b/ Chứng minh rằng nếu a và a2 + 2 là số nguyên tố thì a3 + 4 cũng là số nguyên tố. (1,5 điểm)
Do $a,a^2+2$ là số nguyên tố nên $a=3$ (xét mod $3$). Do đó $a^3+4=31$ là số NT.
Có 599 mục bởi Khoa Linh (Tìm giới hạn từ 16-05-2020)
Đã gửi bởi Khoa Linh on 27-06-2019 - 10:22 trong Tài liệu - Đề thi
b/ Chứng minh rằng nếu a và a2 + 2 là số nguyên tố thì a3 + 4 cũng là số nguyên tố. (1,5 điểm)
Do $a,a^2+2$ là số nguyên tố nên $a=3$ (xét mod $3$). Do đó $a^3+4=31$ là số NT.
Đã gửi bởi Khoa Linh on 27-06-2019 - 08:00 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn : $a+b+c=ab+bc+ca$ . Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^{2}}\leq 3$
Ta phân tích như sau
Vế trái của BĐT có bậc là -1 (do tử bậc 1, mẫu bậc 2), mà vế trái là $3$.
Để ý giả thiết là $a+b+c=ab+bc+ca$ nên ta viết lại BĐT thành
$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2} \leq 3(a+b+c)$
Thật vậy, ta có:
$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2}=\sum \left ( \frac{(a+b)^2c}{a^2+b^2}+\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \right )\leq \sum \left ( 2c+\frac{a+b}{2} \right )=3(a+b+c)$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 26-06-2019 - 19:30 trong Hình học
Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp. Một điểm $D$ di chuyển trên $(O)$ sao cho $AD$ không là đường kính của $(O)$. Điểm $E$ nằm trên $BC$ sao cho $\widehat{ADE}=90^o$. Trung trực của $DE$ lần lượt cắt $AB, AC$ tại $X, Y$. Tìm quỹ tích của trọng tâm $\triangle AXY$ khi $D$ di chuyển.
Kẻ đường kính $AD'$ của $(O)$, khi đó $D,D',E$ thẳng hàng.
Lấy $Y'$ trên $AC$ sao cho $Y'E=Y'C$, do tam giác $ABC$ cân nên $YE||AB$.
Ta có $\angle EDC=\angle D'AC=\frac{1}{2} \angle EY'C$ suy ra $Y'$ là tâm $(DEC)$ nên $Y' $ trùng $ Y$ và ta có $YE=YC$.
Tương tự $XE=XB$. Suy ra $AXEY$ là hình bình hành nên $A,G,E$ thẳng hàng, hơn nữa $AE=3AG$.
$D$ di chuyển trên $(O)$, $E$ di chuyển trên $BC$ thì $G$ sẽ di chuyển trên đường thẳng song song với $BC$. (dùng phép vị tự tỉ số $\frac{1}{3}$ hoặc làm theo cách cấp 2 cũng được).
Đã gửi bởi Khoa Linh on 25-06-2019 - 23:30 trong Hình học
Gọi $L$ là giao điểm của $CH$ và $DK$.
Ta có $\angle CBD=\angle CBA+\angle DBA=\angle LCA+\angle LDA=180^{\circ}-\angle CLD$ hay $B \in (LCD)$.
Gọi $X$ là giao điểm của $HK$ với $CD$, theo đường thẳng Simson thì ta có $BX \perp CD$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $J$ là điểm bất kì trên cung $BD$ không chứa $A$ của $(O_2)$.
Ta có:
$\angle KXD=\angle KBD=90^{\circ}-\angle KDB=90^{\circ}-\angle DJB=90^{\circ}-\angle XAB=\angle XBA=\angle MXB$.
Suy ra $\angle MXK=\angle AXB=90^{\circ}$, hay ta có $HK$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ cố định (đpcm).
P/S: Mình đã rất bực khi gõ bài này, vừa gõ tử tế xong thì diễn đàn sập tuy vậy mình vẫn gõ lại bởi vì cái tên Sugar vẫn luôn đặc biệt với mình. Mong bạn hiểu bài giải này.
