sử dung đồng dư ​

 Với a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c  = 1.

Chứng minh:$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\geq \frac{1}{2}$

( đề thi vào 10 Nghệ An 2013-2014 )

dùng bunhiacopxki dạng phân thức hoặc cauchy ngược dấu

$\sum \frac{a^{2}}{a+b}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( a+b+c \right )}= \frac{1}{2}$

đặt $a= \frac{1}{x},b= \frac{1}{y},c= \frac{1}{z}$

ta có

$\sum \sqrt{a+bc}\geq 1+\sum \sqrt{ab}$

xét

$\sum \sqrt{a+bc}= \sum \sqrt{a\left ( a+b+c \right )+bc} = \sum\sqrt{a^{2}+a\left ( b+c \right )+bc}\geq \sum \sqrt{a^{2}+2a\sqrt{bc}+bc}= \sum \left ( a+bc \right )$$= 1+\sum \sqrt{ab}$ (đpcm)

dấu '=' xảy ra khi $a= b= c$

đây la bai bdt đồng bậc

ta có$\sum \frac{a^{8}}{b^{4}}\geq \sum a^{4}$

áp dụng bdt cauchy ta có

$\sum \left ( a^{4}+3b^{3} \right )\geq \sum 4ab^{3}$

rút gọn ta được ĐPCM

Câu 1
Tập làm thám tử:Người ta phát hiện một xác chết treo cổ ở nóc nhà. Ngay dưới chân anh ta cách 20 cm co một vũng nước lớn.
bạn hãy giả thuyết xem anh ta chết bằng cách nào mà để lại hiện trường như thế???

đưng trên cục băng treo cổ

 nếu 3 số có số dư khác nhau khi chia cho 3 thì  tổng 3 só chia hết cho 3 do đó tổng 3 số bằng 3 (ok ta có x=y=z=1)

nếu có 2 số cùng số dư thì ta có $x^3+y^3+z^3=3z^3$(vô lí) do trong 3 số chỉ có 2 số dư khi chia cho 3 nên $x^3+y^3+z^3$ ko chia hết cho 3

xét thiếu trường hợp rồi,bạn đang xét 3 số khác số dư mà lại có $x= y= z= 1$

bài 1 thì thử n với 0,1

rồi nhân 4 lên kẹp giữa 2 số $\left ( 2n^{2}+n+1 \right )^{2}$ và số$\left ( 2n^{2}+n \right )^{2}$

có lẹ là thế

$\left\{\begin{matrix} xy^{2}-2y+3x^{2} & =0\\ y^{2}+yx^{2}+2x & =0 \end{matrix}\right.$

Cám ơn các bạn đã giúp mình làm bài này mình xin gửi tặng tới bạn nào làm giúp mình nhanh nhất số điểm cao nhất       

hệ tương đương với :

$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-2y=-xy^{2} & \\ y^{2}+2x= -yx^{2}& \end{matrix}\right.$

hay$\frac{-3x^{2}}{y}-2= \frac{-y^{2}}{x}-2$

rút x hoặc y ra rồi thay vào giải

Cho $a,b,c> 0$ và $abc=8$

 

CMR: 

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}+ \frac{1}{\sqrt{1+b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{3}}} \geq 1$

 

P.S: Xin lỗi mod e post nhầm qua bên box THCS !

biến đổi như sau

$\sum \frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}= \sum \frac{1}{\sqrt{\left ( 1+a \right )\left ( a^{2}-a+1 \right )}}\geq \sum \frac{2}{1+a+a^{2}-a+1}= \sum \frac{2}{a^{2}+2}$

ta sẽ chứng minh $\sum \frac{1}{2+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$

quy đồng rồi rút gon ta có

$8+2\left ( \sum a^{2} \right )\geq \frac{1}{2}\prod a^{2}$

đến đây ta chỉ cần chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 12$

hiển nhiên đúng theo bđt cauchy

OK

Giải phương trình$\sqrt{4-\sqrt{1-x}}=\sqrt{2-x}$

bình phương 2 lần đưa về phương trình bậc 2 rồi bấm máy là ra

câu a:

sử dụng bđt cauchy ta có

$\sum a\sqrt{a^{2}+1}\leq \sum a^{2}+1$

$\sum a\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}= \sum a\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )}\leq \sum \frac{a\left ( 2c+c+b \right )}{2}$

