Bài 153:Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC=20 độ; AB=AC=b và BC=a.Chứng minh rằng: a$a^{3}+b^{3}=3ab^{2}$

 

 

                                                                                   

 

THÀNH CÔNG CHỈ ĐẾN VỚI NHỮNG

 

NGƯỜI BIẾT NỔ LỰC HẾT MÌNH

em tự theo dõi hình nhé

ta sẽ dựng đoạn BD sao cho BD=BC=a từ A hạ đường vuông góc xuống đường thẳng BD tại I

ta có $\widehat{ABI}=60$ $\Rightarrow \bigtriangleup BIA$ là nửa$\bigtriangleup$đều

$\Rightarrow BI=\frac{b}{2},AI=\frac{\sqrt{3}b}{2}$

$\Rightarrow DI=BI-BD=\frac{b}{2}-a$

xét $\bigtriangleup AID$ đồng dạng $\bigtriangleup AHB$

(do$\widehat{AID}=\widehat{AHB}=90,\widehat{ADI}=\widehat{ABH}=80$)

$\Rightarrow \frac{AI}{AH}=\frac{DI}{BH}$

$\Rightarrow \frac{b\sqrt{3}}{2AH}=\frac{b-2a}{a}$

$\Rightarrow \frac{b^{2}.3}{4AH^{2}}=\frac{(b-2a)^{2}}{a^{2}}$

theo Pythagore $AH^{2}=b^{2}-\frac{a^{2}}{4}$  thay vào biểu thức trên

$3a^{2}b^{2}=(b-2a)^{2}(4b^{2}-a^{2})$

chia cả hai vế cho $3a^{2}b^{2}$

$\Rightarrow 3=(\frac{b}{a}-4+\frac{4a}{b})(\frac{4b}{a}-\frac{a}{b})$

đặt $t=\frac{b}{a}$$\Rightarrow 3=(t-4+\frac{4}{t})(4t-\frac{1}{t})$

$\Rightarrow t^{2}-4t+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}}+3=0$

$\Rightarrow t^{4}-4t^{3}+t+3t^{2}-1=0$

$\Rightarrow (t-1)(t^{3}-3t^{2}+1)=0$

$t=1\Rightarrow a=b$(loại vì trái gt)

$\Rightarrow t^{3}-3t^{2}+1=0$

$\Rightarrow (\frac{b}{a})^{3}-3(\frac{b}{a})^{2}+1=0$

$\Rightarrow b^{3}-3a{b}^{2}+a^{3}=0$(đpcm) OK thì like

Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 5(x^{2}+y^{2})+6xy+3x+y=0\\ 7(x+y)^{3}+2x^{3}+6xy^{2}+2=0 \end{matrix}\right.$

lời giải bài này khá đẹp và đơn giản

 

ta có hệ tương đương

 

$\left\{\begin{matrix} 4(x+y)^2+(x-y)^2+2(x+y)+(x-y)=0\\ 8(x+y)^3+(x-y)^3=-2 \end{matrix}\right.$

 

đặt a=2(x+y), b=x-y

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2+a+b=0\\ a^3+b^3=-2 \end{matrix}\right.$

 

3PT(1)+PT(2)$\Leftrightarrow (a+1)^3+(b+1)^3=0$

 

$\Leftrightarrow a+b=-2$$\Leftrightarrow 3x+y=-2$

Hai cái gióng nhau mà bn!j 

 

ờ sr nhầm vậy lỗi chính là ở chỗ sử dụng sai dấu bằng bạn nhé

Ta có$P=\frac{3}{3xy}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}-xy}= \frac{2}{3xy}+\frac{1}{3xy}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}-xy}$

Ta lại có $xy=\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}= \frac{1}{4}$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ ta có $P\geq \frac{2}{3\ast \frac{1}{4}}+\frac{4}{\left ( x+y \right )^{2}}= \frac{20}{3}$

Vậy MinP=$\frac{20}{3}$ khi x=y=1/2

$\frac{2}{3xy}\geq \frac{2.4}{3}$chứ không phải$\frac{2}{3xy}\geq \frac{2}{3.\frac{1}{4}}$vì$\frac{1}{xy}\geq 4$

 

\begin{cases}x+y -\sqrt{xy} =3 \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}  =4 \end{cases}

