nvhmath nội dung
Có 43 mục bởi nvhmath (Tìm giới hạn từ 28-04-2020)
#375683 $S=1.3^0+2.3^1+3.3^2+...$
Đã gửi bởi
on 06-12-2012 - 21:59
trong
Dãy số - Giới hạn
$\begin{cases} S=\sum_{i=0}^{2013} (i+1)\cdot 3^i \\ \Rightarrow 3S=\sum_{i=1}^{2014} i\cdot 3^i \end{cases}\Rightarrow 2S=-1-\sum_{i=1}^{2013} 3^i + 2014\cdot 3^{2014}=-1-\frac{3^{2014}-3}{2}+2014\cdot 3^{2014}$
#375565 cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. CMR $2^n-1$ không chia hết cho n
Đã gửi bởi
on 06-12-2012 - 17:07
trong
Số học
Giả sử ngược lại, tức là $n|2^n-1$. Theo định lý Euler: $n|2^{\Phi(n)}-1$. Ta có $\Phi(n)<n$, do đó $\Phi(n)|n$ <*>
Biểu diễn $n=\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$, khi đó $\Phi(n)=\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i-1}\cdot \prod_{i=1}^n (p_i-1)$, $\frac{n}{\Phi(n)}$ không là số nguyên.
Do đó $\Phi(n)\nmid n$, mâu thuẫn với <*>. Vậy ta có đpcm.
Biểu diễn $n=\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$, khi đó $\Phi(n)=\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i-1}\cdot \prod_{i=1}^n (p_i-1)$, $\frac{n}{\Phi(n)}$ không là số nguyên.
Do đó $\Phi(n)\nmid n$, mâu thuẫn với <*>. Vậy ta có đpcm.
#375523 $\frac{a}{b}+\frac{c}{d...
Đã gửi bởi
on 06-12-2012 - 12:10
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Ta có: $350 +7bc\geq 106b$ do $350+7bc\geq 350+7b(b+1)=7b^2+7b+350\geq 106b$ đúng do $7b^2-99b+350\geq 0$ với $b\in \mathbb{Z}$.
$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\geq \frac{1}{b}+\frac{c}{50}\geq \frac{106}{350}=\frac{53}{175}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c,d)=(1,7,8,50)$.
$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\geq \frac{1}{b}+\frac{c}{50}\geq \frac{106}{350}=\frac{53}{175}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c,d)=(1,7,8,50)$.
#375466 $\sum \frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}\leq...
Đã gửi bởi
on 05-12-2012 - 22:54
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{3b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{3c^2+(a+b)^2}\leq \frac{1}{2}$
$\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{3b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{3c^2+(a+b)^2}\leq \frac{1}{2}$
#375194 $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \su...
Đã gửi bởi
on 04-12-2012 - 21:39
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng với $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca>0$ thì
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{ab}{b^2+bc+c^2}+\frac{bc}{c^2+ca+a^2}+\frac{ca}{a^2+ab+b^2}$
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{ab}{b^2+bc+c^2}+\frac{bc}{c^2+ca+a^2}+\frac{ca}{a^2+ab+b^2}$
#375041 2 bài hình
Đã gửi bởi
on 04-12-2012 - 13:29
trong
Hình học
1. $(O_1), (O_2)$ bên ngoài nhau, $MN$ là tiếp tuyến chung ngoài, $PQ$ là tiếp tuyến chung trong. $M,P\in (Q_1), N,Q\in (O_2)$. Chứng minh rằng: $O_1O_2, MP, NQ$ đồng quy.
2. Cho điểm $M$ chạy trên đoạn $BC$. Tiếp tuyến $\neq BC$ của hai đường tròn nội tiếp của các tam giác $AMC, AMB$ cắt $AM$ tại $N$. Chứng minh rằng: $N$ chạy trên một đường tròn cố định.
2. Cho điểm $M$ chạy trên đoạn $BC$. Tiếp tuyến $\neq BC$ của hai đường tròn nội tiếp của các tam giác $AMC, AMB$ cắt $AM$ tại $N$. Chứng minh rằng: $N$ chạy trên một đường tròn cố định.
#375025 $\frac{n}{m}=\sum_{k=1}^{p-...
Đã gửi bởi
on 04-12-2012 - 11:54
trong
Số học
Nếu $p=2$ thì $n=3$ và $p=3$ thì $n=11$ hoặc là với $p=3$ thì $\frac{p-1}{2}=1$ và với hai trường hợp này không thể có khai triển như dòng đầu tiên, đều không thỏa mãn, nhưng với $3<p\in \mathbb{P}$ thì thỏa mãn, rõ ràng.
