Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
2/cho a,b,c $\geq 0$ .CMR:
a)$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
b)$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a+b+c+1)^2$
c)$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$
d)$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$
e)$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

Thêm một bài nửa nha
Cũng Phân tích đa thức thành nhân tử:
(a+b)(b+c)(c-a)+(b+c)(c+a)(a-b)+(c+a)(a+b)(b-c)

bạn thay $a-b=-\left [ (c-a)+(b-c) \right ]$ là xong
Kết quả:(b-c)(c-a)(b-a)

AI GIẢI DÙM MÌNH BÀI NÀY VỚI
Phân tích đa thức thành nhân tử
a(b²+c²+bc)+b(c²+a²+ac)+c(a²+b²+ab)

LÀM GIÙM NHA

biến đổi ta sẽ có:(a+b+c)(ab+bc+ca)

1. Cho hình thang cân ABCD (AB song song CD), AB khác CD. CMR: Giao điểm hai đường chéo, giao điểm hai cạnh bên, các trung điểm của hai đáy thẳng hàng.

Mình ko vẽ đc hình bạn thông cảm nhé
Gọi AC cắt BD tại O và AD cắt BC tại E(vẽ AB<CD nhé) .Gọi EO cắt AB tại M,cắt CD tại N.
Ta có DO=OC(cái này dễ)$\Rightarrow \Delta EOD=\Delta EOC(ccc)\Rightarrow$ EM là phân giác của $\widehat{DEC}$
Mà tam giác EAB cân tại A nên M là trung điểm của AB.
Tương tự N là trung điểm của DC
Vậy có dpcm

cho các số nguyên x và y thỏa mãn 4x+5y=7.Tìm GTNN của biểu thức sau:
P=$5\left |x \right |-3\left | y \right |$

Ta có: $y=\frac{7-4x}{5}$ và x,y ngược dấu
TH1:$x>0,y<0$ ta có:
$P=5x+3y=5x+3\frac{7-4x}{5}=4+\frac{13x+1}{5}$
Do $P\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow 13x+1\vdots 5$(1)
P min khi $x\epsilon \mathbb{N},x>0$, $x$ min và thoả mãn (1)$\Rightarrow x=3$$\Rightarrow y=-1$$\Rightarrow P=12$
TH2:$x<0,y>0$ ta có:
$P=-5x-3y=-5x-3\frac{7-4x}{5}=-4-\frac{13x+1}{5}$
$P\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow 13x+1\vdots 5$(2)
P min khi $x\epsilon \mathbb{Z},x<0$,$x$ max và $x$ thoả mãn (2)$\Rightarrow x=-2$$\Rightarrow y=3\Rightarrow P=-1$
Vậy Pmin=1 khi x=-2,y=3.

Cái này bạn có thể tìm tại liệu về SOS để đọc nếu thích.Nhưng mà làm bất đẳng thức bằng SOS mọi người thương không thích đọc đâu.Híc

bạn ơi SOS là cái gì và tài liệu ở đâu vậy?

Cho a,b,c>0.CM:$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Bài 1 : Cho x>0 ,y>0 , z>0 và x+y+z=xyz 

 

$P= \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

 

Tim max P ?

Đáp số : 3/2

 

 

 

 

Bài 1:

Ta có : $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x(x+y+z)}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z})(1)$    

Tương tự : $\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x}{y+x}+\frac{z}{y+z})(2)$  

                  $\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x}{z+x}+\frac{y}{z+y})(3)$  

Từ (1),(2),(3) :

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x})=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Vậy max P=$\frac{3}{2}$  khi $x=y=z=\sqrt{3}$

bạn dũng cứ hay đùa các a,c vmf thế

Đặt a+1=x; b+2=y ; c+3=z => a=x-1; b=y-2; c=z-3
Thay vào A = $(x-1)(y-2) + (y-2)(z-4) + (z-3)(x-3)$
= $(xy+yz+zx) - 5(x+y+z) + 19$
$\Rightarrow 2A+ x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2} - 10(x+y+z) + 38 = (x+y+z-5)^{2}+13 \geq 13$
$\Rightarrow A\geq \frac{13-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{2}=\frac{13-2012^{2}}{2}=\frac{-1999}{2}$

Phải đặt là x+1=a chứ

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xyz=1$
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
b,$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq 1$
P/S : Đây là những bài toán mình sưu tầm trên THTT, mọi người cùng thảo luận

