GPT:$(\sin x-2)(\sin ^{2}x-\sin x+1)=3\sqrt[3]{3\sin x-1}+1$

$\sin x=a \left | a \right |\leq 1
\Leftrightarrow (a-2)(a^{2}-a+1)=3\sqrt[3]{3a-1}+1
\Leftrightarrow (a^{3}-3a^{2}+3a-1)-1=3\sqrt[3]{3a-1}+1
\Leftrightarrow (a-1)^{3}-2=3\sqrt[3]{3a-1}$
a-1=t $-2\leq t\leq 0$
$t^{3}-2=3\sqrt[3]{3t+2}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{(3t+2)}=u$
$\Leftrightarrow t^{3}-2=3u$
$u^{3}-2=3t$

=> u=t
=> t=1
=> a=0
=>sinx=0
=>$x=k\pi$

Giải phương trình : $\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

$\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$ hay $\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}=2$ vậy bạn?

Giải phương trình : $\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

$(\sqrt{x-\sqrt{x-1}}-1) + (\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}-1)=0$
$=>\frac{((x-1)-\sqrt{x-1})}{(\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+1)}+\frac{(x-1)+\sqrt{x^{2}-1}}{(\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}+1)}= 0$
=>$\sqrt{x-1}(\frac{\sqrt{x-1}-1}{{(\sqrt{x-\sqrt{x-1}}+1)}}+\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}+1)})=0$
=>pt có nghiệm duy nhất là x=1 (biểu thức trong ngoặc > 0)

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz ta có:
$A^{2}=\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{4-x} \right )^{2}\leq\left ( 1^{2}+1^{2} \right )\left ( x-1+4-x \right )=6\Rightarrow \left | A \right |\leq\sqrt{6}$.
Từ đây là tìm được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất rồi nhé .

$3\leq A^{2}= 3+ 2\sqrt{x-1}\sqrt{4-x}\leq 6$

$2(\sqrt{1-5x}-\sqrt{x}-\sqrt{x(1-x}))= x-1$

$2(\sqrt{1-5x}-\sqrt{x}-\sqrt{x(1-x}))= x-1$

Từ phương trình thứ 2 ta có :$xy(x^{2}+y^{2})- (x^{2}+y^{2})- 2xy + 2=0 \Leftrightarrow (xy-1)(x^{2}+y^{2}-2)=0
\Leftrightarrow xy=1 \vee x^{2}+y^{2}+2=0$
Thay xy=1 vào phương trình đầu ta được $\frac{5}{y}-4y+3y^{3}=2(x+y)\Leftrightarrow ...$

Còn trường hợp $x^{2}+y^{2}=2$ ?

Một người say rượu bước 8 bước, mỗi bước anh ta tiến lên 1m hoặc lùi phía sau 1m với xác suất như nhau. tính xác suất để sau 8 bước:
a) anh ta trả lại điểm xuất phát
b) anh ta cách điểm xuất phát hơn 4m.

Gọi x là số bước tiến => 8-x là số bước lùi
a)x=4 xác suất là P= $C_{8}^{4}.0,5^{4}.0,5^{4}$ =0,2734375
b) Khoảng cách của người đó so với điểm xuất phát là $\left | x-(8-x) \right |= \left | 2x-8 \right |$
=>$\left | 2x-8 \right |$>4
=>x=0;1;7;8
=>P=P(0)+P(1)+P(7)+P(8)=$0,5^{8}.(C_{8}^{0}+C_{8}^{1}+C_{8}^{7}+C_{8}^{8})$=0,0703125

Chung minh
$C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{1}.C_{n}^{k+1}+...+C_{n}^{n-k}.C_{n}^{n}= C_{2n}^{n+k}$

Bạn xem ở đây nhé.

2 bài này khác nhau mà

$\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}$ + $\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}$ = $\frac{x+5}{2}$

Ta có $\sqrt{x+2\pm 2\sqrt{x+1}}= \sqrt{(\sqrt{x+1}\pm1})^{2}= \left | \sqrt{x+1}\pm 1 \right |$
PT <=>$\sqrt{x+1}+1+\left | \sqrt{x+1}-1 \right |= \frac{x+5}{2}$
Xét 2 trường hợp $x\geq 0$ và x<0 tìm được nghiệm là x=3 và x=-1

1/Có bao nhiêu cách chia 5 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người có ít nhất 1 đồ vật
2/Có 5 cuốn sách toán giống nhau,7 cuốn sách lí giống nhau,8 cuốn sách hóa giốn nhau. Chia 20 cuốn cho 10 người, mỗi người 2 cuốn.Hỏi có bao nhiêu cách chia
3/Có 1 cây thước độ dài l,bẻ thành 3 đoạn thẳng.Tính xác suất để 3 đoạn đó tạo thành 1 tam giác