#374825 $\frac{n}{m}=\sum_{k=1}^{p-...
Đã gửi bởi
on 03-12-2012 - 18:41
trong
Số học
Ta có: $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k}=(1+\frac{1}{p-1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2})+...+(\frac{1}{\frac{p-1}{2}}+\frac{1}{\frac{p+1}{2}})$
$=p(\frac{1}{1\cdot (p-1)}+\frac{1}{2(p-2)}+...+\frac{1}{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{p+1}{2}})=\frac{p\cdot A}{(p-1)!}$
Do $gcd(p,(p-1)!)=1$ nên khi rút gọn tối giản $p(\frac{A}{(p-1)!})$ ta được $\frac{p\cdot B}{C}=\frac{n}{m}\Rightarrow p\cdot B=n\Rightarrow p|n$.
$=p(\frac{1}{1\cdot (p-1)}+\frac{1}{2(p-2)}+...+\frac{1}{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{p+1}{2}})=\frac{p\cdot A}{(p-1)!}$
Do $gcd(p,(p-1)!)=1$ nên khi rút gọn tối giản $p(\frac{A}{(p-1)!})$ ta được $\frac{p\cdot B}{C}=\frac{n}{m}\Rightarrow p\cdot B=n\Rightarrow p|n$.
#374567 $\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4...\sqrt...
Đã gửi bởi
on 02-12-2012 - 16:43
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$2012\sqrt{2013}<2013^2\Rightarrow \sqrt{2011\sqrt{2012\sqrt{2013}}}<\sqrt{2011\cdot 2013}<2012$
Thực hiện nhiều lần ta được vế trái $<\sqrt{2\sqrt{3\cdot 5}}<\sqrt{8}<3$.
Thực hiện nhiều lần ta được vế trái $<\sqrt{2\sqrt{3\cdot 5}}<\sqrt{8}<3$.
#374564 Topic các bài về số nguyên tố
Đã gửi bởi
on 02-12-2012 - 16:33
trong
Số học
Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa $x+3=2^y$ và $3x+1=4^z$
Từ đề bài ta có $3\cdot 2^y-8=4^z=2^{2z}\Leftrightarrow 3\cdot 2^y=2^{2z}+2^3$
$2z<3$ thì $z=0$ ta có điều mâu thuẫn, hoặc $z=1$ suy ra $y=2$ và $x=1$.
$2z>3$ thì $3\cdot 2^y=(2^{2z-3}+1)\cdot 2^3$ suy ra $y=3, z=2$ và $x=5$
Vậy $x=1, x=5$.
Từ đề bài ta có $3\cdot 2^y-8=4^z=2^{2z}\Leftrightarrow 3\cdot 2^y=2^{2z}+2^3$
$2z<3$ thì $z=0$ ta có điều mâu thuẫn, hoặc $z=1$ suy ra $y=2$ và $x=1$.
$2z>3$ thì $3\cdot 2^y=(2^{2z-3}+1)\cdot 2^3$ suy ra $y=3, z=2$ và $x=5$
Vậy $x=1, x=5$.
#374454 Tìm vị trí điểm $M$ để diện tích hình bình hành ấy lớn nhất
Đã gửi bởi
on 02-12-2012 - 08:38
trong
Hình học
Gọi diện tích hai tam giác nhỏ là $S_1$ và $S_2$, diện tích hình bình hành là $S_3$ thì $\sqrt{\frac{S_1}{S_{ABC}}}+\sqrt{\frac{S_2}{S_{ABC}}}=1$.
$\Rightarrow S_1+S_2\geq \frac{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2}{2}=\frac{S_{ABC}}{2}\Rightarrow S_3\leq \frac{S_{ABC}}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $M$ là trung điểm $AC$.
$\Rightarrow S_1+S_2\geq \frac{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2}{2}=\frac{S_{ABC}}{2}\Rightarrow S_3\leq \frac{S_{ABC}}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $M$ là trung điểm $AC$.
#374452 Tìm vị trí điểm M để $S_1+S_2+S_3$ nhỏ nhất
Đã gửi bởi
on 02-12-2012 - 08:34
trong
Hình học
Theo định lý Thales, ta chứng minh được $\sqrt{\frac{S_1}{S_{ABC}}}+\sqrt{\frac{S_2}{S_{ABC}}}+\sqrt{\frac{S_3}{S_{ABC}}}=1$
$\Rightarrow S_1+S_2+S_3\geq \frac{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2}{3}=\frac{S_{ABC}}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $MA, MB, MC$ là các đường trung tuyến hay $M$ là trọng tâm $\triangle ABC$.