Do x,y,z>0 và xyz=1 nên tồn tại a,b,c sao cho:$x=\frac{bc}{a^2},y=\frac{ca}{b^2},z=\frac{ab}{c^2}$
Thay vào ta được:
$\sum \frac{a^4}{(a^2+bc)^2}+\frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}\geq 1$
Sử dụng Cauchy-Schwarz ta có:
$(a^2+bc)^2\leq (a^2+b^2)(a^2+c^2)$
$\Rightarrow \sum \frac{a^4}{(a^2+bc)^2}\geq \sum \frac{a^4}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}=1-\frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$
Từ đó cần chứng minh:
$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\geq (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)$
Nhưng BDT này đúng vì:$a^2+bc\leq \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}$
Kết thúc chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

$\Rightarrow 0< a,b,c\leq 1$
$\Rightarrow a\geq a^{2}$
$\Rightarrow a+b+c\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}\geq 1$
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 9$
$\Rightarrow A\geq 10$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

nếu a=b=c=1/3 thì A=30 chứ.

Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác, $a,b,c\epsilon \mathbb{N}$ thỏa mãn:$2a^{2}+3b^{2}+2c^{2}-4a.b+2a.c-20=0$.Chứng minh tam giác đó đều.

Cho a,b,c >0 . Chứng minh

$\frac{1}{a\left ( b+1 \right )}+\frac{1}{b\left ( c+1 \right )}+\frac{1}{c\left ( a+1 \right )}\geq \frac{3}{1+abc}$

BDT$\Leftrightarrow \frac{1+abc}{a(1+b)}+\frac{1+abc}{b(1+c)}+\frac{1+abc}{c(1+a)}\geq 3$

$\Leftrightarrow \left [ \frac{1+abc}{a(1+b)}+1 \right ]+\left [ \frac{1+abc}{b(1+c)}+1 \right ]+\left [ \frac{1+abc}{c(1+a)}+1 \right ]\geq 6$

$\Leftrightarrow \frac{(1+a)+ab(1+c)}{a(1+b)}+\frac{(1+b)+bc(1+a)}{b(1+c)}+\frac{(1+c)+ca(1+b)}{c(1+a)}\geq 6$

$\Leftrightarrow \frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{1+a}\geq 6$

Mặt khác ta có:$\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{a(1+b)}{1+a}\geq 2$ (BDT Cauchy)

Thiết lập các BDT tương tự như trên ta có được đ.p.c.m

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

ban

Xin phép chém bài 2:
Ta nhận thấy $x^{2}+y^{2}+t^{2}=21$ mà x,y,t thuộc N
$\Rightarrow (x,y,t)=(1,2,4)$ và các hoán vị của chúng.
$M=21+2z^{2}\Rightarrow$ để M min thì $2z^{2}$ min
Mà $z^{2}=\frac{101-x^{2}-3y^{2}}{4}=\frac{101-(x^{2}+y^{2})-2y^{2})}{4}$
$x^{2}+y^{2}\leqslant 2^{2}+4^{2}=20$
$2y^{2}\leqslant 2.4^{2}=32$
$\Rightarrow z^{2}\geqslant \frac{101-20-32}{4}=\frac{49}{4}$
Vậy tìm được min M

mình sửa lại đề rồi bạn làm thử đi

Bài 1:Cho $x> 0,y $\geq$ 0$ thỏa mãn: $x^3+y^3=x-y$.Tìm max của $P=x^2+y^2.$

Bài 2:Cho $M=x^2+y^2+2z^2+t^2(x,y,z,t \in \mathbb{N})$.Tìm min M biết: $x^2-y^2+t^2=21,x^2+3y^2+4z^2=101$

--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>> Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toán

đáp số đúng rồi

đề kia không tìm được đâu

Chứng minh rằng với mọi $x \ge 0$ ta có: $2x^4+4x^3-4x^2-x+2 > 0 $
___

nếu $x=0 $ thì BDT trên đúng
nếu $x> 0$:BĐT$\Leftrightarrow$$x(2x^{3}+4x^{2}-4x-1+\frac{2}{x})> 0$
$\Leftrightarrow$$x((2x-1)^{2}+\frac{(\sqrt{2}x^{2}-\frac{1}{2.\sqrt{2}})^{2}+(x-1)^{2}+\frac{7}{8}}{x})> 0$(đúng)
Vậy ta có đpcm