1 cách nữa cho hệ này

có dễ thấy x,y đều dương , theo BĐT AM-GM

từ $PT(1)\Rightarrow x+y-3=\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 6$

theo BĐT Bunhiacovksi

từ $PT(2)\Leftrightarrow4= \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\leq \sqrt{2(x+y+2)}\Rightarrow 6\leq x+y$

dấu bằng xảy ra khi x=y=3

Bài 1:

tu giác MIOA nội tiếp do($\widehat{AMI}+\widehat{IOM}=180$

xét hai $\bigtriangleup MCI$ đồng dạng$\bigtriangleup DBI$(g-g)

$\Rightarrow \frac{MI}{DI}=\frac{IC}{IB}\Rightarrow MI.IB=IC.ID$

từ tỉ số $ \frac{MA}{MB}=3/5$$\Rightarrow$ tan$\widehat{MBA}$

dễ dàng tìm được vị trí M

$\triangle MCI$ đồng dạng $\triangle DBI$ có 2 cặp góc đối đỉnh và cặp góc nào nữa vậy bạn?

 còn nửa là $\widehat{MCI}=\widehat{IBD}$(do cùng chắn cung MD (O))

bài 2:

1/ dễ thấy

$\widehat{EDC}=\widehat{ACD}$

$\widehat{EFC}=\widehat{ACD}$

$\Rightarrow$ $\widehat{EDC}=\widehat{EFC}$

$\Rightarrow$

 

tứ giác nội tiếp

2$\widehat{ADB}=90;\widehat{EDF}=90;\widehat{ADC}+\widehat{EDF}=180\Rightarrow $ thẳng hàng

3/$\widehat{HCA}=\widehat{FEA}$( tứ gia'cHECA nội tiếp)

$\widehat{FEA}=\widehat{ACD}$(tứ giácECDF nội tiếp cmt)

 

$\widehat{ACD}=\widehat{ABC}$(cùng phụ$ \widehat{DCB}$

 

 suy ra$\widehat{HCA}=\widehat{ABC} \Rightarrow $ dpcm

tứ giác HECA nội tiếp như thế nào vậy bạn?

$\widehat{EHA}=90$ và $\widehat{EAC}=90$

Bài 2:

a) Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}}}{2}}+2x^{2}=1$

 

lượng giác hoá

 

đặt x=sin t

 

$PT\Leftrightarrow \sqrt{\left (\frac{sin t+ cost}{\sqrt{2}} \right )^2}=cos2t$

 

$PT\Leftrightarrow\begin{vmatrix} cos(t-\frac{\pi}{4}) \end{vmatrix}=cos2t$

 

Phương trình lượng giác cơ bản

 

Các anh chị em xem giúp hệ phương trình này với

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}+\sqrt{x+2y+2}=7\\ \sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}=7 \end{matrix}\right.$

tôi mới nghĩ được 1 cách giải là đặt $ u = \sqrt {2x + 1} ,\,v = \sqrt {3y + 1} $ rồi đưa về phương trình bậc 4.

Ai có cách khác xin chỉ giáo

 

bình phương 2 vế

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y+2+2\sqrt{(x+y)(x+2y+2)}=49\\ 2x+3y+2+2\sqrt{(2x+1)(3y+1)}=49 \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow (x+y)(x+2y+2)=(2x+1)(3y+1)$

 

$\Leftrightarrow x^2-3xy+2y^2-y-1=0$

 

$\Leftrightarrow (x-2y-1)(x-y-1)=0$ thay vào hệ giải tiếp

 

cách khác từ đề bài suy ra

 

$\Rightarrow \sqrt{x+y}+\sqrt{x+2y+2}=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}$

 

$\Rightarrow \sqrt{x+y}-\sqrt{3y+1}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2y+2}$

 

Nhân liên hợp

 

$\Rightarrow (x-2y-1)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2y+2})=(x-2y-1)(\sqrt{x+y}+\sqrt{3y+1})$

 

TH1:x-2y-1=0 thế vào hệ ban đầu

 

TH2: ta có hệ sau

 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2y+2}=\sqrt{x+y}+\sqrt{3y+1}\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{x+2y+2}=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1} \end{matrix}\right.$

 

cộng 2 vế ta có $\sqrt{x+2y+2}=\sqrt{3y+1}$ bình phương rồi thế vào hệ ban đầu

Giải các phương trình sau 

1/$\left\{\begin{matrix} x^{2}+2y^{2}-3x+2xy=0\\xy(x+y)+(x-1)^{2}=3y(1-y) \\ \end{matrix}\right.$

 

 

2/$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{2}=-49\\x^{2}-8xy+y^{2}=8y-17x \\ \end{matrix}\right.$

 

 

