fghost nội dung
Có 223 mục bởi fghost (Tìm giới hạn từ 30-04-2020)
#290258 Chứng minh $i$ là nghiệm kép của $$P(x)=x^6-x^5+3x^4-2x^3...
Đã gửi bởi fghost on 26-12-2011 - 09:16 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
$\left\{\begin{matrix}
P(a)=0\\P'(a)=0
\\P''(a)\neq 0
\end{matrix}\right.$
thì P(x) có nghiệm kép với x=a. Lý do?
$P(a)=0$, ta có thể viết $P(x)=(x-a)Q(x)$ Tính đạo hàm bậc 1 và 2, ta được
${P}'(x)=Q(x)+(x-a){Q}'(x)$
${P}''(x)={Q}'(x)+{Q}'(x)+(x-a){Q}''(x)=2{Q}'(x)+(x-a){Q}''(x)$
Dùng điều kiện đã cho của ${P}'(a)$ ta được $Q(a)=0$, nên $Q(x)=(x-a)H(x)$, nên $P(x)=(x-a)^2H(x)$, $x=a$ ít nhất là nghiệm kép của P(x)
và từ $P''(a)\neq 0$ nên ${Q}'(a)\neq0$ dùng kết luận trên, nên $x=a$ chỉ có thể là nghiệm đơn của $Q(x)$.
Vì vậy, $x=a$ chỉ có thể là nghiệm kép của $P(x)$
Còn để phân tích thành bất khả quy (có nghĩa là irreducible?), thì phải xem bất khả quy trên field nào. Vì câu trên bạn đã đề cập đến i, nên mình cho rằng bạn muốn $P(x)$ bất khả quy trên $C$ vì thế điều này đồng nghĩa với việc tìm tất cả các nghiệm của $P(x)$
Nhưng vì sao $P(i)= -i$ ? Đề của bạn có vấn đề, và mình cũng ko nghĩ ra các nghiệm của P(x) được. Nhờ người khác tiếp vậy.
#290259 $f\left ( x \right )=\dfrac{ln\left ( 2x \right...
Đã gửi bởi fghost on 26-12-2011 - 09:32 trong Giải tích
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:
a) $f\left ( x \right )=\dfrac{ln\left ( 2x \right )}{x}$ với x $\epsilon \left [ 1,e \right ]$
b)$f\left ( x \right )=\dfrac{2-cos x}{sin x}$ với x$\epsilon \left [ \dfrac{\pi }{4} ,\dfrac{3\pi }{4}\right ]$
Cả 2 hàm số ở câu a và b đều liên tục trên domain cần tìm cực trị mà interval đấy lại là closed interval, nên việc tìm cực trị tương được với việc tìm nơi đạo hàm bậc nhất bằng 0 và so sánh giá trị của hàm số tại điểm tìm được đấy là 2 đầu mút của interval đã cho.
Mình làm thử câu a
${f}'(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{ln(2x)}{x^2}=0$ tại $x=\dfrac{e}{2}$ trên $x \epsilon [1,e]$
Thế $x=\dfrac{e}{2}$, $x=1$, và $x=e$ vào $f(x)$, ta được max tại $x=\dfrac{e}{2}$ và min tại $x=e$
Bài này áp dụng kiến thức đạo hàm ở cấp phổ thông
#290260 $\lim_{n\to \infty }\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=r,\R...
Đã gửi bởi fghost on 26-12-2011 - 10:13 trong Giải tích
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = r$$
có nghĩa là
Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn lại $N_\varepsilon$ tự nhiên, sao cho với mọi $n > N_\varepsilon$ ta có
$$r-\varepsilon <\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<r+\varepsilon$$
Nhìn vào 1 bên của bất đẳng thức $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<r+\varepsilon$ ta có với n đủ lớn
$$a_{n+1}= \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \dfrac{a_n}{a_{n-1}} ...\dfrac{a_{N_\varepsilon +1}}{a_{N_\varepsilon}}...\dfrac{a_2}{a_1} a_1 $$
Vì $N_\varepsilon $ là 1 số tự nhiên ko phải vô hạn, với mọi $n \leq N_\varepsilon $ ta đặt
$$\dfrac{a_{N_\varepsilon+1}}{a_{N_\varepsilon}}....\dfrac{a_2}{a_1}a_1=B (r+\varepsilon)^{N_\varepsilon}$$
với B là một số dương nào đó
Và với mọi $n > N_\varepsilon$, ta có
$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<r+\varepsilon$$
Vì vậy
$$a_{n+1}<B(r+\varepsilon)^{n+1}$$
Tương tự, ta sẽ có
$$A(r-\varepsilon )^{n}<a_n<B(r+\varepsilon )^{n}$$
với n đủ lớn. Cho dù A và B đều dương phụ thuộc vào $N_\varepsilon$ cũng ko quan trọng.