Đã gửi bởi Khoa Linh on 25-06-2019 - 22:41 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho $a_{2},a_{3},..,a_{n}$ là n -1 số thực dương.Chứng minh $(1+a_{2})^2.(1+a_{3})^3...(1+a_{n})^n$ lớn hơn $n^n$ với $a_{2}.a_{3}...a_{n}=1$
Bài này là bài IMO 2012
Tham khảo tại đây: https://artofproblem...h488342p2736375
Còn đây là lời giải mình copy lại cho nhanh:
Đã gửi bởi Khoa Linh on 25-06-2019 - 22:37 trong Hình học phẳng
Đã gửi bởi Khoa Linh on 11-05-2019 - 23:46 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2019
Môn thi: TOÁN
Ngày thi thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^3$ là ước của $3^n-1$.
Câu 2. Với $k$ là số nguyên dương, cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=k$ và $u_{n+1}=\dfrac{(n+2)u_n-2k+4}{n}$, với mọi $n \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho trong dãy số $(u_n)$ có đúng $2019$ số hạng là số chính phương.
Câu 3. Cho tam giác $ABC$, giả sử có điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BPC=\angle CPA=\angle APB$. $PB$, $PC$ theo thứ tự cắt $CA$, $AB$ tại $E$, $F$. $D$ là điểm di chuyển trên cạnh $BC$. Đường thẳng $DF$ cắt đường thẳng $AC$ tại $M$. Đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $AB$ tại $N$.
1. Chứng minh rằng số đo góc $\angle MPN$ không đổi khi $D$ thay đổi.
2. Gọi giao của đường thẳng $EF$ với đường thẳng $MN$ là $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ là phân giác của góc $\angle MPN$.
Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, $b$, $c$ ta luôn có
$\dfrac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2} \cdot \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{9}{2}$
--------HẾT NGÀY 1--------
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2019
Môn thi: TOÁN
Ngày thi thứ hai
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 5. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho
$P(x^3+x^2+1)=P(x+2)P(x^2+1)$
Câu 6. Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ sao cho $AD$ là đường kính, đồng thời $EA=ED$. Dựng ra ngoài ngũ giác $ABCDE$, tam giác $BCF$ vuông cân tại $F$, và hai hình vuông $ABMN$, $CDPQ$. Giả sử $MQ$ cắt $NP$ tại $R$. Gọi $S$, $T$ lần lượt là trung điểm $MQ$ và $OS$. Chứng minh rằng $RT \perp EF$.
Câu 7. Một khu vực quốc tế có $512$ sân bay. Mỗi sân bay đều có thể bay trực tiếp tới ít nhất $5$ sân bay khác. Biết rằng ta có thể đi từ bất kì sân bay nào đến bất kì sân bay khác thông qua một hoặc nhiều chuyến bay trực tiếp. Với mỗi cặp sân bay ta xét tuyến đường ngắn nhất nối giữa chúng, tức là tuyến đường mà nó gồm số lượng ít nhất các đường bay trực tiếp nối giữa hai sân bay này. Hỏi số lượng đường bay trực tiếp lớn nhất có thể có trong một tuyến đường ngắn nhất giữa hai sân bay nào đó là bao nhiêu?
--------HẾT NGÀY 2--------
Đã gửi bởi Khoa Linh on 21-02-2019 - 16:45 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 20-02-2019 - 23:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y,z >0 chứng minh rằng: $(1+x)(1+y)(1+z)\geqslant (1+\sqrt[3]{xyz})^3$
Bạn nhân hết ra thôi
$(1+x)(1+y)(1+z)=xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1\geq xyz+3\sqrt{(xyz)^2}+3\sqrt{xyz}+1=(1+\sqrt[3]{xyz})^3$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 20-02-2019 - 23:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc
Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$
Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$.
Khi đó bài toán trở thành bài toán sau (mình đã làm nên chỉ copy lại)
Đã gửi bởi Khoa Linh on 20-02-2019 - 22:57 trong Đa thức
Cho đa thức $f(x)=x^3-3x^2+9x+1964$. Chứng minh răng tồn tại số nguyên $a$ sao cho $f(a)$ chia hết cho $3^{2014}$
Ta có $f(x)=(x-1)^3+6(x-1)+1971$
$\Rightarrow f(9x+1)=(9x)^3+6 \cdot 9x +1971=27(27x^3+2x+73)=27g(x)$.
Ta dễ dàng chứng minh được $\left \{ g(1),g(2),...,g(3^{2014}) \right \}$ là hệ đầy đủ $\mod 3^{2014}$.
Suy ra tồn tại số nguyên $a$ sao cho $g(a)$ chia hết cho $3^{2014}$.
Từ đó suy ra $f(9a+1)$ chia hết cho $3^{2014}$.