Bài 1:
Cho $a,b,c\epsilon \mathbb{R},\geq 0$. CM:
$\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{3b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{3c^2+(a+b)^2}\leq \frac{1}{2}$
Bài 2:
Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn:a+b+c+d=4.Tìm max
$\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{d+a+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}$
Bài 3:
Cho $a,b,c,d\epsilon \mathbb{R}$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+d^2=1$.CM
$\frac{1}{1-(\frac{a+b}{2})^2}+\frac{1}{1-(\frac{a+c}{2})^2}+\frac{1}{1-(\frac{a+c}{2})^2}+\frac{1}{1-(\frac{b+c}{2})^2}+\frac{1}{1-(\frac{b+d}{2})^2}+\frac{1}{1-(\frac{c+d}{2})^2}\leq 8$
Bài 4:
Cho a,b,c không âm.CM:
$\frac{b^3}{a^3+2b^3+c^3}+\frac{c^3}{a^3+2c^3+b^3}+\frac{a^3}{b^3+2a^3+c^3}\leq \frac{a+b++c}{4}$

Giải phương trình: $4^x-12.x^2+32=0$

Bài toán này dấu bằng xảy ra không tại tâm $a=b=c$ đâu nhé!Đây là bài toán mở rộng của thi quốc gia Mĩ

Nếu bài này là đề thi của Mỹ thì đề bài là $a+b+c=3$. Khi đó $a=b=c=1$. Còn nếu không phải như thế thì mình giải sai rồi.

2:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:$x+y+z=\sqrt[3]{7}$.Tìm min:$A=(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)$

Đề bài phải là $a+b+c=\sqrt[3]{7}$ nhé!

 

Ta dễ dàng chứng minh các BĐT sau bằng biến đổi tương đương:

                                    $a^5-a^2+3\geq a^3+2$

                                    $b^5-b^2+3\geq b^3+2$

                                    $c^5-c^2+3\geq c^3+2$

Nên ta có:

$A\geq (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)$

   $=(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)$

   $\geq (a+b+c)^3$   (theo BĐT $Holder$)

   $=7$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt[3]{7}}{3}$

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$

Bài 1
BDT tương đương vs:
$(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{b+c})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{b}{a+b}+1$
Hay
$\frac{ca}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(b+c)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$
AD cauchy schwarz:
$\frac{ca}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(b+c)}=\frac{a}{c(b+c)}(\frac{c^2}{b}+\frac{b^2}{a})\geq \frac{a}{c(b+c)}\frac{(c+b)^2}{b+a}=\frac{a(b+c)}{c(a+b)}$
Cần cm:
$\frac{a(b+c)}{c}+\frac{bc}{a}\geq a+2b\Leftrightarrow \frac{b(c-a)^2}{ca}\geq 0$ (đúng)
Dấu = khi a=b=c
----------------------------------------------
Bạn nên gìn giữ sự tr0ng sáng của tiếng Việt khi tham gia thảo luận trên diễn đàn! Thân

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}$$
Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\left(\frac{a+b+c}{3}+1\right)^3\geq \frac{8(a+bc)(b+ac)(c+ab)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Ta có: $\frac{9}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{(a+b+c)^{2}}{2a^2+(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}$ (Áp dụng cauchy schwarz)
$\Rightarrow 9\sum \frac{1}{4a^2+b^2+c^2}\leq \frac{3}{2}+\sum (\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2})=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$
Chia 2 vế cho 9 ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

a/$\sqrt{5x^{2}+14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}= 5\sqrt{x+1}$

b/$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}+1}$

a)$PT\Leftrightarrow \sqrt{5x^2+14x+9}=\sqrt{x^2-x-20}+5\sqrt{x+1}$

$\Leftrightarrow 5x^2+14x+9=x^2+24x+5+10\sqrt{(x^2-x-20)(x+1)}$ (Bình phương 2 vế)

$\Leftrightarrow 4x^2-10x+4=10\sqrt{(x^2-4x-5)(x+4)}$

Đặt  $\sqrt{x^2-4x-5}=a , \sqrt{x+4}=b$

$\Rightarrow 4a^2+6b^2=10ab$

$\Leftrightarrow (2a-3b)(a-b)=0$

Đến đây chỉ cần xét $2a=3b$ hoặc $a=b$ (phần này bạn làm nốt nha)

 

b) Mình nghĩ đề phải là:

$2x^2-5x-1=7\sqrt{x^3-1}$

Nếu đề như vậy thì ta đặt $\sqrt{x-1}=a,\sqrt{x^2+x+1}=b$

Từ phương trình $\Rightarrow 2b^2+3a^2=7ab$

$\Leftrightarrow (2b-a)(b-3a)=0$

Đến đây là dễ rồi