Vì vậy
$$\sqrt[n]{A}(r-\varepsilon)<\sqrt[n]{a_n}<\sqrt[n]{B}(r+\varepsilon)$$
Vì $\varepsilon$ có thể nhỏ tùy ý, và với mọi A và B dương
$$\sqrt[n]{A} \to 1$$
và
$$\sqrt[n]{B} \to 1$$,
nên ta kết luận
$$\sqrt[n]{a_n} \to r$$
#290749 Cho $w_{1}=u_{1}+u_{2}\;và\;w_{2}=2u_{1}+3u_{2}$. Chứng m...
Đã gửi bởi fghost on 29-12-2011 - 08:42 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Để làm điều đó, thử dùng định nghĩa của independent.
Nếu
$$aw_1 + bw_2=0 $$
$$\Rightarrow au_1 + au_2 + 2bu_1 + 3bu_2=0 \Rightarrow (a+2b)u_1+(a+3b)u_2=0$$
Vì $S_1 = \left \{ u_1, u_2 \right \}$ là cơ sở, nên 2 vector $u_1, u_2$ independent, nên ta có hệ
$$\begin{pmatrix}
a+2b=0
\\
a+3b=0
\end{pmatrix}$$
Vì vậy $a=0$ và $b=0$
Nên $S_2 = \left\{ w_1, w_2\right\}$ independent, và là cơ sở của V
#290894 Tính tích phân đường \[ \int\limits_C {yd} x + (1 - x)dy \]
Đã gửi bởi fghost on 30-12-2011 - 07:52 trong Giải tích
Parametrize cái curve
$$\begin{pmatrix}
y=sint
\\
x=cost
\\
-\pi /2 \leq t \leq \pi /2
\end{pmatrix}$$
Tính đạo hàm cái curve
$$\begin{pmatrix}
dy=cos(t)dt
\\
dx=-sin(t)dt
\\
-\pi /2 \leq t \leq \pi /2
\end{pmatrix}$$
Thế vào tích phân và tính
$$\int ydx + (1-x)dy =\int_{-\pi/2}^{\pi/2} sin(t)(-sin(t))dt+(1-cos(t))(cos(t))dt=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (cos(t)-1 )dt= 2 - \pi$$
#291161 Tính tích phân đường \[ \int\limits_C {yd} x + (1 - x)dy \]
Đã gửi bởi fghost on 31-12-2011 - 00:21 trong Giải tích
1 + 2 đúng nếu chiều ngược kim đồng hồ như thường lệ.
3: Nếu nửa đường tròn nằm bên trái 0y thì $\pi/2 \leq t \leq 3\pi/2$. Nửa đường tròn bên phải 0y, "em" đúng.
4: Đúng
5: Theo chiều kim đồng hồ sẽ là $2\pi \leq t \leq 0$. Nếu muốn tìm theo kim đồng hồ, "em" cứ tìm ngược kim đồng hồ, rồi đổi vị trí 2 đầu mút là được. Đừng nghĩ gì khác, sẽ bị rối.
#291527 Tìm tập thương $\mathbb{R}/_{\sim}$
Đã gửi bởi fghost on 01-01-2012 - 22:53 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
1/ Reflexive: hiển nhiên $x\sim x$ vì $[x]=[x]$
2/ Symmetric: hiển nhiên lần thứ 2 $x\sim y$ cho nên $[x]=[y]$ hay $[y]=[x]$ vì vậy $y\sim x$
3/ Transitive: hiển nhiên đợt 3, $x\sim y$ và $y\sim z$ vì vậy $[x]=[y]=[z]$ nên $x\sim z$
Còn partition của R dưới $\sim$ là tập số nguyên. Lý do? Theo định nghĩa của phần nguyên, mỗi số thực có phần nguyên là 1 số nguyên duy nhất; mỗi số nguyên là phần nguyên của số thực nào đó. Còn lý do nào nữa ko?
