Cho $ln(x^{2}+y^{2})=2(x-2y)$ Tìm ,Max ,Min $T=2x-y$

Ta có: $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}=\sqrt[4]{\frac{a^2}{a(b+c)}}\geq \sqrt[4]{\frac{a^2}{\frac{(a+b+c)^2}{4}}}\doteq \frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{a+b+c}} \Rightarrow P\geq \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{\sqrt{a+b+c}}\geq 2$

 

p/s: Không có dấu "=" xảy ra thì phải 

BĐT ...$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a+b+c}}\geq \sqrt{2}$...sai khi a=b=1 ,c >16...

x₁ bằng mấy vậy bạn  

X₁ = 1......

Tìm Min của biểu thức sau (không dùng đạo hàm):

Ta có $f(x)=\sqrt{(3x+1)^{2}+(2x+3)^{2}}+\sqrt{(-2-3x)^{2}+(1-2x)^{2}}\geq \sqrt{(3x+1-2-3x)^{2}+(2x+3+1-2x)^{2}}=\sqrt{17}$...

$\lim_{x\to 1}\frac{x^2+3x+2-2\sqrt{6x^2+3x}}{x^2-2x+2-\cos(x-1)}$

$=\lim_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1+5x+1-2\sqrt{6x^2+3x}}{x^2-2x+1+1-\cos(x-1)}$

$=\lim_{x\to 1}\frac{\left ( x-1 \right )^{2}-\frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{5x+1+2\sqrt{6x^2+3x}}}{\left ( x-1 \right )^{2}+1-\cos(x-1)}$

$=\lim_{x\to 1}\frac{1-\frac{1}{5x+1+2\sqrt{6x^2+3x}}}{1+\frac{1-\cos(x-1)}{\left ( x-1 \right )^{2}}}$
Xét $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-cos(x-1)}{\left ( x-1 \right )^{2}}$ có dạng $\frac{0}{0}$ , áp dụng quy tắc L'Hospital, ta có: 
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-cos(x-1)}{\left ( x-1 \right )^{2}}$
$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{sin(x-1))}{2\left ( x-1 \right )}\\ =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{cos(x-1))}{2}=0$
Vậy $\lim_{x\to 1}\frac{x^2+3x+2-2\sqrt{6x^2+3x}}{x^2-2x+2-\cos(x-1)}=\frac{13}{12}$

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{sin(x-1)}{2(x-1)}=\frac{1}{2}$...

Cho các số thực thỏa $x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2}$. Tìm GTNN,GTLN của P=$x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}$

Ta có $x\geq 1,y\geq -1\rightarrow x+y\geq 0$$x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2(y+1)}\leq \sqrt{3(x+y)}\rightarrow x+y\leq 3$..

Đặt $\sqrt{4-x-y}=a\rightarrow 1\leq a\leq 2$... thì $P=a^{4}-10a^{2}+8a+26$

C1 Dùng đạo hàm....

c2:$a^{4}+8a\geq 12a^{2}-8a\geq 10a^{2}-8\rightarrow P\geq 18$.

$(4-a^{2})(a^{2}-1)\geq 0\rightarrow a^{4}\leq 5a^{2}-4,8a\leq 4a^{2}+4\rightarrow P\leq 26-a^{2}\leq 25$...

Giải phương trình:

$\cot \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 + \cot x + \cot 2x$

Ta có $PT\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}cos3x-sin3x}{\sqrt{3}sin3x+cos3x}=\sqrt{3}+\frac{sin3x}{sinx.sin2x}\Leftrightarrow sin3x(4+\frac{\sqrt{3}sin3x+cos3x}{sinx.sin2x})=0$....đến đây thì ra rồi..........

Bài 30: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=xyz$. Chứng minh rằng $\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}}\geq 3\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )$.

Ta có BĐT $\Leftrightarrow \sum_{cyc}x^{3}z^{2}\geq 3\sum x^{2}y^{2}\Leftrightarrow \sum_{cyc}x^{3}z^{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sum x^{2}y^{2}$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}(y^{3}x+\frac{z^{3}y^{2}}{x})\geq 2\sum x^{2}y^{2}$...Dễ thấy $\sum_{cyc}\frac{z^{3}y^{2}}{x}\geq 2\sum x^{2}y^{2}-xyz(x+y+z),\sum_{cyc}y^{3}x\geq xyz(x+y+z)$.....$\rightarrow$ đpcm

Bài 29: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\frac{a^{2}+bc}{a+bc}+\frac{b^{2}+ac}{b+ac}+\frac{c^{2}+ab}{c+ab}\geq 3$

Ta có BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}-a}{a+bc}\geq 0$.....$\sum \frac{3a^{2}-3a}{a+bc}=\sum \frac{a((a-b)+(a-c))}{a+bc}=\sum \frac{(a-b)^{2}c(a+b)}{(a+bc)(b+ac)}\geq 0$..

Cho dãy số x_n  :  $x_{n+1}=\frac{(2x_{n}+1)^{2}}{2}+x_{n}$.Tìm $\lim\sum_{i=1}^{n}\frac{2x_{i}+1}{2x_{i+1}+1}$..

