Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp trong đương tròn $(O)$, Kẻ các đường kính $AA'$, $BB'$, $CC'$ của $(O)$ và giả sử $AB'$, $AC'$ lần lượt cắt $A'C$ và $A'B$ tại $M$, $N$. Gọi $D$ là giao của $MN$ và $BC$

a) Chứng minh $AD$ là tiếp tuyến của $(O)$ 

b) Đường thẳng $MN$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$, $F$. Dựng $X$, $Y$ trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $EX$ // $AC$, $FY$ // $AV$. Chứng minh rằng $C'X$, $B'Y$ cắt nhau trên $(O)$. 

bài này hnhu trên group hướng tới hôm bữa có anh nào hỏi nhỉ 

Chứng minh đa thức $P(x)=x^5+4x^4+2x^3+5x^2-7$ bất khả quy.

P/s: Mình có thấy bài này lúc đọc về kĩ thuật rút gọn modulo $p$ nguyên tố nhưng lời giải khá khó hiểu, nếu được mong các bạn có thể làm theo kĩ thuật này.

Nếu rút gọn theo mod 2 thì $\overline{P(x)} = x^5 + x^2 + 1$vậy nếu giả sử $\overline{P(x)}$ = $a(x)$.$b(x)$ với a, b $\in$ $Z_2$ 

Xét deg a và deg b khác 1, vì nếu = 1 thì dễ thấy vô lí 

Nên $\overline{P(x)} = (x^2 + ax + b)( x^3 + cx^2 + dx + e)$tới đây đồng nhất hệ số thôi 

Mình cũng mới học cái này nên nếu giải sai bạn thông cảm nhe. 

Bổ đề khá hay muốn gửi mấy bạn thcs: 

Bài 19: Cho $\triangle ABC$, tiếp tuyến tại $A$ cắt $BC$ tại $T$, đường thẳng bất kì qua $T$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $M$, $N$, cmr: $\frac{BM}{MA}$ $\cdot$  $\frac{NA}{NC}$ = $\frac{TB}{TC}$ Từ đó dẫn tới việc, kẻ $MK$ // $AC$, $NL$ // $AB$ ($K$, $L$ thuộc $BC$) thì $(AKL)$ tiếp xúc $(ABC)$. Ở đây kí hiệu $(ABC)$ là đường tròn ngọai tiếp $\triangle ABC$. 

Vẫn chưa ai giải nhỉ  

bác cho e hỏi tại sao phải xét 3 trường hợp đó ạ?

à đầu tiên cho mình xin lỗi tại mình làm hơi tắt, thì bạn để ý điều kiện của bđt cộng mẫu là mẫu phải là số thực dương thì việc xét TH $2b + 2c \geq a$ để đảm bảo rằng $\frac{(2b + 2c - a)^2}{(2b + 2c -a)(2b + a)}$ có mẫu dương từ đó mới cộng mẫu được, còn TH kia chỉ đơn giản để quét hết những giá trị còn lại của $a$ thôi, chúc bạn học tốt. 

Mình góp 1 cách hơi khác một xíu: 

Giả sử a = max{a, b, c} 

TH1: $2b + 2c \geq a$

bđt tương đương $\sum \frac{2a + 2b - c}{2a + c} \geq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{2a + 2b -c}{2a + c} \geq  \frac{(\sum 2a + 2b - c)^2}{\sum (2a +2b - c)(2a + c)} = \frac{9(\sum a)^2}{3\sum a^2 + 6\sum ab} = 3$

TH2: $a > 2b + 2c$

chứng minh được: 

$2b + a < 2a + c$

Do đó: 

$\frac{2a + b}{2a + c} + \frac{2b + c}{2b + a} > 1 + \frac{3b}{2a + c} > 1$

mà $\frac{2c + a}{2c + b} > \frac{2c + (2b + 2c)}{2c + b} = 2$

Cộng 2 bđt ta có: $\sum \frac{2a + b}{2a + c} > 3$

Vậy bđt được chứng minh: 

dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$

Lúc đầu mình định đăng cách kia nhma có anh kia đăng r hic nên phải ngồi nghĩ cách khác

Mình thấy có bài này khá hay, gửi các bạn tham khảo: 

cho $f:R+ \rightarrow R+$ là hàm số thỏa mãn: 

$2f(x^2) \geq xf(x) + x$ với mọi $x$ > 0 chứng minh rằng $f(x^3) \geq x^2$ với mọi $x$ > 0 

chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho $n^3 -1 \vdots  n!$

Cách của mình không biết có khác cách của anh alex_hoang không ạ. 

G/s $a \geq b \geq c \geq d$ . 

Đặt a+b = x, c+d = y 

Nếu $ab\ge \frac{3}{2}$ thì $3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd\ge \frac{3x^2}{2}+3y^2=\frac{(x-2y)^2}{2}+(x+y)^2\ge 16$

còn nếu $ \frac{3}{2}\ge ab$ thì 

$3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd-16$ $=\frac{1}{2} (c-d)^2(3-2ab)+\frac{1}{4}(a-b)^2(6-y^2)+\frac{1}{4}(x-2)^2(x^2-4x+8)\ge 0$

Vậy ta có đpcm. 

kiếm 100k nếu có cách giải bài này bằng thuần Cauchy-Schwarz 

ai làm đc ko ạ

 

Mình không thấy được đề á bạn

Em cảm ơn ạ. 

Tìm tất cả hàm số $f:R+ \rightarrow R+$ thoả mãn: 

$f(x)f(y+f(x)) = f(yf(x))$ với mọi x,y thuộc R+