#291743 Thặng dư và tích phân trong giải tích phức
Đã gửi bởi fghost on 02-01-2012 - 21:19 trong Giải tích
#291791 Tìm cực đại cực tiểu \[ f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1 \]
Đã gửi bởi fghost on 03-01-2012 - 08:59 trong Giải tích
Thông thường, bài toán yêu cầu tìm cực trị và yên ngựa của hàm số 2 biến chỉ yêu cầu bạn tìm cực trị địa phương và yên ngựa. Rất nhiều trường hợp tìm cực trị tuyệt đối là không khả thi, hay quá khó
Còn nếu bạn muốn tìm absolute extrema cho toàn miền (cực trị tuyệt đối trên toàn miền RxR), thì bạn có thể tinh ý nhận thấy hay dùng graphing tool để đánh giá hàm số
1/ Nếu x rất lớn dương và y rất nhỏ âm, thì hàm số sẽ đi về vô cùng dương. Hàm số ko có cực đại.
2/ Cực tiểu địa phương xảy ra ở (1,1) hay (-1,-1) và đều cho giá trị -1. Như vậy bạn có thể chứng minh $f(x,y) \geq -1 $ $\forall (x,y)$.
$x^4+y^4-4xy+1 = x^4-2x^2y^2+y^4+2(x^2y^2-2xy+1)-1 = (x^2-y^2)^2+2(xy-1)^2-1 \geq -1$
Dấu bằng xảy ra tại (1,1) hay (-1,-1)
#292027 ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI
Đã gửi bởi fghost on 04-01-2012 - 03:05 trong Tài liệu và chuyên đề Đại số đại cương
Vì X abelian và có 6 phần tử, X sẽ isomorphic (đồng dạng) với $Z_6$ hay $Z_2 + Z_3$, mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau, nên $Z_6 \sim Z_2 + Z_3$ do đó, $X \sim Z_6$ và $Z_6$ hiển nhiên cyclic.
Nếu X không phải Abelian và X có 6 phần tử, thì X phải là $D_3$ dihedral group của tam giác đều, và hiển nhiên không phải cyclic.
#292294 $ f'(x_0) = 0 $
Đã gửi bởi fghost on 05-01-2012 - 15:32 trong Giải tích
1/ f khả vi trên (a,b), nên f liên tục trên (a,b)
2/ Vì f liên tục trên (a,b), nên với dãy $(x_n) \rightarrow x_0$ đã cho thì dãy $(f(x_n)) \rightarrow f(x_0)$ nên $f(x_0)=0$
Câu a:
Vì f khả vi, gọi $f'(x_0)=L$, theo định nghĩa đạo hàm bậc 1 ta có
Với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại $\delta$ sao cho $x \epsilon (a,b)$
$$0<|x-x_0|< \delta \Rightarrow |\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-L| < \varepsilon$$
Dùng dãy $(x_0)$ đã cho, với mọi $\delta >0$ tồn tại $N_0$ sao cho mọi $n>N_0$ thì $0<|x_n -x_0|<\delta$, nên
$$|\dfrac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}-L|< \varepsilon$$
hay $$|L|< \varepsilon \rightarrow 0$$
Nên $$f'(x_0)=L=0$$
Câu b:
Chứng minh $f''(x_0)=0$. Vì $f'$ khả vi trên $(a,b)$, nếu ta tìm được một dãy $(y_n)\rightarrow x_0$ và $f'(y_n)=0$ thì dựa theo câu a, $f''(x_0)=0$.
Larange theorem hay Mean Value theorem cho từng điểm $x_n$ ta có
Tồn tại $y_n \epsilon (x_n, x_0)$ hay $y_n \epsilon (x_0, x_n)$sao cho
$$f'(y_n)=\dfrac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}=0$$
Vì $y_n$ "bị kẹp" giữa $x_n$ và $x_0$ mà $(x_n)\rightarrow x_0$ nên $y_n \rightarrow x_0$.
Tương tự cho mọi k.
#292306 Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Giải tích]
Đã gửi bởi fghost on 05-01-2012 - 16:24 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên
Vài nhận xét:
1/ Hàm liên tục phải thõa mãn intermediate value property (tính chất "trung điểm", cụ thể nếu $f(a) < f(b)$ và $a < b$ thì f nhận mọi giá trị trong $(f(a), f(b))$, tức là với mọi c mà $f(a) < c < f(b)$ tồn tại $y\epsilon (a,b)$ sao cho $f(y)=c$).