Với $x, y$ là số thực dương, thỏa mãn: $1 \geq x+y$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$ F = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \sqrt{1+\left( xy \right)^{2}} $

Ta có $F =\frac{4}{\sqrt{17}}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\sqrt{(1+(xy)^{2})(1+\frac{1}{16})})\geq \frac{4}{\sqrt{17}}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(1+\frac{xy}{4})=\frac{4}{\sqrt{17}}(\frac{x+y}{4}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq \frac{4}{\sqrt{17}}(\frac{15}{4(x+y)}+\frac{1}{2})\geq \sqrt{17}$......

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=abc Tìm Min A=$\frac{b-2}{a^{2}}+\frac{c-2}{b^{2}}+\frac{a-2}{c^{2}}$

bạn giải thích rõ câu b tý ạ ,mình cảm ơn 

Ta có $\widehat{OAI}+\widehat{ABC}= 90^{\circ} \rightarrow \widehat{AIG}+\widehat{OAI}=90^{\circ}$

    Giúp mình với các bạn! Cám ơn nhiều!      

Tìm m để $y=\sqrt{x-2m+3} + \frac{1}{^{\sqrt{3m-x+7}+1}}$ xác định trên 1 đoạn có độ dài bằng 1

Ta có  $2m-3\leq x\leq 3m+7$ nên m+10=1 $\rightarrow m=-9$

Câu 5(2 điểm )Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) và .Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Gọi L là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với đường tròn (O).Lấy F bất kì trên cung nhỏ LC(F không trùng với L hoặc C ).Lấy điểm K sao cho đường thẳng AC là đường trung trực của FK .

a)Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp

b)Đường thẳng HK cắt AC tại điểm I ,đường thẳng AF cắt HC tại G.Chứng minh hai đường thẳng AO và GI vuông góc với nhau.

a;Ta có $\widehat{AKC} = \widehat{AFC}=\widehat{ABC}=\widehat{LHC}$ nên AHCK nội tiếp

b,Ta có $\widehat{AFI}=\widehat{AKI}=\widehat{ACG}$ nên GICF nội tiếp $\widehat{AIG}=\widehat{AFC}=\widehat{ABC}\rightarrow$ đpcm

Cho (a + b + c)($\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$) = 1
Tính A = ($a^{23} + b^{23}$)($a^{2017} + b^{2017}$)($a^{2019} + b^{2019}$)

Từ giả thiết ta có (a+b)(b+c)(c+a)=0 nên A=0

Ta có $cos(x)\geq 0 \rightarrow \sqrt{1-sin(x)^{2}}=(1+sin(x))^{2}\rightarrow sin(x)^{3}+3sin(x)^{2} +4 sin(x) =0$

(tự giải)

Mọi người giải giúp với:

Ta có x² =y² +9 nên x²+2y²-4x+y+9=0 $\Leftrightarrow (x-2)^{2} +2(y+\frac{1}{4})^{2} +\frac{39}{8}$ =0 vô nghiệm

chứng minh bdt sau là đúng

Ta có P² $\geq 3(\frac{1}{ab(1+b)(1+c)} +\frac{1}{bc(1+b)(1+c)} +\frac{1}{ca(1+a)(1+c)})$ =$\frac{3((1+a)(1+b)(1+c)-abc-1)}{abc(1+a)(1+b)(1+c)}$ =$\frac{3}{abc}-\frac{3}{(1+a)(1+b)(1+c)}-\frac{3}{abc(1+a)(1+b)(1+c)}$

mà (1+a)(1+b)(1+c)$\geq (1+t)^{3} với t=\sqrt[3]{abc}$

nên biến đổi ta được P $\geq \frac{3}{t(1+t)}$ 

Lại có (1-t)²(1+t)$\geq 0$ nên t³+1$\geq t(t+1)$ suy ra đpcm( a=b=c=1)

Cho tứ giác $ABCD$, $O$ là giao điểm 2 đường chéo, $I$ là giao điểm của 2 đường thẳng chứa các cạnh $AD$, $BC$. Gọi $N$ là giao điểm của $IO$ và $CD$. Biết $N$ là trung điểm của $CD$. Liệu có thể chứng minh được tứ giác $ABCD$ là hình thang?

 

Ta có $\frac{\overline{AI}}{\overline{AD}}.\frac{\overline{ND}}{\overline{NC}}.\frac{\overline{BC}}{\overline{BI}}= -1$ 

Nên $\frac{AI}{AD}= \frac{BI}{BC}\rightarrow$ hình thang ABCD

Cho a;b;c $\geq$ 0 và $ab+bc+ca=3$ cmr $a+b+c+\sqrt{a} + \sqrt{b} +\sqrt{c} \geq 6$

Ta có 3(x² +2 )=8$\sqrt{x^{3}-1}$ 

Đặt $\sqrt{x-1}= a , \sqrt{x^{2}+x+1}= b$ thì 3(b²-a²) = 8ab $\Leftrightarrow$ ( b-3b)( 3b+a)=0 tự giải và thử lại 

Nhầm đề rồi phải là DK = KE

Vẽ hình bình hành DAEN ta có NE=DA =AB , AE = AC ,$\widehat{NEA}= \widehat{BAC} \rightarrow \Delta NEA =\Delta BAC \rightarrow \widehat{NAE}=\widehat{ACB}\rightarrow NA$ vuông góc BC $\rightarrow$ đpcm 

Câu 4 

Ta có : P = $\frac{8\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{8\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{(a+b)^{2}}{ab}-2$$\geq 12-2=10$

bài này dễ