$= \sum a^{2}+\sum \frac{ab+ac}{2}= \sum a^{2}+1$(đpcm)

Giải phương trình:$\sqrt{3x^{2}+6x+12}+\sqrt{x^{2}+2x}=2\sqrt{x^{2}+2x+4}$

phương trình tương đương

$\sqrt{3\left ( x^{2}+2x+4 \right )}+\sqrt{x^{2}+2x+4-4}= 2\sqrt{x^{2}+2x+4}$

đặt $x^{2}+2x+4= a$ ta có

$\sqrt{3a}+\sqrt{a-4}= 2\sqrt{a}$

hay

$\sqrt{a-4}= \sqrt{a}\left ( 2-\sqrt{3} \right )$

đến đây bình phương lên rồi giải a ra tìm được x,ok

1.Tìm GTNN của

        A=$\frac{x}{3}+\frac{3}{x-2}$ với x>2

2.Cho x,y là hai số thực T/M x+2y=3.Tìm MIN của

        E=$x^{2}+2y^{2}$

3.cho x,y là các số thực T/M x>8y>0.Tìm MIN của

        P=x+$\frac{1}{y(x-8y)}$

trả lời bài 2:

sử dụng bđt bcs$\left ( x^{2}+2y^{2} \right )\left ( 1+2 \right )\geq \left ( x+y \right )^{2}= 3$

nên min$x^{2}+2y^{2}= 3$

khi $x= 2y= 3$

bình phương 2 vế lên ,bỏ dấu giá trị tuyẹt đối

$3x^{2}-9x+1= x^{2}-9x+4$

bấm máy tính ta có $x= 3$ hoặc $x= \frac{-1}{2}$

ok

xét

$M\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}$

xét số

$\frac{1}{\sqrt{k}}= \frac{2}{2\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}= \frac{2\left ( \sqrt{k}-\sqrt{k+1} \right )}{k-\left ( k+1 \right )}= 2\left ( \sqrt{k}-\sqrt{k+1} \right )$

suy ra $M\leq 2\left ( \sqrt{100}-\sqrt{99}+...+\sqrt{1}-\sqrt{0} \right )= 20$

theo định lý Đêrichle do $M< 20$ nên sẽ có ít nhất 2 số bằng nhau.

up lên mêdia cái Toàn ơi,die hết

Andy_Liu_Chinese_Mathematics_Competitions_and_Ol Vol1.djvu
Andy_Liu_Chinese_Mathematics_Competitions_and_Ol Vol2.djvu

link die rồi

Vẫn tốt mà bạn.

tải về không đọc được anh ạ

@: Bạn click vào link màu xanh là tải về mà. Mình đã thử hai lần, vẫn bình thường.

Hôm nay mình xin giới thiệu đến các bạn các đề thi toán của các nước trên thế giới ( bằng tiếng Anh). Tài liệu được tổng hợp và cập nhất mới nhất từ Mod của diễn đàn Mathlinks.ro là Amir Hossein Parvardi.
Tải tài liệu tại đây.
Pass của tài liệu là

www.mathdl.ir

.

Amir Hossein Parvardi: Cậu này sinh năm 1994,hiện đang theo học tại một trường về kĩ thuật tại Iran.Rất nhiều tài liệu của diễn đàn Mathlinks.ro đã được cậu ấy tổng hợp lại. Facebook của cậu ấy là https://www.facebook.com/parvardi .
Cậu ấy nói chuyện rất cởi mở với mọi người

 

cái này down về bị mật khẩu chặn rồi

chém được bài nào thì chém

bài 4:

b,đưa về$\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )= 6$

à cho em hỏi dấu đồng dư ở đâu  các anh

bài 3a 101010 chia 4 dư 2

mà số chính phương chia 4 dư 1 hoặc 0

suy ra vô lý

Bài 1.Tìm nghiệm nguyên phương trình.