2/ Hàm số đơn ánh 1-1 không thể đạt 2 giá trị bằng nhau.
Với nhận xét 2/ giả sử f không tăng hay giảm nghiêm ngặt, thì sẽ tồn tại 3 điểm $a <x<y<z<b$ sao cho $f(x)<f(y)>f(z)$ hay $f(x)>f(y)<f(z)$. Nếu $f(x)<f(y)>f(z)$ xảy ra, ta có vì f thõa mãn intermedidate value property nên f phải đạt mọi giá trị trong $(f(x), f(y))$ bằng $(x,y)$ và mọi giá trị trong $(f(z), f(y))$ bằng $(y,z)$, và hiển nhiên tồn tại một giá trị c nào đó mà $f(x)<c<f(y)$ và $f(z)<c<f(y)$ sẽ đượt đạt bởi 2 giá trị từ 2 đọan khác nhau $(x,y)$ và $(y,z)$ nên f sẽ không phải đơn ánh. Tương tự với trường hợp còn lại.
Bài giải "chấp nhận" hơi nhiều thứ quá.
#292636 Cho A là ma trận trực giao, nghĩa là $A.A^{T}=I_{n}$ . Chứng minh g...
Đã gửi bởi fghost on 07-01-2012 - 10:33 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
$$det(A A^T)=det(A)det(A^T)=det(A)^2=det(I_n)=1 \Rightarrow det(A)=1 \vee det(A)=-1$$
Để thấy tính chất thứ 2, dễ nhận thấy ta có thể khai triển định thức theo hàng dọc hay hàng ngang, của ma trận, nên $A$ và $A^T$ có cùng giá trị định thức.
Còn tính chất thứ 1, khó thấy hơn, mình ko nghĩ ra và đọc lời giải cũng ngờ ngợ.
#292639 C/m $\exists x_0 \in (a;b)$ sao cho $2f(a) + 2.f(x_...
Đã gửi bởi fghost on 07-01-2012 - 10:51 trong Giải tích
Một câu trong đề toán A1:
Chứng minh rằng nếu $f$ liên tục trên $ [a;b]$; khả vi trên $(a;b)$ và $f(a)=f(b)$ thì tồn tại $x_0 \in (a;b)$sao cho $2f(a) + 2.f(x_0)+f'(x_0) = 0$
Cho mình hỏi $2f(a) + 2.f(x_0)+f'(x_0) = 0$ có nghĩa là $2f(a) + 2f(x_0)+f'(x_0) = 0$, dấu chấm là dấu nhân?
#299824 Tìm giới hạn $$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x...
Đã gửi bởi fghost on 18-02-2012 - 10:59 trong Giải tích
Xét $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \to O\left( {0;0} \right)$ trên đường $y=x$, khi đó:
$$\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{2x}}{{2 + 3{x^2} + {y^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{2 + 4{x^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Xét $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \to O\left( {0;0} \right)$ trên đường $y=-x$, khi đó:
$$\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{2x}}{{2 + 3{x^2} + {y^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{2 + 3{x^2} + {{\left( { - x} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{2 + 4{x^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $$\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{2x}}{{2 + 3{x^2} + {y^2}}} = 0$$
-------------------------------------
Có thể thay trực tiếp $\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)$ vào biểu thức $\frac{{2x}}{{2 + 3{x^2} + {y^2}}}$ không?
Cách xét $y=x$ và $y=-x$ hình như không có hợp pháp thì phải?
#299938 Sự cần thiết của tiên đề giao hoán?
Đã gửi bởi fghost on 19-02-2012 - 10:22 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
#300261 Sự cần thiết của tiên đề giao hoán?
Đã gửi bởi fghost on 21-02-2012 - 01:58 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Thanks.
#300451 Sự cần thiết của tiên đề giao hoán?
Đã gửi bởi fghost on 22-02-2012 - 10:06 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
#300744 Tính tổng: $$\sum\limits_{n \ge 0} {{3^n}{{\sin...
Đã gửi bởi fghost on 24-02-2012 - 11:34 trong Giải tích
Mình xin giải bài toán này như sau (có chô nào không đúng mong các bạn góp ý) :
ta có :$sin^3a=\frac{3sina-sin3a}{4}$
Suy ra $3^nsin^3\left ( \frac{x}{3^n} \right )=3^n.\frac{3sin\frac{x}{3^n}-sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}$
Áp dụng với n= 1,2,3,4……n ta được:
$S=3.\frac{3sin\frac{x}{3}-sinx}{4}+3^2.\frac{sin\frac{x}{3^2}-sin\frac{x}{3}}{4}+...+3^n.\frac{3sin\frac{x}{3^n}-sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}$
$= \frac{-3sinx}{4}+\frac{3^{n+1}.sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}$
Em học cấp 3 àh?
