hxthanh nội dung
Có 376 mục bởi hxthanh (Tìm giới hạn từ 21-05-2020)
#744847 Chia $n$ kẹo cho $k$ người sao cho mỗi người nhận được ít...
Đã gửi bởi hxthanh on 04-05-2024 - 18:18 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
#744485 Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số có 2011 chữ số v...
Đã gửi bởi hxthanh on 03-04-2024 - 22:10 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Tại sao khi chọn cs cuối cùng lại còn 1 cách vậy
Giả sử tổng các chữ số trước khi chọn chữ số cuối cùng là $S$
$S\equiv r\!\pmod 9$ thì chọn chữ số cuối cùng là $9-r$ với $r=1,...,8$
Nếu $r=0$ thì sẽ có 2 cách chọn là $0,9$
#744477 Kí hiệu $x \rightarrow -\infty$ không hiện bên dưới kí hi...
Đã gửi bởi hxthanh on 02-04-2024 - 20:50 trong Soạn thảo tài liệu khoa học với $\LaTeX$
\displaystyletrước
\limHai là dùng đúng quy tắc
\lim\limits_{x\to -\infty}Bạn thử xem nhé! $\lim\limits_{x\to -\infty}$
#744470 Từ bài toán tổng các bình phương đến giả thuyết Milnor
Đã gửi bởi hxthanh on 01-04-2024 - 22:36 trong Nghiên cứu Toán học
#744465 Một số bài toán tổ hợp liên quan đến phương trình nghiệm nguyên
Đã gửi bởi hxthanh on 01-04-2024 - 10:42 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Tổ hợp và rời rạc
Nội dung bài viết cũng khá sơ sài, rất mong nhận được sự ủng hộ và đóng góp của các bạn, để mình hoàn thiện bài viết hơn cho những cập nhật sau.
Approximate_sums_of_Floor_Function.pdf 260.2K 42 Số lần tải
#744426 Combinatorial Problems in Mathematical Competitions
Đã gửi bởi hxthanh on 29-03-2024 - 12:29 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Tổ hợp và rời rạc
Tài liệu tổ hợp rời rạc tổng hợp của chị Na
Combinatorial Problems in Mathematical Competitions.djvu 1.44MB 26 Số lần tải
#744399 Đề thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế (TST) năm 2024
Đã gửi bởi hxthanh on 27-03-2024 - 16:28 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Đề thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế năm 2024
Thời gian: 270 phút
Ngày thi thứ hai: 27/03/2024
Bài 4. Cho số thực $\alpha\in (1;+\infty)$ và đa thức hệ số thực $P(x)$ có bậc $24$, đồng thời hệ số cao nhất và hệ số tự do đều là $1$. Giả sử rằng $P(x)$ có $24$ nghiệm thực dương không quá $\alpha$. Chứng minh rằng
$$\left|P(1)\right|\le \left(\dfrac{19}{5}\right)^5(\alpha-1)^{24}.$$
Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ theo thứ tự tại $D, E, F$. Tia $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $M$, tiếp tuyến tại $A$ và $M$ của $(O)$ cắt nhau ở $S$, tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau ở $T$. Giả sử $IT$ cắt $OA$ tại $J$. Chứng minh rằng:
$$\angle ASJ =\angle TSI.$$
Bài 6. Cho đa thức $P(x)$ hệ số nguyên, khác hằng. Tìm tất cả đa thức $Q(x)$ hệ số nguyên thoả mãn điều kiện: với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại đa thức $R_n(x)$ có hệ số nguyên sao cho
$$Q(x)^{2n}-1=R_n(x)(P(x)^{2n}-1).$$
Nguồn: Hướng tới Olympic Toán VN (nhóm facebook)
#744372 Tính số nghiệm nguyên của : $x_1+x_2+...+ x_9+x_{10}=n $
Đã gửi bởi hxthanh on 26-03-2024 - 13:06 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Vì khi viết ${n+9-11k\choose 9}$ thì kể cả $n+9-11k<0$ thì nó vẫn xác định (và khác 0)
#744369 Tìm giới hạn $L=\lim\limits_{x\to n^-} \lfloor x^2...