Đã gửi bởi Khoa Linh on 18-02-2019 - 13:17 trong Phương trình hàm
Tìm hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:
$i) f(1)=2$
$ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$
$f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$ (1)
Thay $x=0,y=1$ vào (1) rồi kết hợp $f(1)=2$ suy ra ta có $f(0)=1$. (2)
Thay $y=1$ vào (1) ta sẽ có $f(x+1)=f(x)+1$. (3)
Từ (3) ta sẽ dễ dàng chứng minh theo quy nạo thì ta có $f(n)=n+1, \forall n \in \mathbb{Z}$ (4)
Với $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$ thì ta có $f(1)=f(n.\dfrac{1}{n})=f(n).f \left (\dfrac{1}{n}\right )-f\left( n+\dfrac{1}{n} \right)+1$ (5)
Để ý ta có $f(n)=n$ và $f\left( n+\dfrac{1}{n} \right) =n+f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ do (3) và (4).
Vậy từ (5) ta rút ra được $f\left(\dfrac{1}{n}\right)= \dfrac{1}{n}+1, \forall n \in \mathbb{Z}, n \neq 0.$ (6)
Vậy với số hữu tỷ $q=\dfrac{a}{b},$ $a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ thì ta có
$f\left( \dfrac{a}{b} \right)=f(a).f\left( \dfrac{1}{b} \right)-f\left( a+\dfrac{1}{b} \right)+1=\dfrac{a}{b}+1$ (7)
Từ (2) và (7) ta có $f(x)=x+1, \forall x \in \mathbb{Q}.$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 18-02-2019 - 08:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
Cho $abc=1$ khi đó $\sum \dfrac{1}{ab+a+1}=1$ (bạn tự chứng minh)
Khi đó ta có $\sum \dfrac{1}{(a+1)^2+b^2+1}=\sum \dfrac{1}{a^2+b^2+2a+2} \leq \dfrac{1}{2} \sum \dfrac{1}{ab+a+1}=\dfrac{1}{2}$ (đpcm)
Đã gửi bởi Khoa Linh on 18-02-2019 - 08:40 trong Hình học
Ta có bổ đề sau: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với ba cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $DI$ cắt $EF$ tại $X$. Khi đó $AX$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$.
Chứng minh.
Qua $X$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $Y,Z$.
Đã gửi bởi Khoa Linh on 31-01-2019 - 21:58 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
link kết quả của các tỉnh
Đã gửi bởi Khoa Linh on 13-11-2018 - 09:05 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy $(x_n)$ được xác định bởi
$x_1=a \, (0<a<1)$
$x_{n+1}=2x_n-x_n^3$.
Chứng minh $(x_n)$ hội tụ
Đã gửi bởi Khoa Linh on 09-11-2018 - 21:36 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức sau
$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 03-11-2018 - 20:46 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum \frac{a(a+b+c)+bc)}{b+c}=\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}$
Đến đây sử dụng BĐT $\sum \frac{xy}{z}\geq x+y+z$ là xong.
Đã gửi bởi Khoa Linh on 22-10-2018 - 22:38 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy $(a_n):$ $a_1=1,a_2=1$ và $a_n=6a_{n-1}+5a_{n-2}$.
Chứng minh $a_{2012}-a_{2011}$ chi hết cho $2011$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 21-10-2018 - 21:45 trong Hàm số - Đạo hàm
Cho $\log_6^{15}=a$; $\log_{12}^{18}=b$. Tính $\log_{24}^{25}$ theo $a,b$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 19-10-2018 - 22:55 trong Bất đẳng thức - Cực trị
1) Viết lại bất đẳng thức dưới dạng
$\sum \frac{bc}{3a+3bc} \leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{a^2+ab+ac+3bc}\leq \frac{1}{2}$
Để ý ta có BĐT quen thuộc $\sum \frac{bc}{a^2+2bc}\leq 1\Leftrightarrow \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq 1$ (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Suy ra $\sum \frac{bc}{a^2+2bc+(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{bc}{a^2+2bc}+ \sum \frac{bc}{ab+bc+ca}\right )\leq \frac{1}{2}$
Đã gửi bởi Khoa Linh on 19-10-2018 - 20:07 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của $A=\frac{(x+y)^{3}}{xy^{2}}$
Đặt $x=ty(t>0)$. Ta có:
$A=\dfrac{(t+1)^3}{t}$.
$\left (t+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right )^3\geq \frac{27}{4}t\Rightarrow A\geq \frac{27}{4}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học