Đề 1 - Vòng 1 - Lớp 10 năm 2015 ( thời gian làm bài : 150 phút )

Câu I ( 8.0 điểm )

1. Giải phương trình $2x^{2}+2x+5=(4x-1)\sqrt{x^{2}+3}$

2. Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix}

\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+\frac{2}{x+y}=\frac{1}{xy}  \\ x^{2}+y^{2}-\frac{1}{x+y}=-x^{2}+2x+1

\end{matrix}\right.$

Câu II ( 6.0 điểm )

1. Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c và các góc A, B, C

a. Chứng minh $b^{2}=a^{2}+ac$ khi và chỉ khi B=2A

b. Tìm tam giác ABC có B=2A và ba cạnh có số đo là ba số tự nhiên liên tiếp

2. Cho đường tròn (C) : $x^{2}+y^{2}-2x-y-5=0$ và đường thẳng $\triangle $ : $3x+4y-5=0$

a. Chứng minh đường thẳng $\triangle $ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt B,C

b. Tìm tọa độ A $\in $ (C) sao cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r=1

3. Cho tam giác ABC không đều thỏa mãn $a^{2}=4S.cosA$, trong đó a=BC và S là diện tích tam giác ABC. Gọi O và G theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABc. tính góc giữa 2 đường thẳng AG và OG

Câu III ( 6.0 điểm )

1. cho x,y > 0 thỏa mãn $x+y+2=3(\frac{x-1}{y}+\frac{y-1}{x})$

Tìm GTNN: $P=(x-y)^{2}(\frac{x^{2}}{y^{4}}+\frac{y^{2}}{x^{4}}-\frac{3}{xy})$

2. Cho x,y,z dương thỏa x + y+ z = 3

http://diendantoanho...ề-thi-chọn-hsg/

Góp một bài BPT

$\sqrt{x^{2}+4}+2\sqrt{x^{2}-4x+5}\leq 5$

Éc, nick longmy là của anh/chị Mai Hoàn Hảo trên facebook đó hả :v

em Hùng nolan thánh bóc phốt''s đây :v

Giải phương trình vô tỉ 1. $\sqrt[3]{x^{2}-1}+x=\sqrt{x^{3}-1}$

                                    2. $\sqrt[3]{x^{2}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

Tiện thể các bạn cho mình hỏi những phương trình dạng như trên ( có một căn bậc 2, một căn bậc 3 và một nhị thức ax+b ) có phương pháp tổng quát để giải không ? cảm ơn các bạn rất nhiều. 

bài 1 đề sai . phải là $\sqrt[3]{x^{2}-1}+x=\sqrt{x^{3}-2}$ mình đã tự giải đc bằng cách nhân liên hợp. các bạn giúp mình bài 2 và trường hợp tổng quát

Ở topic này, mỗi ngày mình sẽ post 1 đề chọn đội sơ tuyển học sinh giỏi lớp 10 và 11 của trường mình trong vài năm qua.

Đề 1 - Vòng 1 - Lớp 10 năm 2015 ( thời gian làm bài : 150 phút )

Câu I ( 8.0 điểm )

1. Giải phương trình $2x^{2}+2x+5=(4x-1)\sqrt{x^{2}+3}$

2. Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix}

$PT(1)+3PT(2) \rightarrow.......(x+1)[(x+1)^{2}+3(y-4)^{2}]=0$

Đến đây dễ dàng tìm ra nghiệm của hệ là $(x;y)=(-1;4),(-1;-4)$

tại sao lại nghĩ ra đc nhân 3 cho pt 2 rồi cộng lại vậy bạn

$\sqrt{x^{2}+4}+2\sqrt{x^{2}-4x+5}\leq 5$

1. Cho các số a,b,c thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN biểu thức 

$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}+ab}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}$

2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh :

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phủ đưa về hệ 

$\sqrt[3]{x^{2}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

nghiệm của BPT trên volframalpha http://www.wolframal...{2}-4x+5}\leq 5

Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{2}=-49\\ x^{2}-8xy+y^{2}=8y-17x \end{matrix}\right.$

giải hệ pt: 

1.  $\left\{\begin{matrix} \sqrt{11x-y}-\sqrt{y-x}=1\\ 7\sqrt{y-x}+6y-26x=3 \end{matrix}\right.$

2.  $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+1=4y\\y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2 \end{matrix}\right.$

3.  $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+4xy=6\\2x^{2}+8=3y+7x \end{matrix}\right.$