3/$\left\{\begin{matrix} 6x^{2}y+2y^{3}+35=0\\5x^{2}+5y^{2}+2xy+5x+13y=0 \\ \end{matrix}\right.$

bài 1

 Pt(1).y-Pt(2)$\Leftrightarrow 2y^3+xy^2-3xy-x^2-3y^2+2x+3y-1=0$

 

$\Leftrightarrow (2y+x-1)(y^2-y-x+1)=0$

 

$\left\{\begin{matrix} 2y^2+x^2-3x+2xy=0(3) \\ y^2-y-x+1=0(4) \end{matrix}\right.$

pt(3)-2pt(4)$\Leftrightarrow x^2+2xy-x+2y-2=0$

 

$\Leftrightarrow (x+1)(2y+x-2)=0$

 

bài 2

PT(1)+3PT(2)$\Leftrightarrow x^3+3xy^2+49+3x^2-24xy-24y+3y^2+51x=0$

 

$\Leftrightarrow(x^3+3x^3+3x+1)+48(x+1)-24y(x+1)+3y^2(x+1)=0$

 

$\Leftrightarrow(x+1)\left [(x+1)^2+48-24y+3y^2 \right ]=0$

 

$\Leftrightarrow(x+1)\left [(x+1)^2+3(y-4)^2 \right ]=0$

 

bài 3

PT(1)+3PT(2)$\Leftrightarrow 2y^3+6x^2y+35+15x^2+15y^2+6xy+15x+39y=0$

 

$\Leftrightarrow 2(y^3+3.\frac{5}{2}y^2+3.\frac{25}{4}y+\frac{125}{8})+(6x^2y+15x^2)+(6xy+15x)+\frac{3}{2}(y+\frac{5}{2})=0$

 

$\Leftrightarrow 2(y+\frac{5}{2})^3+6x^2(y+\frac{5}{2}+6x(y+\frac{5}{2})+\frac{3}{2}(y+\frac{5}{2})=0$

 

$\Leftrightarrow (y+\frac{5}{2})\left [2(y+\frac{5}{2})^2+6x^2+6x+\frac{3}{2} \right ]=0$

Làm sao biết mà nhân vô vậy bạn?

phương pháp là hệ số bất định

ngay đây chứ đâu http://diendantoanho...trình/?p=411379   

Cho $a,b,c$ là các số thực dương $a+b+c=3$

Tìm Max $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2)$

 

Vào lúc 28 Tháng 12 2013 - 23:09, leduylinh1998 đã nói:



Giải các hệ phương trình sau
$1)\left\{\begin{matrix} xy-x+y=3 & \\ 4x^{3}+12x^{2}+9x=-y^{3}+6y+5& \end{matrix}\right.$
$2)\left\{\begin{matrix} x^{3}+4x=y^{3}+16y & \\ 1+y^{2}=5(1+x^{2})& \end{matrix}\right.$
$3)\left\{\begin{matrix} 2x\left ( 1+\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \right )=3 & \\ 2y\left ( 1-\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \right )=1 & \end{matrix}\right.$

bài 1 
 
$PT(2)-3(y+1)PT(1)=4x^3+y^3-3xy^2-3y^2+12x^2+12x+4=0$
 
$\Leftrightarrow (2x-y+2)(2x^2+4x+2-y^2+y+xy)=0$
 
$\Leftrightarrow (2x-y+2)[2(x+1)^2-y^2+y(x+1)]=0$
 
$\Leftrightarrow (2x-y+2)[2(x+1)^2-2y^2+y(x+y+1)]=0$
 
$\Leftrightarrow (2x-y+2)^2(x+y+1)=0$ thay vào pt(1)
 
bài 3
$\left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{3}{2x}\\ 1-\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2y} \end{matrix}\right.$
cộng trừ 2 vế của hệ
 
$\left\{\begin{matrix} \frac{3}{2x}+\frac{1}{2y}=2\\ \frac{3}{2x}-\frac{1}{2y}=\frac{2}{x^2+y^2}\\ \end{matrix}\right.$

 

nhân 2 vế của hệ
 
$\Leftrightarrow \frac{9}{4x^2}-\frac{1}{4y^2}=\frac{4}{x^{2}+y^{2}}$
 
$\Leftrightarrow (9y^2-x^2)(x^2+y^2)=16x^2y^2$
 
$\Leftrightarrow (9y^2+x^2)(-x^2+y^2)=0$
 
$\Leftrightarrow x=\pm y$ thay vào hệ ban đầu

Giải hệ phương trình

 