Thử giải tiếp cách của em, dùng L'Hôpital cho n tiến về vô cùng
$$\lim_{n\rightarrow \infty} 3^{n+1}sin(\frac{x}{3^{n-1}})= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{sin(3^{1-n}x)}{3^{-1-n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{-3^{1-n}xln(3)cos(3^{1-n}x)}{-3^{-1-n}ln(3)}=\lim_{n\rightarrow \infty} 9x cos(\frac{x}{3^{n-1}})= 9x$$
Nên
$$S=sin^3x - \frac{3sinx}{4}+\frac{9x}{4}=-\frac{sin3x}{4}+ \frac{9x}{4} $$
Thử cách khác 1 chút
$$4 \sum_{n \geq 0}^{\infty } 3^n sin^3\left ( \frac{x}{3^n} \right )=4 \sum 3^n.\frac{3sin\frac{x}{3^n}-sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}= \sum_{n \geq 0}^{\infty } 3^{n+1}sin\frac{x}{3^n} - \sum_{n \geq 0}^{\infty } 3^n sin\frac{x}{3^{n-1}}= -sin3x$$
Nên
$$S=-\frac{sin3x}{4}$$
Tại sao lại cho 2 kết quả khác nhau? Chờ bạn xusinst giải đáp vậy.
#301354 HỎI VỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đã gửi bởi fghost on 27-02-2012 - 22:18 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
MỌI NGƯỜI CHỈ GIÚP MÌNH BÀI TOÁN SAU:
- Cho AXTT f:$R^{^{3}} \to R^{3}$ có ker f={(1,-1,3);(1,-1,0)} và có 1 cơ sở u là $u_{1}$=(1,1,0);$u_{2}$=(2,-1,1);$u_{3}$=(1,0,-1) .Biết f($u_{1}$)=(1,1,1).Tính f($u_{2}$) và f($u_{3}$)
Hình như tiêu đề của bạn có vấn đề, bạn ko sửa, bài này có nguy cơ bị delete đấy.
Mọi ánh xạ tuyến tính đều xác định nếu biết ánh xạ đó maps cơ sở của domain đến vector nào. Bài này đi ngược lại, vậy thì phải thử đi ngược lại.
Vì $\{u_1,u_2,u_3\}$ là cơ sở, tìm được $a,b,c,a_1,b_1,c_1$ sao cho:
$$\left\{\begin{matrix}
(1,-1,3)= a*(1,1,0)+b*(2,-1,1)+c*(1,0,-1) \\
(1,-1,0)= a_1*(1,1,0)+b_1*(2,-1,1)+c_1*(1,0,-1)
\end{matrix}\right.$$
Sau đó,
$$
\left\{\begin{matrix}
0=f(1,-1,3)= a*f(u_1)+b*f(u_2)+c*f(u_3)\\
0=f(1,-1,0)= a_1*f(u_1)+b_1*f(u_2)+c_1*f(u_3)
\end{matrix}\right.$$
Vì $a,b,c,a_1,b_1,c_1$ đã biết, nên ta thu được hệ 2 phương trình, và 2 nghiệm cần tìm, f($u_{2}$) và f($u_{3}$).
$$\left\{\begin{matrix}
0= a*(1,1,1) +b*f(u_2)+c*f(u_3)\\
0= a_1*(1,1,1) +b_1*f(u_2)+c_1*f(u_3)
\end{matrix}\right.$$
#301528 Tìm tất cả các hàm $f(x)$ khả vi cấp hai trên $[a,b]$
Đã gửi bởi fghost on 29-02-2012 - 01:27 trong Giải tích
Tìm tất cả các hàm $f(x)$ khả vi cấp hai trên $[a,b]$ thoả mãn $f(a)=f(b)=0$ và
$f"(x)=e^x.f(x)$
Vì f khả vi đến ít nhất bậc 2, nên f liên tục trên đoạn [a,b], mà [a,b] đóng và bị chặn, nên f phải đạt cực trị trên đoạn [a,b].
Nếu f đạt cực đại và cực tiểu giá trị đều là 0, thì f là hàm hằng.