4.  $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y \end{matrix}\right.$

giải pt vô tỉ: $\sqrt[3]{81x-8}=-2x^{2}+\frac{4}{3}x-2$

tiện đây các bạn cho mình hỏi có cách nào để giải pt tổng quát dạng $\sqrt[3]{ax+b}=cx^{2}+dx+e$ hay $\sqrt{ax+b}=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$ không ? hoặc bạn nào có tài liệu về pt dạng này cho mình xin. mình cảm ơn nhiều

Đặt $t=x-1$ suy ra $x=t+1$. Rồi gán ẩn phụ này vào pt mà giải: cách giải loằng ngoằng lắm, bạn có thể xem coccoc.com giải sao đó mà ra được hai nghiệm phụ $t=1\mbox{hay}t\approx 2,59$. Bạn tự suy ra x.

có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ không

giải các phương trình vô tỉ

1. $\sqrt{x^{2}+3x+2}+\sqrt[4]{-x^{4}+3x^{3}+6x^{2}-18x-20}=\sqrt[3]{-x^{4}+3x^{3}+7x^{2}-15x-18}$

2. $(x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$

3. $\frac{x-3x^{2}}{2}+\sqrt{2x^{4}-x^{3}+7x^{2}-3x+3}=2$

4. $384x^{2}-96\sqrt[6]{4x-1}-96\sqrt[4]{6x+13}-302x+343=0$

5. $\sqrt{x^{2}-\frac{7}{x^{2}}}+\sqrt{x-\frac{7}{x^{2}}}=x$

Bài này mình nghĩ sai đề vì số quá to với lại nhập vào cốc cốc thì vô nghiệm còn để nói về cái dạng tổng quát thì sử dụng UCT để làm như sau 

$\sqrt[3]{ax+b}=\alpha (ax+b)^2+\beta (ax+b)+\gamma $

$\sqrt{ax+b}=\alpha (ax+b)^3+\beta (ax+b)^2+\gamma (ax+b)+\theta$

bạn giải thích kĩ hơn cho mình về UCT được không ? và sau khi đưa về dạng trên làm tiếp như thế nào ?

bài trên mình thử nhân cả 2 vế với ax+b => VP trở thành bt bậc 3, vt có dạng $f(x)\sqrt[3]{g(x)}$, sau đó mình cố gắng đồng nhất hệ số đưa về dạng  $\left [ A(x) \right ]^{3}+B(x)=C(x)\sqrt[3]{C(x)A(x)-B(x)}$

rồi đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại 2

thì có vẻ ra 

c/m vế sau vô nghiệm ra răng

giải các hệ phương trình 

1. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=3\\ \sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}=5 \end{matrix}\right.$

2. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-y}-\sqrt{x+y}=2\\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4 \end{matrix}\right.$

3. $\left\{\begin{matrix} x(y^{3}-2)=3\\x^{3}(3y+2) =1 \end{matrix}\right.$

4. $\left\{\begin{matrix} 2y^{2}-x^{2}=1\\ 2x^{3}-y^{3}=2y-x \end{matrix}\right.$

5. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{y^{2}+3}+x+y=5\\ \sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{y^{2}+3}-x-y=2 \end{matrix}\right.$

giải phương trình vô tỉ : $\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^{2}+4}}$

bài toán này thầy mình nói dùng nhân liên hợp để giải, nhưng mình nhẩm đc 2 nghiệm là 2 và 2/3 , với biểu thức sau khi nhân liên hợp cũng rất khó đánh giá. mong các bạn giúp đỡ mình bài này ( không cần theo cách nhân liên hợp cũng được ). mình cảm ơn nhiều

Giải hệ pt: 

$\left\{\begin{matrix} 2x\sqrt{1-4x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}=2 & & \\ y\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-4x^{2}}=1 & & \end{matrix}\right.$

1. Cho các số a,b,c thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN biểu thức 

$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}+ab}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}$

2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh :

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

Liên hợp trực tiếp 2 căn thức VT với nhau ta có:

$\frac{6x-4}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^{2}+4}}$

Từ đó ta thấy có nghiệm là 2/3.

Cho 2 cái mẫu số ở trên bằng nhau rồi bình phương 2 vế ta có:

$4\sqrt{2(4-x^{2})}=(x-2)(x+4)$

Suy ra x $\geq$2 hoặc x$\leq$-4. Mà theo điều kiện ban đầu ta có: $-2\leq x\leq 2$

Suy ra có nghiệm x=2.

P/s: Đây là cách mình nghĩ ra không biết sai sót gì không.

cảm ơn bạn nhiều

Giải hệ phương trình.

1. $\left\{\begin{matrix} x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}=x^{2}+y\\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}=y^{2}+x \end{matrix}\right.$

2. $\left\{\begin{matrix} a(a+b)=3\\b(b+c)=30 \\c(c+a)=12 \end{matrix}\right.$