cho a;b >0 và $a^{3}+b^{3}+6ab\leq 8$

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{ab}+ab$

Từ gt, dễ dàng biến đổi ra được: $a+b\leqslant 2$

Ta có: $P=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{2}{2ab}+ab)+\frac{3}{2ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{\frac{1}{ab}.ab}+\frac{6}{(a+b)^2}=\frac{9}{2}$

Vậy $P_{Min}=\frac{9}{2}$

Biến đổi gt kiểu gì v bạn 

Nãy lười gõ $\LaTeX$
$(gt) \Leftrightarrow (a+b)^3+6ab-3ab(a+b)-8\leqslant 0$

$\Leftrightarrow (a+b-2)(a^2+b^2+ab+2a+2b+4)\leqslant 0$

$\Leftrightarrow a+b\leqslant 2$ (vì $a,b>0$)

Thanks bạn 

Giải pt sau 

$2x^{2}-2x-3+(3x+2)\sqrt{2x-3}=0$

Giải pt sau 

$2x^{2}-2x-3+(3x+2)\sqrt{2x-3}=0$

Giải pt sau 

$2x^{2}-2x-3+(3x+2)\sqrt{2x-3}=0$

$x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0$

$\Leftrightarrow \left(x^2-5x+6\right)\left(x^2+x-20\right)=0$

$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2+x-20\right)=0$

$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0$

Tập nghiệm của pt là S={2;3;4;-5}

Cách làm

Xét đa thức $f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ với $a\ne 0$

Khi đó 

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)$

$\Leftrightarrow ax^{4\: }+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

Trong đó

$\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}S=x_1+x_2=x_1+x_3=x_1+x_4=x_2+x_3=x_2+x_4=x_3+x_4\\S'=x_3+x_4=x_2+x_4=x_2+x_3=x_1+x_4=x_1+x_3=x_1+x_2\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}P=x_1x_2=x_1x_3=x_1x_4=x_2x_3=x_2x_4=x_3x_4\\P'=x_3x_4=x_2x_4=x_2x_3=x_1x_4=x_1x_3=x_1x_2\end{cases}}\end{cases}}$

Khi tìm đc S;S';P;P' thì bài toán sẽ đc giải quyết 

Quy trình ép tích 

Bước 1

Bấm máy tính tìm các nghiệm $x_1;x_2;x_3;x_4$

Gán $x_1\rightarrow A;x_2\rightarrow B;x_3\rightarrow C;x_4\rightarrow D$

Dùng máy tính dò tìm S;S';P;P' hợp lí nhất có thể

Dự đoán $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

Bước 2: Ép tích theo kết quả biết trước

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

P/s cách này hơi khó hiểu nhưng nếu hiểu đc nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán khó

Tìm số tự nhiên n, biết :

$\frac{16}{2^{n}}=2$

$\frac{16}{2^n}=2\Leftrightarrow 16=2.2^n\Leftrightarrow 2^n=8\Leftrightarrow n=3$

Cho a,b,c là các số thực dương.CMR

$\sum \frac{a^2\left(a+2b\right)}{\left(a+b\right)^2}\geqslant \frac{3}{4}(a+b+c)$

(lm giúp e = UCT vs ạ)

Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{x}+\frac{9}{x+y+z}\geq 4\sum \frac{1}{x+y}$

B1: Giải phương trình $\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}-\sqrt{x-1}=0$

B2: Giải phương trình $\sqrt{3x+4}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{x+3}=0$

B1: Giải pt $\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{x-2}=\sqrt[3]{2x-3}$

B2: Giải pt $\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+3}=0$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $13a + 5b + 12c = 9$. Chứng minh rằng

$\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant1$

(Ac giúp e bằng UCT vs ạ)

Bài này thì mình có cách này ko biết có thoả mãn yêu cầu của bạn ko:))
Ta có $\frac{ab}{2a+b}=\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{1}{a}}=\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}\leqslant\frac{2b+a}{9}$. Tương tự, ta sẽ có $\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant\frac{13a+5b+12c}{9}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{10}$

cách này thì mik đã lm rồi dù s cũng cảm ơn bạn mik đang tìm theo hướng UCT xem có đc không 

cho $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca+abc=2$ 

Tìm Max $\sum \frac{a+1}{a^{2}+2a+2}$

Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố cùng nhau và $(a-c)(b-c)=c^{2}$. Chứng minh rằng $2017^{2}abc$ là số chính phương 

Cho $n,p$ là các số nguyên sao cho $n>1$ và $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $(p-1)$ chia hết cho $n$ và $(n^{3}-1)$ chia hết cho $p$ thì $4p-3$ là 1 số chính phương 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$

Tìm Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt{1+c^2}}{c}$

Ta có: $P=\frac{(a+b)\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{b}=\frac{(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{(b+a)(b+c)}}{b}\geqslant \frac{(a+b)(c+\sqrt{ab})}{c}+\frac{(b+c)(a+\sqrt{bc})}{a}+\frac{(c+a)(b+\sqrt{ca})}{b}=2(a+b+c)+\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{c}+\frac{\sqrt{bc}(b+c)}{a}+\frac{\sqrt{ca}(c+a)}{b}\geqslant 2(a+b+c)+\frac{2ab}{c}+\frac{2bc}{a}+\frac{2ca}{b}\geqslant 4(a+b+c)\geqslant 4.\sqrt{3(ab+bc+ca)}=4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

a cho em hỏi tí dòng 3 là dùng bđt nào ạ

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ (I) nội tiếp và đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A. Đường tròn (K) tiếp xúc AB,AC và BC thứ tự tại D,E,F. Gọi r và R là bán kính (I) và (K). Chứng minh rằng:

a, A,I,K thẳng hàng 

b,Sabc=R.r

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, AB=c, AC=b. Qua O vẽ 1 đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AC thứ tự tại D,E. Chứng minh rằng: $\frac{CE}{b}+\frac{BD}{c}+\frac{OA^2}{BC}=1$

Giải phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+4}=0$

Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=1010$

Chứng minh rằng $\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}=2020$

Cho $a,b>0$ thỏa mãn $\sqrt{ab}(a-b)=a+b$ 

Tìm $Min P=a+b$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^3+1=4y^2$