CMR A= 1^3 + 2^3 + ... + 100^3 chia hết cho B=1+2+3+...+100

Tìm các số nguyên x, y thoả mãn $x(x^2+x+1)=4y(y+1)$

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B.
PQ là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn.

Chứng minh rằng: AB cắt PQ tại trung điểm của PQ

chủ thớt cập nhật nốt đi

Câu 5:

untitled.PNG

a/ Có 2 cách: Dùng tứ giác nội tiếp hoặc xét $\Delta ABB'\sim \Delta ACC'$ để rút ra tỉ số đồng dạng

b/ Ta có: $\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}},~\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}},~\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{HBA}}{S_{ABC}}$

$=>\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1$

c. Lập tỉ số theo t/c đường phân giác và nhân chéo, ta có$\left\{\begin{matrix} AN.BI=BN.AI\\ CM.AI=AM.IC \end{matrix}\right.$

Nhân 2 đẳng thức và rút gọn cho AI là xong

d. Bó chân 

Câu c ko cần điều kiện là phân giác vẫn giải được

Bài 1 không tính đến nhá!

Bài 2 chieckhantiennu giải rồi

Bài 2b:

Ta có

$4a^2+b^2=5ab \Rightarrow 4a^2-4ab+b^2=ab \Rightarrow (2a-b)^2=ab \Rightarrow 2a-b=\sqrt{ab}$

mặt khác

$4a^2+b^2=5ab \Rightarrow 4a^2+4ab+b^2=9ab \Rightarrow (2a+b)^2=9ab \Rightarrow 2a+b=3\sqrt{ab}$

vậy $P=\frac{ab}{4a^2-b^2}=\frac{ab}{(2a-b)(2a+b)}=\frac{ab}{\sqrt{ab}.3\sqrt{ab}}=\frac{1}{3}$

Bác đừng đùa câu 1 :v lớp em chết ko biết là bao nhiêu sinh mạng vi nó đấy :v

đề dễ, toàn lượm lặt, các bạn thông cảm :v

a) có thể dùng Đồng dư để suy ra $2^{2^{2n+1}}$ chia 3 dư 1. do đó A là hợp số vì có ước là 3

Giả sử $ab=c^2$với $a,b,c\in\mathbb{N}\star,(a,b)=1$

Giả sử trong 2 số $a$ và $b$ có một số , chẳng hạn $a$ chứa thừa số nguyên tố $p$ với số mũ lẻ thì số $b$ không chứa thừa số $p$ nên $c^2$ chứa thừa số nguyên tố $p$ với số mũ lẻ (trái với giả thiết $c^2$ là số chính phương)

bạn có thể làm rõ hơn không?

Bài này có thể giải được bằng phương pháp phản chứng. Tuy nhiên mình rất muốn tham khảo thêm các cách làm khác, nhờ các bạn chỉ giúp

Bài gốc là a,b,c>0 nha

1.Cho a,b,c là 3 số thực tùy ý .Chứng minh rằng :

$\sum \frac{ab}{c^{2}}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{a+b}{c}$

Đề bài bị sai

Ta có $\frac{ab}{c^{2}}+\frac{a}{b}\geq 2\frac{a}{c}$

hình như có vấn đề. với a và c dương, b âm thì vt< vp???

Cho tam giác ABC, phân giác BE, CF cắt nhau tại O

CMR tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi $\frac{BO}{OE}\cdot \frac{CO}{OF}$=$\frac{\left ( a+b+c \right )^2}{2bc}$

Cho tam giác ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác. MD,ME,MF lần lượt vuông góc với BC,CA,AB.

Tìm vị trí của M để $EA^2+CD^2+BF^2$ đạt giá trị nhỏ nhất?

Cho mình hỏi liệu có tính được độ dài 3 cạnh tam giác khi biết 3 đường cao hay không?

1. Cho a,b,c>0 và $a+b+c=3$. Cm $\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{a+c}+\frac{3+c^2}{b+a}\geq 6$

2. Cho a,b,c>0 và $ab+bc+ca=3$. cm $\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(b+a)}\leq\frac{1}{abc}$

3. Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2 \leq 4$. Cm $\frac{ab+1}{a+b}+\frac{cb+1}{c+b}+\frac{ac+1}{a+c}\geq3$

cho $x^2+(3-x)^2 \geq 5$ . Tìm min của $P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

Một số bài không đối xứng làm việc dự đoán dấu ''='' trở nên khó khăn, mà không dự đoán được dấu ''='' thì mình tịt luôn hướng đi

 

Chẳng hạn như bài thi HSG lớp 9 Hưng Yên vừa rồi:

 

''Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+2b+3c=10$. Chứng minh $a+b+c+\dfrac{3}{4a}+\dfrac{9}{8b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{13}{2}$''

 

Làm thế nào để đoán được dấu ''='' xảy ra ở đâu vậy các bạn

khó đoán thật họ cố tình chơi xấu
 

a,b,c là các số thực dương là đủ rồi 

dây là BĐT nesbitt có ất nhiều cách cm nó

a,b,c là các só thực dương ?

a=1 b=2 c=3 thì VT< $\frac{3}{2}$ đó bạn

Chứng minh rằng:

với a,b,c không âm, m,n,k là các số tự nhiên thỏa mãn m>n>k ta có

$\frac{a^m}{b^{m\pm k}}+\frac{b^m}{c^{m\pm k}}+\frac{c^m}{a^{m\pm k}} \geq \frac{a^n}{b^{n\pm k}}+\frac{b^n}{c^{n\pm k}}+\frac{c^n}{a^{n\pm k}}$

Ta có

$\frac{a^{m}}{a^{m-k}}=\frac{a^{m}}{a^{m}.a^{-k}}=\frac{1}{a^{-k}}=a^k$

Tương tự ta có $VT=VP=a^k+b^k+c^k$

Có một chút sơ suất

chết dở :v sửa r nhé :3 lỗi trong quá trình nhập liệu :3

Chứng minh rằng:

với a,b,c không âm, m,n,k là các số tự nhiên thỏa mãn m>n>k ta có

$\frac{a^m}{b^{m-k}}+\frac{b^m}{c^{m-k}}+\frac{c^m}{a^{m-k}} \geq \frac{a^n}{b^{n-k}}+\frac{b^n}{c^{n-k}}+\frac{c^n}{a^{n-k}}$

p/s. bài này do bọn mình tự sáng tạo ra, có gì sơ suất mong mọi người góp ý

Cho a,b,c>0 và a+b+c$\leq \sqrt{3}$. CMR

S= $\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+$$\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+$$\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}$$\leq \frac{3}{2}$

ta có  $a\sqrt{b-1}$ + $b\sqrt{a-1}$ $\leq$ $ab$

          $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{b-1}}{b}+\frac{\sqrt{a-1}}{a}\leq 1$

Lại có a=(a-1)+1$\geq 2\sqrt{a-1}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{a-1}}{a}\leq \frac{1}{2}$

cmtt $\frac{\sqrt{b-1}}{b}\leq \frac{1}{2}$ suy ra dpcm

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$

a=b=2 chứ bạn ?

cách khác nha $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a.1\sqrt{b-1}+b.1\sqrt{a-1}\leq a(\frac{1+b-1}{2})+b(\frac{1+a-1}{2})\leq ab$

cách của bạn là hay nhất tks