Đã gửi bởi
Đặt $1 + a = x$ ; $1 + b = y$ ; $1 + c = z$Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thoả $abc=1$.Chứng minh rằng:
$$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$$
Do $a, b, c$ là các số thực dương nên $x, y, z$ dương
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$x + y + z - 3 \geq \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$
$<=> x + y + z \geq \frac{x^{2}z + y^{2}x + z^{2}y + 3xyz}{xyz}$
$<=> xyz(x + y + z) \geq x^{2}z + y^{2}x + z^{2}y + 3xyz$
$<=> xyz(x + y + z) - x^{2}z - y^{2}x - z^{2}y \geq 3xyz$ (1)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1), bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng:
$xyz(x + y + z) - x^{2}z - y^{2}x - z^{2}y$
$<=> x^{2}z(y - 1) + y^{2}x(z - 1) + z^{2}y(x - 1)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$x^{2}z(y - 1) + y^{2}x(z - 1) + z^{2}y(x - 1) \geq 3xyz\sqrt[3]{(x-1)(y-1)(z-1)} = 3xyz\sqrt[3]{abc} = 3xyz$
$=> Đ.P.C.M$
