Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leqslant \frac{27}{31}$

Cho các số $a,b\in \left [ 0,1 \right ]$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a+b}\leqslant 1-\frac{a+b}{2}+\frac{ab}{3}$

2) Từ $HPT$ suy ra: 

$\left\{\begin{matrix} y^{3}-3y^{2}+5\leqslant 1 & & \\ x^{3}-3x^{2}+5\leqslant 1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (y-1) (y-2)^{2}\leqslant 0& & \\ (x-1)(x-2)^{2}\leqslant 0& & \end{matrix}\right.\rightarrow x=y=2$

1) Giải các phương trình sau 

a) $x^{2}+\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=3$

b) $x^{2}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$

2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{(x-1)(3-x)} &=y^{3} -3y^{2}+5\\ \sqrt{(y-1)(3-y)} & =x^{3}-3x^{2}+5 \end{matrix}\right.$

1a)

$PT\Leftrightarrow (x-\frac{x}{x+1})^{2}+\frac{2x^{2}}{x+1}-3=0\Leftrightarrow \frac{x^{4}}{(x+1)^{2}}+\frac{2x^{2}}{x+1}-3=0$

Đến đây đặt ẩn phụ là ra

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ac}\leq 1$

$VT=\sum \frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}\leqslant \sum \frac{ab}{a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3}+a^{2}b^{2}c}=\sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1(DPCM)$

Ai nhớ cách chứng minh không bảo mình với

Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số tự nhiên a, b, c mà : $a^{p}+b^{p}=p^{c}$

Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. D, E, F là chân các đường vuông góc từ O tới BC, CA, AB. Đường vuông góc hạ từ A tới EF và từ B tới FD cắt nhau tại P. Gọi H là chân đường vuông góc từ P tới AB. CMR: DEFH nội tiếp.

cho các số $a_{k}$ thoả mãn : $a_{1}> 1; a_{k+1}> a_{k}+1$ với k=1, 2, .., n. CMR: $a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{n}^{3}\geqslant (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}$

Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau nằm trong tập các số nguyên dương từ 1 đến 8  chia hết cho 1111 

Tìm m, n nguyên dương sao cho :$m+n-\frac{3mn}{m+n}=\frac{2011}{3}$

Cho a, b, c thỏa mãn: $\sum a^{2}\leqslant 3$. CMR: $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$