$\Rightarrow S_1+S_2+S_3\geq \frac{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2}{3}=\frac{S_{ABC}}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $MA, MB, MC$ là các đường trung tuyến hay $M$ là trọng tâm $\triangle ABC$.
#374426 $\frac{3}{AD}=\frac{1}{AM...
Đã gửi bởi
on 01-12-2012 - 23:33
trong
Hình học
Cho $AB=x\cdot AC$ với $x>0$ thì $DB=x\cdot DC$. Tính $\frac{AD}{AM}=\frac{2x+1}{x+1}$ và $\frac{AD}{AN}=\frac{x+2}{x+1}$
$\Rightarrow \frac{AD}{AM}+\frac{AD}{AN}=3\Rightarrow \frac{3}{AD}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}$.
$\Rightarrow \frac{AD}{AM}+\frac{AD}{AN}=3\Rightarrow \frac{3}{AD}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}$.
#374419 ab+1,bc+1,ca+1 đều là số chính phương
Đã gửi bởi
on 01-12-2012 - 23:16
trong
Số học
$(a,b,c)=(4k^2-1,16k^2,4k^2+1)$ với $k\in \mathbb{Z^{+}}$ thoả mãn $ab+1,bc+1,ca+1$ đều là số chính phương.
#374382 Topic các bài về số nguyên tố
Đã gửi bởi
on 01-12-2012 - 22:21
trong
Số học
Bài toán:
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n$ chia hết cho tất cả các số không vượt quá $\sqrt{n}$
Đặt $x=[\sqrt{n}]$ thì $x^2\leq n< (x+1)^2$
Xét với $x<16$, ta thấy với $x=2$ được $n=4,6,8$, $x=3$ được $n=12$, $x=4$ được $n=24$, có thể còn nữa...
Xét với $x\geq 16$, ta thấy $lcm(1,2,3,...,x)>(x+1)^2$. Thật vậy, gọi $p_k$ là luý thừa cao nhất của $k$ mà $\leq x$ thì $p_k>\frac{x}{k}$
$\Rightarrow lcm(1,2,3,...,x)\geq p_2p_3p_5p_7>\frac{x^4}{210}$ và với $x\geq 16$ thì $x^4>210(x+1)^2$.
Do đó trong TH này thì $n\geq lcm(1,2,3,...,x)>(x+1)^2$ nên không tồn tại $n$ thoả mãn.
Vậy $n=4,6,8,12,24$ và có thể còn nữa...
#374183 Hãy tìm các chữ số a,b,c,d biết các số $a,\overline{ab},...
Đã gửi bởi
on 01-12-2012 - 09:51
trong
Số học
Hãy tìm các chữ số a,b,c,d biết các số $a,\overline{ab},\overline{cd},\overline{abcd}$ đều là các số chính phương.
Có một đáp số là $\overline{1681}=41^2, \overline{cd}=81=9^2, \overline{ab}=16=4^2, a=1=1^2$.
Đây cũng là số có bốn chữ số duy nhất có tính chất này.
#374181 Tìm tất cả các số $n$ thỏa $n+S\left ( n \right )=19...
Đã gửi bởi
on 01-12-2012 - 09:35
trong
Số học
Nếu $n$ có dạng $\overline{abcd}$ với $\overline{ab}\leq 18$ thì $n+S(n)\leq 1899+27<1980$
Do đó $\overline{ab}=19$, thay vào $n+S(n)=1980$ ta tìm được $\overline{cd}=62$.
Vậy $n=1962$.
Do đó $\overline{ab}=19$, thay vào $n+S(n)=1980$ ta tìm được $\overline{cd}=62$.
Vậy $n=1962$.
#332254 $a=b_{1}\cdot b_{2}\cdot... b_{n}$, $\sum_{i=1}...
Đã gửi bởi
on 05-07-2012 - 20:34
trong
Số học
Tìm số tự nhiên $a$ lớn nhất sao cho $a=b_{1}\cdot b_{2}\cdot ...\cdot b_{n}$ với $b_{i}\in \mathbb{N}$, $i=1,2,...,n$ và $b_{1}+b_{2}+...+b_{n}=1976$
#330705 Mình đi thi đấu Bi-da tranh giải và phải đấu với 10 người, tỉ lệ thắng của mì...