Đã gửi bởi hxthanh on 26-03-2024 - 12:37 trong Dãy số - Giới hạn
$\newcommand{fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Với $n$ là số nguyên dương cho trước. $\fl x$ là hàm phần nguyên - Floor function
Tìm giới hạn sau:
$$L=\lim\limits_{x\to n^-} \fl{x^2\fl{x^2\fl{x^2}}}$$
#744365 Tính số nghiệm nguyên của : $x_1+x_2+...+ x_9+x_{10}=n $
Đã gửi bởi hxthanh on 25-03-2024 - 23:17 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
$\newcommand{fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Xin phép dự đoán (không phải lời giải) (căn cứ theo phương pháp bù trừ)
$S_n=\sum_{k=0}^{\fl{\frac{n}{11}}}(-1)^k{10\choose k}{n+9-11k\choose 9}$
Một vài kết quả (cần kiểm chứng)
#744363 Số nghiệm nguyên không âm của pt $x_1+4(x_2+x_3)+5x_4=n$
Đã gửi bởi hxthanh on 25-03-2024 - 22:32 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Gọi $\|1,4,4,5;n\|$ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+4(x_2+x_3)+5x_4=n$
Chứng minh rằng:
\begin{equation}\label{e1}
\|1,4,4,5;n\|=\fl{\dfrac{2n^3+42n^2+265n+30(n+3)[(n+1\!\!\mod 4)-(n\!\!\mod 4)]-15n(-1)^n+960)}{960}}
\end{equation}
\begin{equation}\label{e2}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+480}{480},\quad (n\equiv 0,4\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e3}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+384}{480},\quad (n\equiv 8\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e4}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+288}{480},\quad (n\equiv 12,16\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e5}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+155n+303}{480},\quad (n\equiv 1,17\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e6}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+155n+495}{480},\quad (n\equiv 5,9\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e7}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+155n+399}{480},\quad (n\equiv 13\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e8}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+108}{480},\quad (n\equiv 2,6\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e9}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+300}{480},\quad (n\equiv 10,14\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e10}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+204}{480},\quad (n\equiv 18\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e11}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+95n-21}{480},\quad (n\equiv 3\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e12}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+95n-117}{480},\quad (n\equiv 7,11\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e13}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+95n+75}{480},\quad (n\equiv 15,19\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
Bạn có thể thử sức với một trong số các công thức trên.
#744336 Tìm hệ số của $x^{3n-4}$ trong khai triển : $(x^...
Đã gửi bởi hxthanh on 24-03-2024 - 09:38 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Một bài làm rất công phu và nói lên nhiều thứ cần học hỏi! Mình cũng đã thử sức với bài này và cũng ra được một biểu thức tổng kép cồng kềnh rất khó xử lý rút gọn. Có thể bài toán này không tồn tại một kết quả đẹp được.Sau một thời gian lên bờ xuống ruộng, xin trình bày lời giải của một học sinh có chỉ số IQ không cao, chính là em đây!
$$\begin {align}
[x^{3n-4}]&(1+x+x^2+x^4)^n=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3})^n(1+x+x^2+x^4)^n\\&=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[x^{-4}](x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[y^4](y^3+y^2+y+y^{-1})^n\\
&=[y^4](y^{-1}+y+y^2+y^3)^n\\
&=[y^4]((y^{-1}+1+y+y^2+y^3)-1)^n\\
\displaystyle &=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q}[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^q\\
&=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q} [y^4]\dfrac{(1-y^5)^q}{y^q(1-y)^q}\\
\displaystyle &=[y^4]\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q\sum_{s=0}^\infty
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{q-1+s}{q-1}y^{s+5r-q}\\
&\boldsymbol {\displaystyle =\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}}\end{align} $$
Chú thích :
$(4): \text{Đặt $y=x^{-1}$}$
$(7): \text {do $[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^0=[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^1=0$}$
$(10): \text {do $ s=q-5r+4\ge 0$ }$
Thử vài giá trị $n$ :
$n=2:\, \displaystyle \sum_{r=0}^2
(-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}=7-2\cdot 2=3$
$n=3:\,\displaystyle \sum_{q=2}^3 \sum_{r=0}^q
(-1)^{3-q+r}\binom{3}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}$
$\displaystyle =\sum_{r=0}^3(-1)^{r}\binom{3}{r}\binom{9-5r}{2}
-3\sum_{r=0}^2 (-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}$
$=(36-3\cdot 6)-3(7-2\cdot 2)=9$
#744293 Chia $6n$ viên bi vào $4$ hộp
Đã gửi bởi hxthanh on 21-03-2024 - 19:25 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Bài này mình tình cờ đọc được trong một paper nào đó không nhớ rõ lắm. Trong đó họ ký hiệu $\|1,2,3,6;n\|$ để chỉ số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+2x_2+3x_3+6x_6=n$
Theo như công thức khủng bố trong đó thì mình tóm tắt lại thành:
$$ \|1,2,3,6;n\| = \fl{\dfrac{2n^3+36n^2+191n+8n(n+2\!\!\mod 4)-8n(n\!\!\mod 4)+9n(-1)^n+432}{432}}$$
Hay với $n\equiv 0\pmod 6$ thì
$$=\fl{\dfrac{(n+6)^3}{216}}$$
Và khi thay $n$ thành $6n$ thì ta có đáp án là $\mathbf{(n+1)^3}$
#744279 Tính năng mới: Môi trường định lý
Đã gửi bởi hxthanh on 20-03-2024 - 22:14 trong Công thức Toán trên diễn đàn
$$F(x)=\dfrac{1}{(1-x)(1-x^a)(1-x^b)(1-x^c)}$$
Nội dung của nó lại liên quan và sử dụng rất nhiều đến $\fl{FloorFunction}$, vậy nên anh mới đề xuất vấn đề trên (hơi lạm dụng )
Mong em giúp đỡ! Nói gì thì nói, công việc cuộc sống vẫn là ưu tiên hàng đầu.
