Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, góc giữa mỗi mặt bên và mặt đáy bằng $\varphi$.

a) Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và các cạnh bên của hình chóp.

b) Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phân giác của góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp đều thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của 2 phần đó.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \begin{vmatrix} y \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x-3 \end{vmatrix} & & \\ (2\sqrt{z}-2+y)y=1+4y& & \\ x^{2}+z-4x=0& & \end{matrix}\right.$

Cho điểm A cố định trên đường tròn và điểm C di động trên đường tròn đó. Dựng hình thoi ABCD ( hướng quay của tia AB đến CD và AD theo chiều dương lượng giác) sao cho góc $\widehat{ABC}=2arccot\sqrt{2}$.

a) Xác định phép đồng dạng biến điểm C thành điểm B.

b) Tìm quỹ tích của các điểm B và D. Xác định các quỹ tích đó.

Cho khối lăng trụ đứng ( L) có cạnh bên bẳng 7a. Đáy của (L) là lục giác lồi ABCDEF có tất cả các góc đều bằng nhau và AB =a, CD=2a, EF=3a, DE=4a, FA=5a, BC=6a.

a) Tính theo a thể tích của khối lăng trụ (L)

b) Chứng tỏ rằng có thể chia khối lăng trụ (L) thành 4 khối đa diện trong đó có một khối lăng trụ đều đáy tam giác và ba khối hộp.

Hình chóp tứ giác đều SABCD có góc giữa mặt bên và đáy là $\alpha$ . Vẽ đường cao SH của hình chóp, gọi E là điểm thuộc SH và có khoảng cách tới 2 mặt (ABCD)& (SCD)  bằng nhau. Mp (P) đi qua E, C,D cắt SA, SB lần lượt tại M, N.

a) Thiết diện là hình gì?

b) Gọi thể tích các khối đa diện SNMCD  và ABCDNM lần lượt là V1 & V2. Tìm $\alpha$ để 3V2 = 5V1.

Giải bất phương trình $\frac{1}{2}log_{2}x.log_{\frac{3}{4}}x+3>\frac{3}{2}log_{2}x+log_{\frac{3}{4}}x$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left | y \right |=\left | x-3 \right |\\(2\sqrt{z}-2+y)y=1+4y \\ x^{2}+z-4x=0 \end{matrix}\right.$

a) Chứng minh rằng $\forall x\epsilon R$ thì $e^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}$

b) Tìm a>0 sao cho $a^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}$

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp, M và N là các điểm lần lượt thay đổi trên các cạnh AB và CD sao cho $\frac{MA}{MB}=\frac{NC}{ND}$. Điểm P thay đổi trên đoạn thẳng MN sao cho $\frac{PM}{PN}=\frac{AB}{CD}$. Chứng minh rằng tỷ số diện tích của hai tam giác PAD và PBC không phụ thuộc vào vị trí của M và N.

Cho cốc nước phần trên là hình nón đỉnh S, đáy có tâm O bán kính R, chiều cao SO=h. Trong cốc nước đã chứa một lượng nước có chiều cao a so với đỉnh S. Người ta bỏ vào cốc nước một viên bi hình cầu thì nước dâng lên vừa phủ kín quả cầu. Hãy tính bán kính của viên bi theo R và h.

Giải bất phương trình: $\frac{1}{2}log_{2}x.log_{\frac{3}{4}}x+3>\frac{3}{2}log_{2}x+log_{\frac{3}{4}}x$

Cho hàm số $f(x)=(x^{3}-3x^{2}+2)\sqrt{x^{2}-2x+3}$. Chứng minh rằng với mọi hệ số thực m, hệ phương trình sau luôn có nghiệm thực:

$\left\{\begin{matrix} f^{(2008)}(x)+f^{(2008)}(y)=0 & \\x^{2}-my=4-m & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:

$log_{3}2x+1+log_{5}4x+1+log_{7}6x+1=3x$

Bài 1: Tìm các giá trị không âm của m để phương trình sau có nghiệm: $\sqrt{x-m}+2\sqrt{x-1}=\sqrt{x}$

Bài 2: Tìm a để hệ sau có nghiệm (x;y) thoả mãn điều kiện $x\geq 9:\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=4\\\sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}\leq a \end{matrix}\right.$

Cho các số nguyên a,b,c khác 0 thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\epsilon Z\\\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\epsilon Z \\ \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: $\frac{3a^{4}}{b^{2}}+\frac{2b^{4}}{c^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}-4\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\geqslant 0$

