Câu 1:Giải phương trình và hệ phương trình sau:                                                                                                                                              $(x^{2}-x+1)\sqrt{3x^{2}+2x+4} - 2x^{3}+x^{2}-x-1=0$                                                                                                                                      $\sqrt{6x^{2}-24x+27} + \sqrt{6x^{2}-8x+11}+\sqrt{22x^{2}+12x+17}=3\sqrt{2}(x+2)$                                                                                                                                                                                                                           Cho (x;y) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y=2a+1 & \\ x^{2}+y^{2}=(a+1)^{2} & \end{matrix}\right.$  . Tìm Min và Max của P=xy                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  Câu 2: a, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}(1-\frac{1}{xy})$                                                                                                                                                                                                                                          b, Tìm nghiệm nguyên của hệ sau $\left\{\begin{matrix} xy-3zt=1 & \\xz+yt=2 & \end{matrix}\right.$                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Câu 3 a, Nếu a,y,z $\neq 0  và  x\neq y$ sao cho: $\frac{x^{2}-yz}{x(1-yz)}= \frac{y^{2}-xz}{y(1-xz)}$ thì x+y+z=$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                b, Cho 0$\leq a,b,c\leq 3 và a+b+c= 4. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1$                                                                                    

Câu 1:Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.

CMR: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$.

Câu 2: Cho x,y,z dương thỏa mãn:

a,x+y$\geq 1$.

Tìm Max, Min của A=$21(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}$.

b, xyz=1

Tìm Max của P=$\frac{1}{\sqrt[3]{2x^{5}+y^{4}-x^{2}+4}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2y^{5}+z^{4}-y^{2}+4}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2z^{5}+x^{4}-z^{2}+4}}$.

< Nguồn: Toán Tuổi Thơ 178 >

Câu 3: Cho x,y,z dương thỏa mãn: x+y+z=1. 

CMR: $\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}> 14.

Câu 4: Cho a,b,x,y không âm sao cho:$\left\{\begin{matrix} a^{2005}+b^{2005}\leq 1& \\ x^{2005}+y^{2005}\leq 1 & \end{matrix}\right.$.

CMR: $a^{1975}x^{30}+b^{1975}y^{30}\leq 1$.

Câu 5: Cho x,y,z dương sao cho $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=6$, xét P=$x+y^{2}+z^{3}$.

1.CM: P$\geq x+2y+3z-3$.

2.Tìm Min P.

< Nguồn: đề thi tuyển sinh lớp 10 các năm 2003-2006 >

Tìm m để hàm số: $y=x^{2}-(m+1)x+m+4$ có GTLN trên đoạn $\left [ 0;3 \right ]$ bằng 8

Câu 1:

a, cho dãy số $13;25;...;3(n^{2}+n)+7...$ ( n là số nguyên dương)

CM: không có số hạng nào của dãy là lập phương của 1 số tự nhiên.

b, Cho x;y;z là ba số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$

CM: x+y là số chính phương.

c,Tìm đa thức $F(x)=x^{2}+ax+b$ biết với mọi $x \epsilon \left [ -1;1 \right ]$ thì $\left | F(x) \right |\leq \frac{1}{2}$.

Câu 2:

a, Giải hệ phương trình sau:$\left\{\begin{matrix} x+\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=3 & & \\ & & \\ y- \frac{y-3x}{x^{2}+y^{2}}=0& & \end{matrix}\right.$

b, Giải phương trình sau: $2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$

Câu 3:

a,Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$y^{3}z^{2}+(y^{3}-2xy)z+x(x-y)=0$

b,Cho a,b,c>0. CM:

$\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$

Câu 4:

1, Cho hình chữ nhật ABCD(AB=a;AD=b) nội tiếp (O;R). M là điểm chuyển động trên cung nhỏ AD của (O;R). Gọi K;Q;P lần lượt là hình chiếu vuông góc của c trên BM, của B trên CM và M trên BC. Gọi E là trung điểm QK, N là trung điểm BC.

a, CM: OM vuông KQ.

b, CM: ME$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$=2ON.MN.

c, Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác KPQ lớn nhất.

2, Cho tam giác ABC có các đường cao là số tự nhiên và có bán kính đường tròn nội tiếp =1. CM: tam giác ABC đều.

Câu 5: Cho a,b,c thỏa mãn $4a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 4$.

CM: $ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$.

Câu 6:Trong hình chữ nhật kích thước 1x2 ta lấy $6n^{2}+1$ điểm với n là số nguyên dương. CM: tồn tại 1 điểm tại hình tròn có bán kính $\frac{1}{n}$ chứa không ít hơn 4 trong số các điểm đã cho.

Từ gt => $-1\leq x,y\leq 1$

Có $P(y+\sqrt{2})=x$ => $P^2(y^2+2\sqrt{2}y+2)=x^2$ => $(P^2+1)y^2+2\sqrt{2}P^2y+2P^2-1=0$(do $x^2+y^2=1$)

Ta thấy: $\Delta =2P^4-(P^2+1)(2P^2-1)=1-P^2$ => $1\geq P$

Dấu "=" <=> $x=\frac{\sqrt{2}}{2}; y=\frac{-\sqrt{2}}{2}$

 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2-y^2-x-4y+5=0 & \\ x^2+3y^2-3x-1=0 & \end{matrix}\right.$

       
GIÚP VỚI Ạ!!!