#744265 Tính năng mới: Môi trường định lý
Đã gửi bởi hxthanh on 20-03-2024 - 12:29 trong Công thức Toán trên diễn đàn
Nesbit xem xét add cho mình thêm lệnh
\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
vào article diễn đàn được không
Để thay vì gõ
$\left\lfloor equation \right\rfloor$
thì chỉ phải gõ
$\fl{equation}$
$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$ $\fl{\dfrac n4}$
$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
$\fl{\dfrac n4}$
#744254 $\lim_{x \to 0^+}x^2\sum_{j=1}^{...
Đã gửi bởi hxthanh on 19-03-2024 - 21:59 trong Giải tích
Do đó: $\substack{\displaystyle x^2 \\ x\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2} \\ \frac 1{n^2}\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2} \\ n\to +\infty}$
Điều này căn cứ vào cái gì đó mình không nhớ lắm
#744246 $\lim_{x \to 0^+}x^2\sum_{j=1}^{...
Đã gửi bởi hxthanh on 19-03-2024 - 13:18 trong Giải tích
$\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac 1x\right\rfloor} k=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac 12$
#744227 Chia $6n$ viên bi vào $4$ hộp
Đã gửi bởi hxthanh on 18-03-2024 - 16:45 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
#744197 Số nghiệm nguyên không âm $x_1+x_2+x_3+ax_4=n$
Đã gửi bởi hxthanh on 16-03-2024 - 22:58 trong Tổ hợp và rời rạc
#744161 Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau, không chứa số 0 và...
Đã gửi bởi hxthanh on 14-03-2024 - 23:58 trong Tổ hợp và rời rạc
#744142 Chọn ngẫu nhiên 5 số nguyên dương khác nhau không vượt quá 30. Tính xác suất...
Đã gửi bởi hxthanh on 14-03-2024 - 06:21 trong Tổ hợp và rời rạc
$L=\{1,3,…,29\}$
Chia hai trường hợp: 1 lẻ 4 chẵn, 2 lẻ 3 chẵn rồi cộng lại nhân 2 (2 trường hợp còn lại đối xứng)
#744141 Lớp 12A có 30 học sinh được đánh số thứ tự từ 1 đến 30. Cô giáo phát phiếu đă...
Đã gửi bởi hxthanh on 14-03-2024 - 06:07 trong Tổ hợp và rời rạc
Như vậy: $S_n=S_{n-1}+S_{n-2}$ với $S_1=2,S_2=3$ Thì $S_n=F_{n+2}$
Đáp án là $\frac{F_{32}}{2^{30}}$ (Dãy Fibonacci)
#744140 Có 6 học sinh với số thứ tự là 1, 2, 3, 4, 5, 6
Đã gửi bởi hxthanh on 14-03-2024 - 05:02 trong Tổ hợp và rời rạc
$S_6=\sum_{k=0}^6 (-1)^k\mathcal{C}_n^k(n-k)!=\left\lfloor\dfrac{6!+1}{e}\right\rfloor=265$
Xác suất $\frac{265}{720}\approx e^{-1}$
- Diễn đàn Toán học
- → hxthanh nội dung