Tìm tất cả các số nguyên a,b,c thoả mãn điều kiện 1<a<b<c và abc chia hết cho (a-1)(b-1)(c-1)

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}-2x+y^{2}=0\\ 2x^{3}+3x^{2}-6y-12x+13=0 \end{matrix}\right.$

Hệ tương đương với 

$\left\{\begin{matrix} y^{2}=\frac{2x}{x^{2}+1}(1)\\ 2x^{3}+3x^{2}-12x+13=6y(2) \end{matrix}\right.$

Từ (1) ta có $x\geq 0;-1\leq y\leq 1$

Xét hàm số $f(x)=2x^{3}+3x^{2}-12x+13;x\geq 0$ ta có

$f'(x)=6x^{2}+6x-12;f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$

Vẽ bảng biến thiên ta suy ra $f(x)\geqslant f(1)\geqslant 6$

Suy ra $VT(2)\geq 6;VP(2)\leqslant 6$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$

ĐK: $x,y\neq 0$

Hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+4xy-4y^{2}=20(1)\\ 20x^{2}-25xy-10y^{2}=20(2) \end{matrix}\right.$

Lấy (2) trừ đi (1) ta được

$16x^{2}-29xy-6y^{2}=0(*)$

Đặt $t=\frac{x}{y}$, (*) trở thành

$16t^{2}-29t-6=0\Leftrightarrow [\begin{matrix} t=2\\ t=-\frac{3}{16} \end{matrix}$

$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}} + \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30}}}} < 9$

Ta có

$\sqrt{6}<3$

$\Rightarrow 6+\sqrt{6}<9$

$\Rightarrow \sqrt{6+\sqrt{6}}<3$

$\Rightarrow \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}<3$

Tương tự ta cũng có

$\sqrt{30}<6$

$\Rightarrow \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30}}}}<6$

Như vậy suy ra được đpcm.

Giải PT: $3x^2-5x-3+2\sqrt{x+3}(2-x)=0$

Giải

ĐK: $x\geqslant -3$

PT tương đương với:

$(2x-2)^{2}=(2-x-\sqrt{x+3})^{2}$

Đến đây thì dễ rùi nhỉ   

Đặt ĐK và biến đổi pt trở thành: $4cot^{6}x+3(2-cot^{2}x)^{4}=7(1)$

Đặt t=cot²x (t$\geq$0), pt tro thanh

$4t^{3}+3(2-t)^{4}=7 \Leftrightarrow 3t^{4}-20t^{3}+72t^{2}-96t+41=0 \Leftrightarrow (t-1)^{2}(3t^{2}-14t+41)=0 \Leftrightarrow t=1$

đến đây thay t vào giải dễ rồi

Cho 2 đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại điểm K, ((O') nằm trong (O)). Điểm A nằm trên (O) sao cho 3 điểm A, O, O' không thẳng hàng. Các tiếp tuyến AD và AE của (O') cắt (O) lần lượt tại B và C (D, E là các tiếp điểm). Đường thẳng AO' cắt (O) tại F. Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DE, FK đồng quy.

Tìm tất cả các hàm: $f:R\rightarrow R$ sao cho: $f(x+cos(2009y))=f(x)+2009cos(f(y));\forall x,y\epsilon R$

Cho đa thức: $P(x)=C_{2009}^{1}+2C_{2009}^{2}(2x)+3C_{2009}^{3}(2x)^{2}+...+2009C_{2009}^{2009}(2x)^{2008}$

Tính tổng của các hệ số bậc lẻ của đa thức đã cho.

Ta có:

$(1+2x)^{2009}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}(2x)^{k}$

$(1-2x)^{2009}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}(2x)^{k}(-1)^{k}$

Suy ra

$2009(1+2x)^{2008}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}k(2x)^{k-1}$

$-2009(1-2x)^{2008}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}k(2x)^{k-1}(-1)^{k}$

$\Rightarrow \frac{2009(1+2x)^{2008}-2009(1-2x)^{2008}}{2}=2C_{2009}^{2}(2x)+4C_{2009}^{4}(2x)^{3}+6C_{2009}^{6}(2x)^{5}+...+2008C_{2009}^{2008}(2x)^{2007}$

Vậy tổng của các hệ số bậc lẻ của P(x) là $\frac{2009(1+2.1)^{2008}-2009(1-2.1)^{2008}}{2}=\frac{2009(3^{2008}-1)}{2}$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho:

$\frac{x^{29}-1}{x-1}=y^{12}-1$