Đã gửi bởi
on 01-07-2012 - 08:18
trong
Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Chỉ đơn giản là đấu thắng cả 10 người nên xác suất thắng chỉ là $\frac{1}{1024}$
#329970 C/m $AM.NB=NC.MB $
Đã gửi bởi
on 28-06-2012 - 16:08
trong
Hình học
a.Ta có $\angle HBN=\angle HCD$(cùng phụ $\angle MCB$) và $\angle DHC=\angle NHB$ (cùng phụ $\angle NHC$) nên $\triangle DHC \sim \triangle NHB(g.g)$.
b. Từ a, ta có $\frac{BC}{NB}=\frac{DC}{NB}=\frac{HC}{HB}=\frac{BC}{BM}=\frac{BA}{BM}$
Do đó $\frac{NC}{NB}=\frac{AM}{BM}$, suy ra $AM\cdot NB=NC\cdot MB$.
b. Từ a, ta có $\frac{BC}{NB}=\frac{DC}{NB}=\frac{HC}{HB}=\frac{BC}{BM}=\frac{BA}{BM}$
Do đó $\frac{NC}{NB}=\frac{AM}{BM}$, suy ra $AM\cdot NB=NC\cdot MB$.
#329954 Cho x+y+xy=8. tìm GTNN $P=x^{2}+y^{2}$
Đã gửi bởi
on 28-06-2012 - 15:08
trong
Bất đẳng thức và cực trị
1, Ta có: $x^2+y^2=\frac{1}{3}(x^2+4+y^2+4)+\frac{2}{3}(x^2+y^2)-\frac{8}{3}\geq \frac{4}{3}\cdot (x+y+xy)-\frac{8}{3}=8$.
Vậy $min(P)=8$ khi và chỉ khi $x=y=2$.
2, Ta có: $abc=\frac{1}{4}(2a)(2b)c\leq \frac{1}{4}\cdot (\frac{2(a+b+c)-c}{3})^3\leq \frac{1}{4}\cdot(\frac{12-3}{3})^3=\frac{27}{4}$.
Vậy $max(P)=\frac{27}{4}$ khi và chỉ khi $a=b=\frac{3}{2}$, $c=3$
Vậy $min(P)=8$ khi và chỉ khi $x=y=2$.
2, Ta có: $abc=\frac{1}{4}(2a)(2b)c\leq \frac{1}{4}\cdot (\frac{2(a+b+c)-c}{3})^3\leq \frac{1}{4}\cdot(\frac{12-3}{3})^3=\frac{27}{4}$.
Vậy $max(P)=\frac{27}{4}$ khi và chỉ khi $a=b=\frac{3}{2}$, $c=3$
#329948 CM: $\sum \sqrt{\frac{2a}{b+a}}\leq 3$
Đã gửi bởi
on 28-06-2012 - 14:32
trong
Bất đẳng thức và cực trị
cách Bun ngắn hơn cách này mà, mình chỉ có hai cách đó thôi.
#329943 Tìm BCNN của 3 số nguyên dương liên tiếp
Đã gửi bởi
on 28-06-2012 - 14:15
trong
Số học
1, Bạn lấy tích của 2 số lẻ, có BCNN, số đó lẻ và lớn hơn số chẵn nên chỉ việc nhân tiếp thôi.
2, Ta lấy BCNN của 2 số chẵn, như trên, tiếp theo chứng minh BCNN của 2 số chẵn đó nguyên tố cùng nhau với số lẻ, ta có BCNN 3 số.
2, Ta lấy BCNN của 2 số chẵn, như trên, tiếp theo chứng minh BCNN của 2 số chẵn đó nguyên tố cùng nhau với số lẻ, ta có BCNN 3 số.
#329938 Tìm BCNN của 3 số nguyên dương liên tiếp
Đã gửi bởi
on 28-06-2012 - 13:57
trong
Số học
Sao mình thấy kết quả khác nhỉ:
Tương tự nhau mà bạn, chỉ khác có kí hiệu thôi.
#329781 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TUỴ NĂM HỌC 2012-2013
Đã gửi bởi
on 27-06-2012 - 20:39
trong
Tài liệu - Đề thi
1.2. $\Leftrightarrow y=\frac{4x}{(x+1)^2}\leq 1$, ($x\neq -1$), vậy $max(y)=1$ khi $x=1$.
5. Ta có hiệu các số thứ tự lẻ và các số thứ tự chẵn là: $(1+1+0+...+0)-(0+...+0)=2$
Khi cộng 2 số nằm kề nhau thì tổng trên không đổi và luôn =2. Vậy, không thể thu được 1 dãy gồm 50 số giống nhau.
5. Ta có hiệu các số thứ tự lẻ và các số thứ tự chẵn là: $(1+1+0+...+0)-(0+...+0)=2$
Khi cộng 2 số nằm kề nhau thì tổng trên không đổi và luôn =2. Vậy, không thể thu được 1 dãy gồm 50 số giống nhau.
