{kzx+yz}$$
$$\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{(k+1)(x+y+z)xyz}\geq \frac{3}{k(k+1)}$$
(Do $(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)$)
Vậy ta có ĐPCM.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 4 b
Mình làm thế này mọi người xem có ngược dấu k
Ta có
$BDT\Leftrightarrow 3\sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{1}{a}\geq 4\sum \frac{1}{a}$
Theo AM-GM
$\frac{a^2}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{2a}{b}\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{1}{a}\geq \sum \frac{2a}{b}$
$\Rightarrow 3\sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{1}{a}\geq 2\sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{2a}{b}$
Theo AM-GM
$\frac{a^2}{b}+\frac{c}{a}\geq \frac{a}{b^2c}+\frac{c}{a}\geq \frac{2}{b}$ (vì $abc\geq 1$)
Xây dựng các BĐT tương tự ta có Q.E.D

Bài 4 b
Mình làm thế này mọi người xem có ngược dấu k
Ta có
$BDT\Leftrightarrow 3\sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{1}{a}\geq 4\sum \frac{1}{a}$
Theo AM-GM
$\frac{a^2}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{2a}{b}\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{1}{a}\geq \sum \frac{2a}{b}$
$\Rightarrow 3\sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{1}{a}\geq 2\sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{2a}{b}$
Theo AM-GM
$\frac{a^2}{b}+\frac{c}{a}\geq \frac{a}{b^2c}+\frac{c}{a}\geq \frac{2}{b}$ (vì $abc\geq 1$)
Xây dựng các BĐT tương tự ta có Q.E.D