Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh tam giác.
CM: $(x+y+z)xyz\geq (xy+yz+zx)\sqrt[3]{(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)}$

Tìm số n nguyên dương sao cho tất cả các số n+1;n+5;n+7;n+13;n+17;n+25;n+37 đều là số nguyên tố

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1.CMR
$\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}}\geq 1$

Giải phương trình $\sqrt{x+\frac{3}{x}}=\frac{x^{2}+7}{2(x+1)}$

Chứng minh rằng không tồn tại các bộ 3 số nguyên (x,y,z) thỏa mãn: $x^{4}+y^{4}=7z^{4}+5$

Tìm tất cả các số nguyên dương n để số $a=11...1-77...7$ là bình phương đúng ( 2n số 1, n số 7)

$\oplus$Bình phương hai vế và nhân chéo,phương trình trở thành:
$x^5-4x^4+6x^3-16x^2+25x-12=0$
$\Longleftrightarrow (x-3)(x-1)^2(x^2+x+4)=0$
$\oplus$Từ đó rút được nghiệm là 3 và 1

Bạn chuyển vế sai rồi!xem lại jùm mk nha!

Sai chỗ nào vậy bạn.

Fải là $-6x^{3}$ chứ không fải là $6x^{3}$.

n=1,thỏa mãn
Với $n\geq 2$ thì hai chữ số tận cùng của 11...11 trừ hai số tận cùng của 7...77 có hiệu là 34
Theo tính chất của số chính phương nếu hàng đơn vị khác 6 thì hàng chục phải chẵn,34 không thỏa mãn là hai chữ số tận cùng của số chính phương

Mình có cách giải khác:
Ta có: $a=\left ( 10^{2n-1}+10^{2n-2}+...+10+1 \right )-7\left ( 10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1 \right )$
$\Rightarrow a= \frac{10^{2n}-1}{10-1}-7.\frac{10^{n}-1}{10-1}=\frac{10^{2n}-7.10^{n}+6}{9}$
+)Với n=1 ta có: a=4 (thỏa mãn)
+)Với $n\geq 2$ ta có: $(10^{n}-4)^{2}< 10^{2n}-7.10^{n}+6< (10^{n}-3)^{2}$(không có số chính phương nào thỏa mãn)
Vậy n=1

đúng rùi mà bạn. $6x^{3}$ chứ??? nếu mình nhớ k nhầm thì bài này trong đề thi vào 10 trường khtn năm 2011

Mình nhầm 1 chút!

y=$\sqrt{(2-x)}+\sqrt{(2+x)}$

Ta có $y^{2}=4+2\sqrt{(2-x)(2+x)}$, suy ra min y=2
Áp dụng Cauchy ta tìm được max y=$\sqrt{6}$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ĐK $6a+b\sqrt{3}+c\sqrt[3]{2}=3$
TÌm min $S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{3}}$

Chứng minh với mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có $cos2A + cos2B + cos2C\leq \frac{3}{2}$
chỉ ra dấu bằng

MÌnh nghĩ là $cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$ chứ nhỉ?

Cho a,b,c dương.CMR $\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$

Ta CM được $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$
$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+abc\geq ab(a+b+c)$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}$
Tương tự $\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}\leq \frac{1}{bc(a+b+c)}$
$\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \frac{1}{ca(a+b+c)}$
Cộng theo vế ta được đpcm

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2x+1 =y^{3}+y^{2}+1 & \\ 2y +1=z^{3}+z^{2}+1 & \\ 2z+1 =x^{3}+x^{2}+1 & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình nghiệm nguyên:$\left ( x-2 \right )^{4}-x^{4}=y^{3}$

Sai bét ngay dòng đầu !
Gợi ý: VT là một đa thức bậc $3$, VP cũng thế. Nên dùng kẹp là phương án tốt nhất !
____
Mr.M

Mình cũng nghĩ giống bạn!
Ta có pt đã cho$\Leftrightarrow -8x^{3}+24x^{2}-32x+16=y^{3}$
+)Với x<1 ta có: $(2-2x)^{3}$<$y^{3}$<$(3-2x)^{3}$(ko thỏa mãn)
+)với x>1 ta có: $(1-2x)^{3}$<$y^{3}$<$(2-2x)^{3}$)ko thỏa mãn)
Nên x=1, Với x=1 thay vào pt ta có y=0.

Bài này có nhiều cách giải. chủ yếu là c/m hệ có nghiệm x = y =z ngoài ra không có nghiệm nào khác

Bạn có thể làm rõ jùm mk ko?

Trong 1 trận bóng đá, sau khi hồi còi kết thúc. Để thể hiện tình đoàn kết, mỗi đấu thủ trên sân bắt tay vs 1 đấu thủ đội bạn. Tính số đấu thủ mỗi đội, biết số lần bắt tay bằng 4 lần số đấu thủ.

Cho phương trình $x^{3}-(a+2)x^{2}+\left ( 2a+\frac{3}{a} \right )x+4a^{2}+7=0$.Tìm a để mọi nghiệm của pt đều thuộc (0;1)

4. $\sqrt[4]{17-x^{8}}-\sqrt[3]{2x^{8}-1}$

Câu này ko có VP bạn ạ?

sao số cầu thủ của mình ra nhỏ quá.Không biết có đúng không.
Gọi số cầu thủ là $x$ và số lần bắt tay là $y$,ta có:$4x=y$
Vì trong bóng đá thì số cầu thủ hai đội phải bằng nhau.
Giả sử đội 1 bắt tay đội 2.Đội 2 chỉ cần đúng yên,đội một sẽ tới và từng cầu thù của đội một bắt tay với mỗi cầu thủ của đội hai
$\Longrightarrow$số lần bắt tay là $x^2$
Vậy $4x=y=x^2$
$\Longrightarrow$ $x=4$ và $y=16$
P/s:Chắc đá sân nhỏ nhỉ

Cũng có thể bị đuổi người bạn nhỉ?
mình thử trình bày lời giải của mình xem sao:
Gọi số đấu thủ mỗi đội là x và y
suy ra số lần bắt tay là xy
Ta có: $xy=4x+4y\Leftrightarrow x(4-y)-4(4-y)=-16\Leftrightarrow (x-4)(4-y)=-16$
Từ đây giải được pt nghiệm nguyên!bạn xem có đúng ko nha!

Số người ở mỗi đội phải bằng nhau bạn nhỉ?Phương trình bạn lập sai rồi.Nếu giải ra thì nghiệm không nguyên dương.(người sao âm được)
Cụ thể nghiệm nguyên là $(x;y)$ là $(-12;3),(-4;2),(0;0),(2;-4),(3;-12)$

Sao âm được bạn?
ta thấy (x-4) và(4-y) cùng tính chẵn lẻ nên chỉ có các TH là: -16=-2.8=-4.4
Giải ra được nghiệm (x;y) là (12;6); (6;12)

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1, CMR:
$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+...+[\sqrt{n^{2}-1}]=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}$

Tìm $x,y\in Z$ để $P=\frac{x^{2}-2}{xy+2}$ nguyên