Giải hệ phương trình ẩn thực sau:
$\left\{\begin{matrix} y+xy^2=6x^2\\1+x^2y^2=5x^2 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy x=0 không phải là nghiệm,chia 2 vế 2 pt cho $x^{2}$
<=>$\left\{\begin{matrix}
\frac{y}{x}.(\frac{1}{x}+y)=6
\\
\frac{1}{x^{2}}+y^{2}=5
\end{matrix}\right.$
Đặt $a= \frac{1}{x}+y$ và $b= \frac{y}{x}$
Hệ <=> $\left\{\begin{matrix}
ab=6\\
a^{2}-b=5
\end{matrix}\right.$
Giải hệ này => a=3 và b=2
Hệ có nghiệm là (1;2) và ($\frac{1}{2}$;1)

Bài 1
Hoặc có thể đưa về bài toán chia kẹo của Euler, như này, gọi số đồ của người $1$ là $x$.... thì $x+y+z=5 \Longrightarrow x-1 + y-1+z-1=2$

Bài toán chia kẹo Euler chỉ áp dụng cho các vật giống nhau thôi mà bạn, bài này 5 đồ vật khác nhau mà

Bài 2. Mỗi người sẽ chọn $2$ trong $20$ cuốn, $20C2$ cách

???

$7x^{2}+7x= \sqrt{\frac{4x+9}{28}}$ với x>0

Tính tông: $C_{2009}^{0}-\frac{1}{3}C_{2009}^{2}+\frac{1}{5}C_{2009}^{4}-...+\frac{1}{2009}C_{2009}^{2008}$

Khai triển S(x)=$(1+x+x^{2}+x^{3})^{670}$ thành đa thức ta được
S(x)=$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2010}x^{2010}$
a) Tính tổng các hệ số S=$a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{2010}$
b) Tìm hệ số $a_{6}$

$x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

Bình phương 2 vế
=>$(x^{3}-3x)^{2}= x+2$
Xét nghiệm của pt trong khoảng $-2\leq x\leq 2$
Đặt x= 2$\cos \alpha $ với $\alpha \epsilon \left [ 0;\pi \right ]$
=>$4\cos ^{2}3\alpha = 2\cos \alpha +2$
=>$\cos 6\alpha = \cos \alpha $
=>$\alpha = \left \{ 0;\frac{2\pi }{5};\frac{4\pi }{5};\frac{2\pi }{7};\frac{4\pi }{7};\frac{6\pi }{7} \right \}$
Vậy phương trinh có 6 nghiệm x=2$\cos \alpha $ với $\alpha = \left \{ 0;\frac{2\pi }{5};\frac{4\pi }{5};\frac{2\pi }{7};\frac{4\pi }{7};\frac{6\pi }{7} \right \}$
(vì phương trình bậc 6 có tối đa 6 nghiệm)

Giải phương trình hai ẩn : $x^{2} + 2x \sin \left ( xy \right ) + 1 = 0$

$x^{2}+1=-2x\sin (xy)$
Xét trường hợp x<0
$\left\{\begin{matrix}VT\geq -2x
\\
VP\leq -2x
\end{matrix}\right.$
=>$\left\{\begin{matrix}
x= -1\\ \sin (xy)= 1

\end{matrix}\right.$
Trường hợp $x\geq 0$ giải tương tự

Số cách xếp xen kẽ là: $|\Omega_{A}|=2.(5!)^{2}=28800$
Không gian mẫu: $|\Omega|=10!=3628800$
=> Xác suất $P_{A}=\frac{28800}{3628800}=\frac{1}{126}$
Đáp số của bạn đúng rồi

Không gian mẫu là 9!
Số cách xếp xen kẽ phải là 4!5!
=> P=$\frac{4!5!}{9!}$

Cho điểm A (A cố định) nằm trong (O;R). Trên (O;R) lấy 2 điểm M,N sao cho $\widehat{MAN}= 90^{\circ}$. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

Tổng hợp 203 bài hệ phương trình hay và khó (lấy từ các đề thi HSG thành phố,quốc gia,đại học)
(Hoặc xem tại: http://server1.butng...huong_trinh.pdf )

$Cho:a+b+c\leq 1 ,CMR: a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 10$

$(a+\frac{1}{9a})+(b+\frac{1}{9b})+(c+\frac{1}{9c})+\frac{8}{9a}+\frac{8}{9b}+\frac{8}{9b}$
$\geq 2\frac{1}{3}+2\frac{1}{3}+2\frac{1}{3}+\frac{8.(1+1+1)^{2}}{9(a+b+c)}$
$\geq 10$

$\left\{\begin{array}{l}1+x^3y^3=19x^3\\y+xy^2=-6x^2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{x^{3}}+y^{3}=19\\ \frac{y}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x}=-6

\end{matrix}\right.$
Đặt $a= \frac{1}{x}$
$\left\{\begin{matrix}
a^{3}+y^{3}=19 (1)\\ a^{2}b+ab^{2}=-6 (2)

\end{matrix}\right.$
Lấy (1)+3.(2)=> $(a+y)^{3}=1$.....