 

$x^2-y^2-x-4y+5=0; x^2+3y^2-3x-1=0$

Cộng vế vs vế của 2 PT ta đc: $2(x^2+y^2)-4(x+y)+4=0<=>(x-1)^2+(y-1)^2=0$....

Lần sau nhớ đừng bôi màu pt nhá, nó ko hiện pt lên đâu

Câu hỏi:

Cho xy=3; x,y thuộc R

Tìm Min A= $x^2+y^2+\frac{3}{x+y+1}$

Đặt $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CD}=\frac{DQ}{DE}=\frac{RE}{EF}=\frac{SF}{FA}=k$

Lấy H và K lần lượt là trọng tâm tam giác RMP và SNQ

Dựng O sao cho $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}+\vec{OE}+\vec{OF}=\vec{0}$

Ta thấy: $3\vec{OH}=\vec{OM}+\vec{OR}+\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AM}+\vec{OC}+\vec{CP}+\vec{OE}+\vec{ER}=-(\vec{OB}+\vec{OD}+\vec{OF})+k(\vec{AB}+\vec{CD}+\vec{EF}) =-(\vec{OB}+\vec{OD}+\vec{OF})+k(\vec{OB}-\vec{OA})+k(\vec{OD}-\vec{OC})+k(\vec{OF}-\vec{OE})=k(\vec{OB}-\vec{OC})+k(\vec{OD}-\vec{OE})+k(\vec{OF}-\vec{OA})-(\vec{OB}+\vec{OD}+\vec{OF}) =k\vec{CB}+k\vec{ED}+k\vec{AF}-(\vec{OB}+\vec{OD}+\vec{OF})=\vec{NB}+\vec{OD}+\vec{SF}+\vec{BO}+\vec{DO}+\vec{FO}=-(\vec{ON}+\vec{OQ}+\vec{OS})=-3\vec{OK}$

=> đpcm

$\left\{\begin{matrix}(2x-1)\sqrt{x+y}=(6-x-y)\sqrt{2-x} & & \\ 2\sqrt[3]{12x^2+3xy-18x}=x^3-6x-y+5 & & \end{matrix}\right.$

$(2x-4)\sqrt{x+y}+3\sqrt{x+y}=6\sqrt{2-x}-(x+y)\sqrt{2-x}$

<=> $3( 2\sqrt{2-x}-\sqrt{x+y} )+\sqrt{x+y}\sqrt{2-x}(2\sqrt{2-x}-\sqrt{x+y})=0$

=> $2\sqrt{2-x}=\sqrt{x+y}$ <=> $y= 8-5x$

Thay vào (2) => $2\sqrt[3]{12x^2+3x(8-5x)-18x}=x^3-6y-8+5x+5 <=> 2\sqrt[3]{6x-3x^2}=x^3-x-3$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}+\sqrt{x+3}=\frac{y-3}{x} & & \\ \sqrt{x+y}+\sqrt{x}=x+3 & & \end{matrix}\right.$

ĐK: .....

Xét $\sqrt{x+y}+\sqrt{x+3}=\frac{y-3}{x}$$<=> \frac{y-3}{\sqrt{x+y}-\sqrt{x+3}}=\frac{y-3}{x}$ 

<=> $y=3$ hoặc $\frac{1}{\sqrt{x+y}-\sqrt{x+3}}=\frac{1}{x}$

Xét từng TH 

TH1: y=3 thay vào PT (1) 

TH2: $x=\sqrt{x+y}-\sqrt{x+3}$ thay vào PT (2)

Cho (O) đường kính AB, C nằm giữa cung AB.Trên AB lấy điểm E sao cho BE =AC.Vẽ EH vuông vs AC ở H, pg góc BAC x EH ở K và đường tròn Ở D. AC x BD ở M. CK x AB ở I và (O) ở F. CM: I là trung điểm AE.

From: thanhdatqv2003

Cho hai tam giác $ABC, A_1B_1C_1$. Gọi $A_2, B_2, C_2$ theo thứ tự là trọng tâm tam giác $A_1BC, B_1CA, C_1AB$. $G,G_1,G_2$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $ABC, A_1B_1C_1, A_2B_2C_2$. Chứng minh $G, G_1, G_2$ thẳng hàng.

 

=)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Xét tam giác ABC và tam giác DEF; vs M và N lần lượt là 2 trọng tâm

=> $3\vec{MN}=\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}$  ^(!)