$\left\{\begin{array}{l}x^4+y^2 = \frac{697}{81}\\x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0 \end{array}\right.$

từ PT(2) 

xem x là ẩn ,$PT(2)\Leftrightarrow x^2+x(y-3)+(y-2)^2=0$

xét $\Delta =(y-3)^2-4(y-2)^2$$=(1-y)(3y-7)$

để PT có nghiệm thì$\Delta \geq 0\Leftrightarrow \frac{7}{3}\geq y\geq 1$(1)

làm tương tự với y là ẩn$\Rightarrow \frac{4}{3}\geq x\geq 0$(2)

từ (1) và (2) suy ra $x^4+y^2\leq \frac{697}{81}$

vậy $x=\frac{4}{3}$,$y=\frac{7}{3}$

cho a,b,c >0.Chứng minh :

 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{32(a^{2}+b^{2})}{\left ( a+b \right )^{4}}$

theo bất đẳng thức AM-GM

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq 2\sqrt{(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^2})(\frac{4}{a^{2}+b^{2}})}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{4}{ab}$

$\frac{4}{ab}\geq \frac{32(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{4}}$

$(a+b)^{4}\geq 8ab(a^{2}+b^{2})$ đặt$S= a+b,P=ab$

$\Leftrightarrow S^{4}\geq 8P(S^{2}-2P)$$\Leftrightarrow (S^{2}-4P)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow dpcm$

Cho các số thực dương a,b,c thoả a+b+c=1

CM $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{10}}$

 

Bạn ơi, bạn thử kết quả xem, thay vào pt 2 không ra đúng nghiệm đâu

xin lỗi nha quên nói thêm

nếu mà dấu kq $x=\frac{4}{3},y=\frac{7}{3}$ thay  vào (2) không thoả thì Hê trên vô nghiệm nha

Bạn giải thick hộ chỗ ấy giúp mình với !

$4\sqrt{(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}})(\frac{1}{a^{2}+b^{2}})}=\frac{4}{ab}$ 

Câu 5: (1 điểm)

Cho x,y  là 2 sô thực dương. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$\frac{x+y}{\sqrt{x(2x+y)}+\sqrt{y(2y+x)}}$

xí bài này

theo bất đẳng thức bunhiakovski

$P\geq \frac{x+y}{\sqrt{(x+y)(3x+3y)}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Viết phương trình đường thẳng d sao cho (d) qua A(5,1) và cắt Ox, Oy lần lượt tại M,N sao cho độ dài MN min

Giải hệ $$\begin{cases}
x^2y^2-2x+y^2=0\\
2x^2-4x+3+y^3=0
\end{cases}$$

pt(1)$\Leftrightarrow y^2=\frac{2x}{x^2+1}\leq 1$

 

$\Rightarrow -1\leq y\leq 1$

 

pt(2)$\Leftrightarrow 2(x^2-2x+1)+1+y^3=0\Leftrightarrow 2(x-1)^2+(1+y)(1-y+y^2)=0$

 

do $-1\leq y $ nên$2(x-1)^2+(1+y)(1-y+y^2)\geq 0$

 

dấu '=' xảy ra khi x=1, y=-1

 

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x^2+1+y(y+x)=4x\\ (x^2+1)(x+y-2)=y \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy-4x+1=0(1)\\ x^2y+x^3-2x^2+x-2=0(2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+y^2x+x^2y-4x^2+x=0(*)\\ x^2y+x^3-2x^2+x-2=0(**) \end{matrix}\right.$

lấy $(*)-(**)$$\Rightarrow -2x^2+2+x^2y=0(3)$$\Rightarrow y=\frac{2x^2-2}{x^2}(4)$

từ(2)$\Rightarrow y=\frac{x^3-2x^2+x-2}{-x^{2}}(5)$

từ (4)(5)$\Rightarrow \frac{2x^2-2}{x^2}=\frac{x^3-2x^2+x-2}{-x^{2}}$

$\Leftrightarrow -2x^2+2=x^3-2x^2+x-2$

$\Leftrightarrow x^3+x-4=0$

để giải PT này thì theo wolf ta có

$x= \frac{\sqrt[3]{18+\sqrt{327}}}{3^{2/3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{3(18+\sqrt{327})}}$

không biết sai không mà nghiệm khủng quá ak

bạn đã nhầm lẫn trong phép trừ hai vế:

Phải là $y^2x-2x^2+2=0$chứ.

Bạn xem lại nhé

ấy chết nhầm, vậy ai bik thì làm típ còn mình thì bó tay rồi