Không mất tính tổng quát, giả sử f đạt cực tiểu tại c' với $f(c') \ne 0$, và ta cũng có $f'(c')=0$.
Nếu $f(c')<0$, dễ thấy $f''(c')=e^c*f(c') < 0$ mà $f'(c')=0$ nên f đạt cực đại tại c. Vì f đạt cực đại và cực tiểu tại cùng 1 giá trị, f là hàm hằng.
Nếu $f(c')>0$, vì vậy f đạt cực đại dương, tại 1 điểm d nào đó. Ta có $f(d)>0$ và $f'(d)=0$, mà $f''(d)=e^d*f(d)>0$ nên f đạt cực tiểu tại d. Vì vậy f lại là hàm hằng.
Trong mọi trường hợp, f là hàm hằng, và f(a)=0, f liên tục trên $[a,b]$ nên $f=0$ trên $[a,b]$
#301529 $f(x,y)=xy^{2} nếu x^{2}+y^{2}=1$
Đã gửi bởi fghost on 29-02-2012 - 03:44 trong Giải tích
Giải hệ
$$\left\{\begin{matrix}
y^2=2\lambda x
\\
2xy=2\lambda y
\\
x^2+y^2=1
\end{matrix}\right.
\Rightarrow xy^2=2\lambda x^2=\lambda y^2 $$
$$
\left\{\begin{matrix}
\lambda =0: y=0 \Rightarrow x=+-1
\\
\lambda \ne 0: 2x^2=y^2 \Rightarrow x=+-\frac{1}{\sqrt3}, y=+- \frac{\sqrt6}{3}
\end{matrix}\right.
$$
Còn cách phổ thông thì sao?
$$f(x,y)=F(x)=x(1-x^2)=x-x^3 \text{ with } F: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$$
Hàm f trên $x^2+y^2=1$ có giá trị như hàm F trên $[-1,1]$. Lúc này thì tìm cực trị của F, liên tục, trong khoảng [-1,1] đóng và bị chặn.
#302442 Tính tổng $$\sum_{n=1}^{+\infty}na^{n}$$ (0...
Đã gửi bởi fghost on 06-03-2012 - 01:43 trong Giải tích
Mọi người giải giúp mình câu này với:
Tính tổng $$\sum_{n=1}^{+\infty}na^{n}$$ (0<a<1)
Xét hàm số $f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}$ hội tụ khi $|x|\leq 1$
Lấy đạo hàm bậc 1 theo biến x
$$\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}=\frac{-1}{(1-x)^2}$$
Nhân x vào 2 vế
$$\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n}=\frac{-x}{(1-x)^2}$$
Thế a vào,
$$\sum_{n=1}^{\infty} na^{n}=\frac{-a}{(1-a)^2}$$
#302443 Cho ${f^3}(x) + 2f(x) = x$. Tính $\int\limits_0^3 {f...
Đã gửi bởi fghost on 06-03-2012 - 03:26 trong Giải tích
Bài toán: Xét hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục sao cho ${f^3}(x) + 2f(x) = x$. Tính $\int\limits_0^3 {f(x)dx} $.
Lấy đạo hàm bậc 1, biến x của điều kiện, sau đó nhân f(x) vào 2 bên, ta được
$$3f^2(x)*f'(x)+2f'(x)=1 \Rightarrow 3f^3(x)f'(x)+2f(x)f'(x)=f(x)$$
Do đó
$$\int {f(x)d(x)}= \int {3f^3(x)f'(x)dx}+\int {2f(x)f'(x)dx}= \frac{3}{4} f^4(x)+f^2(x)$$
Gọi $f(3)=u$ và $f(0)=v$
$$\int_0^3 {f(x)dx}=\frac{3}{4} u^4+u^2 - \frac{3}{4} v^4 - v^2$$
Thế $x=0$ và $x=3$ vào điều kiện, ta được $u^3+2u=3$ và $v^3+2v=0$. Vì f lấy giá trị thực, nên thu được $u=1$ và $v=0$
Do đó
$$\int_0^3 {f(x)dx}=7/4$$
Vì hàm f liên tục trên [0,3] và rõ ràng không thể là hàm hằng 0, nên việc nhân f(x) vào đẳng thức ở đầu bài toán không bị ảnh hưởng bởi giá trị của f(x) tại x=0 (ít nhất là đối với việc tính tích phân)
- Diễn đàn Toán học
- → fghost nội dung