Tương tự vs 2 tam giác ABC và HKG cũng có

 $3\vec{MP}=\vec{AH}+\vec{BK}+\vec{CF}$=$\frac{2}{3}.(\vec{AO}+\vec{BI}+\vec{CL})=\frac{2}{3}\left [ \frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AE}+\vec{BA}+\vec{BF}+\vec{CD}+\vec{CB}) \right ]=\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})=\vec{MN}$

(vs O;L;I lần lượt là tđ CE;BD;AF)

=> đpcm

- Do vẽ hình trên ấy ko viết đc $A_{1}$ nên đã đổi tên như hình vẽ 

- Để có (!) bạn hãy làm bài toán sau: Cho 2 tam giác ABC vs A'B'C' có G, H lần lượt là trọng tâm và hãy CM: $3\vec{GH}=\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}$

- Dễ thấy: $\vec{AO}=\vec{AC}+\vec{AE}$ và .....

- Và cuối cùng là: tui vẽ hình đẹp vãi cả lon( mất gần nửa tiếng)

=)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Gọi $\vec{e}$ là vector vuông góc vs EF

Áp dụng định lí con nhím 

Ta có: $EB.\vec{IZ}+\vec{IY}.FC+\vec{IX}.BC+EF.\vec{e}=\vec{0}$

=> $BC.(\vec{IZ}+\vec{IX}+\vec{IY})+\vec{e}.EF$$=\vec{0}$

Lại có: $\vec{IX}+\vec{IY}+\vec{IZ}=3\vec{IG}$

=>$3BC.\vec{IG}+\vec{e}.EF=\vec{0}$

=> $\vec{IG}$ và $\vec{e}$ cùng phương

=> đpcm

Cho a, b, c, d>0 thỏa mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=2$.

Chứng minh rằng: 

$\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{d^2+1}{2}}+8\geq 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d})$

nguồn facebook: The art of Mathematics( đừng like tui làm j, tìm link bài nay mà like)

Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn: $a^2+b^2=c^2+d^2$

Chứng minh: a+b+c+d là hợp số

Xét A=$a^2 +b^2 +c^2 +d^2-(a+b+c+d)= a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1)$

do a,b,c,d nguyên dương => A chia hết 2

Lại có$a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =2(a^2+b^2)$ chia hết 2

=> a+b+c+d chia hết 2 

Mà a,b,c,d nguyên dương=> a+b+c +d >2 => đpcm 

BA đinh.jpg

Bài 2: 

b, $\frac{a}{1+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{1+b^{2}}\geq a-\frac{ab^{2}}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

Tương tự:...

=> VT$\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\geq a+b+c-\frac{(a+b+c)^{2}}{2.3}=1,5>\frac{2018}{2003}$

1, CMR nếu a,b,c dương sao cho abc=1 thì:

$\sum \frac{a}{\sqrt{7+b^{2}+c^{2}}}\geq 1$.

1, Cho tam giác ABC, nội tiếp (O), đường thẳng AB,AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC có tâm là I lần lượt ở M và N. Gọi J là điểm đối xứng của I qua MN. CM:

a, Tam giác AMC cân.

b, AI vuông với BC.

2, Cho tứ giác lồi ABCD có AC+AD $\leq$ BC +BD

CM: AD<BD

Giải phương trình: $2(5x+3\sqrt{x^2+x-2})=3\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}+27$

Đặt $3\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=a(a>0)$

Có $a^2=9(x-1)+6\sqrt{x^2+x-2}+x+2=2(5x+3\sqrt{x^2+x-2})-7$

=> $a^2+7= 2(5x+3\sqrt{x^2+x-2})$

PT <=> $a^2+7=a+27=> a^2-a-20=0$....

tìm x,y biết 

         x³ + 2x² + 3x + 2 = y³

Có $(x+1)^3-y^3=x^2\geq 0=> x+1\geq y$

Và $y^3-x^3=2x^2+3x+2>0$$=> y>x$

Với x,y nguyên=> x+1=y. Thay vào PT đầu ....

P/s: x,y thường hay nguyên vậy bạn

Cho hàm số y=$\frac{1}{2}x^2$ đồ thị là P. Trên (P) lấy 2 điểm M,N lần lượt hoành độ là -1 và -2. Tìm trên Oy điểm P sao cho MP+NP nhỏ nhất

Giải PT sau:

$\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$

cho a;b;c là các số thực dương. chứng minh rằng: $a^2(a+2b)/(a+b)^2 + b^2(b+2c)/(b+c)^2 + c^2(c+2a)/(c+a)^2 \geq 3(a+b+c)/4 .$

Có $\frac{a^3+2a^2b}{(a+b)^2}=a-\frac{ab^2}{(a+b)^2}\geq a- \frac{ab^2}{4ab}=a-\frac{b}{4}$

Tương tự:....

=> đpcm

Cho các số $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=a^3+b^3+c^3-(a^2+b^2+c^2)$

Sưu tầm 

Có $a^3+a^3+27\geq 9a^2$

Tương tự: ...

=> $2(a^3+b^3+c^3)\geq 9(a^2+b^2+c^2)$-81

Lại có $7(a^2+b^2+c^2)\geq 7(ab+ac+bc)$

Cộng vế vs vế của 2 BĐT => $2(a^3+b^3+c^3)\geq 2(a^2+b^2+c^2)+7(ab+ac+bc)-81=>2A\geq 7(ab+ac+bc)-81=108 => A\geq 54$