bài 1.gif

Bài 2 Tìm nghiệm nguyên dương.
bài 2.gif
Bài 3: cm các phương trình sau không co nghiệm nguyên
bài 3.gif
Bài 4: Đưa về phương trình tích.Tìm nghiệm nguyên
bài 4.gif
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên.
bài 5.gif

1c đưa về $\left ( 5x+2y \right )^{2}= 9$

hoặc$5x+2y= 3$hoặc$5x+2y= -3$

đến đây thì tự giải

bài 1d:$3\left ( 2x+y \right )^{2}= 4$

suy ra vô nghiệm

Bài 1.Tìm nghiệm nguyên phương trình.

bài 1.gif

Bài 2 Tìm nghiệm nguyên dương.
bài 2.gif
Bài 3: cm các phương trình sau không co nghiệm nguyên
bài 3.gif
Bài 4: Đưa về phương trình tích.Tìm nghiệm nguyên
bài 4.gif
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên.
bài 5.gif

câu 1e

$\left ( x-y \right )\left ( \frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+1 \right )= 3$

suy ra$x^{2}+y^{2}$chia hết cho$xy$

suy ra x chia hết cho y và y chia hết cho x

suy ra $x= y$

thôi chán quá 

làm nhiều phê vãi

dùng tổ hợp ,xét các trường hợp thỏ đẻ ra thỏ cái hay thỏ đực thôi

Bạn tự vẽ hình nha

gọi 1 điểm bất kì trên tia đối tia $CB$ là$M$ ta có

$\angle ACM= \angle DAC+\angle ADC> ADC$

mà$\angle ACM= \angle BAC+\angle ACB= \angle DAC+\angle DAC+\angle ACB$

suy ra$\angle ADC< 2\angle DAC+\angle ACB$

$\angle ADC< \angle BAD+\left ( \angle DAC+\angle ACB \right )= \angle BAD+\angle ADB$

đến đây ta có

$\angle ADC= \angle DBA+\angle DAB$

suy ra$\angle DAB+\angle DBA< \angle DAB+\angle BDA$

hay$\angle ADB> \angle ABD$

suy ra $AB> AD$

giải giúp mình các bài này luôn nha

1) cho tam giác ABC có B<60 độ , phân giác AD

a)chứng minh AD<AB

b) gọi AM là phân giác tam giác ADC.chứng minh BC > 4 *AD

2) cho tam giác ABC có trung tuyến AM, các phân giác góc AMB; AMC cắt AB; AC lần lượt tại D và E

  a) chứng minh DE song song BC

  b) cho BC= a; AM=m. tính DE

  c) tìm tập hợp giao điểm I của AM và DE nếu tam giác ABC có BC cố định , AM=m không đổi ( điểm A thay đổi)

  d) tam giác ABC có điều kiện gì thì DE là đường trung bình tam giác ABC

3) cho tam giác ABC (AB<AC) phân giác BD và CE

 a) đường thẳng qua D và song song BC cắt AB tại K

    chứng minh E nằm giữa B và K

b) chứng minh CD>ED>EB

câu 2a:

sử dụng tính chất đường phân giác$\frac{MA}{MB}= \frac{AD}{DB}$

$\frac{MA}{MC}= \frac{AE}{EC}$

mà $MB= MC$

suy ra$\frac{AD}{DB}= \frac{AE}{EC}$

theo định lý talet ta có đpcm

b:ta có

$\frac{AM}{MC}= \frac{m}{\frac{a}{2}}= \frac{2m}{a}= \frac{AE}{EC}$

suy ra$\frac{AE}{AC}= \frac{2m}{2m+a}= \frac{DE}{BC}= \frac{DE}{a}$

$DE= \frac{2m}{2m+a}a$

ok

c:ta có

$\Delta DME$ vuông tại $M$ suy ra $MK= \frac{DE}{2}$

do $CB$ và$AM$ không đổi(có công thức ở câu b)

suy ra k chạy trên đường tròn tâm $M$ bán kính$\frac{am}{2m+a}$

$DE$là đường trung bình $\Delta ABC$ thì tứ giác $ADME$là hình bình hành hay là hình chữ nhật

$\angle A= 90$