Phạm Hữu Bảo Chung's Content
There have been 549 items by Phạm Hữu Bảo Chung (Search limited from 14-05-2020)
#446850 Tìm min $A=\left(1+x\right)\left(1+\frac{1...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 01-09-2013 - 14:33 in Bất đẳng thức và cực trị
#448417 $x^{3}-y^{3}-2=3x-3y^{2} \\ x^...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 07-09-2013 - 13:47 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải
ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$
Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$
Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$
Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$
#445655 $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 27-08-2013 - 00:09 in Đại số
#444394 Giải hệ phương trình: $ \begin{cases} x^{3}+xy...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 20-08-2013 - 21:54 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
#443892 Định m để phương trình f(x) =m có nghiệm
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 18-08-2013 - 17:30 in Hàm số - Đạo hàm
#449034 Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$: $tan\a...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 09-09-2013 - 13:59 in Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
Do $- \pi < \alpha < 0 \Rightarrow \sin{\alpha} < 0 \Rightarrow \cos{\alpha} < 0$ vì $\tan{\alpha} > 0$
Ta có:
$\cos^2{\alpha} = \dfrac{1}{1 + \tan^2{\alpha}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \cos{\alpha} = \dfrac{-2}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow \sin{\alpha} = \dfrac{-1}{\sqrt{5}} \Rightarrow \cot{\alpha} = 2$
#449546 $\left\{\begin{matrix} (2012-3x)\sqrt...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 12-09-2013 - 00:12 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải
ĐK: $x \leq 4; y \leq \dfrac{3}{2}; x \geq \dfrac{8y}{7}$ và $x \geq \dfrac{9y}{7}$
Đặt $\sqrt{4 - x} = a; \sqrt{3 – 2y} = b \, (a, b \geq 0)$
Phương trình (1) của hệ tương đương:
$(2000 + 3a^2)a - (2000 + 3b^2)b = 0 \Leftrightarrow 3(a^3 - b^3) + 2000(a - b) = 0$
$\Leftrightarrow (a - b)\left [3(a^2 + ab + b^2) + 2000\right ] = 0 \Leftrightarrow a = b \Rightarrow 2y = x - 1$
Thế $2y = x - 1$ vào phương trình (2) của hệ, ta được:
$$2\sqrt{3x + 4} + 3\sqrt{5x + 9} = x^2 + 6x + 13$$
Với điều kiện $x \geq \dfrac{-4}{3}$, phương trình trên tương đương:
$x^2 + x + 2\left (x + 2 - \sqrt{3x + 4}\right ) + 3\left (x + 3 - \sqrt{5x + 9}\right ) = 0$
$\Leftrightarrow x^2 + x + \dfrac{2(x^2 + x)}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3(x^2 + x)}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}} = 0$
$\Leftrightarrow (x^2 + x)\left ( 1 + \dfrac{2}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}}\right ) = 0$
Do $x \geq \dfrac{-4}{3} \Rightarrow 1 + \dfrac{2}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}} > 0$
Vậy $x^2 + x = 0 \Rightarrow \left[\begin{matrix}x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{-1}{2}\\x = -1 \Rightarrow y = -1\end{matrix}\right.$
#459635 Giải hệ $\begin{cases}2\left(1-y^3\right)=y^2.....
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 24-10-2013 - 15:05 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải
ĐK: $xy \geq 0$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$xy^2 + 2y^2\sqrt{2xy} + 2y^3 + \sqrt[3]{y + 8} - 2 = 0$
$\Leftrightarrow y(xy + 2y\sqrt{xy} + 2y^2) + \dfrac{y}{\sqrt[3]{(y + 8)^2} + 2\sqrt[3]{y + 8} + 4} = 0$
$\Leftrightarrow y \left [ (\sqrt{xy} + \sqrt{2}y)^2 + \dfrac{1}{\sqrt[3]{(y + 8)^2} + 2\sqrt[3]{y + 8} + 4}\right ] = 0$
$\Leftrightarrow y = 0$
Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
$x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0$
$\Leftrightarrow 2x^3 = (x - 2)^3 \Rightarrow x = \dfrac{2}{1 - \sqrt[3]{2}}$
#457296 Tìm $A,B$ đối xứng với nhau qua $d:y=x+1$
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 12-10-2013 - 23:35 in Hàm số - Đạo hàm
Giải
Ta có: $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x - 2} = x + 3 + \dfrac{7}{x - 2}$
Đặt $A\left (a; a + 3 + \dfrac{7}{a - 2} \right )$ và $ B\left (b; b + 3 + \dfrac{7}{b - 2} \right )$
Khi đó, để A, B đối xứng với nhau qua d thì: $\left\{\begin{matrix}AB \perp d\\d_{(A; (d))} = d_{(B; (d))}\end{matrix}\right.$
Hệ số góc của AB là:
$k_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{b - a + \dfrac{7}{b - 2} - \dfrac{7}{a - 2}}{b - a} = 1 - \dfrac{7}{(a - 2)(b - 2)}$
Khi đó, để $AB \perp (d)$ thì: $k_(d).k_{AB} = -1 \Rightarrow k_{AB} = -1 \Rightarrow \dfrac{1}{(a - 2)(b - 2)} = \dfrac{2}{7}$
Ta có:
$d_{A; (d)} = \dfrac{\left | a + 1 - (a + 3 + \dfrac{7}{a - 2})\right |}{\sqrt{2}} = \dfrac{\left | 2 + \dfrac{7}{a - 2}\right |}{\sqrt{2}}$
Tương tự: $d_{B; (d)} = \dfrac{\left | 2 + \dfrac{7}{b - 2}\right |}{\sqrt{2}}$
Vậy:
$ d_{A; (d)} = d_{B; (d)} \Leftrightarrow \left | 2 + \dfrac{7}{a - 2}\right | =\left | 2 + \dfrac{7}{b - 2}\right | $
$\Rightarrow \left[\begin{matrix}2 + \dfrac{7}{a - 2} = 2 + \dfrac{7}{b - 2}\\2 + \dfrac{7}{a - 2} = - 2 - \dfrac{7}{b - 2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = b\\\dfrac{1}{a - 2} + \dfrac{1}{b - 2} = \dfrac{-4}{7}\end{matrix}\right.$
Vì A, B phân biệt nên $a \neq b$. Vậy, ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{(a - 2)(b - 2)} = \dfrac{2}{7}\\\dfrac{1}{a - 2} + \dfrac{1}{b - 2} = \dfrac{-4}{7}\end{matrix}\right.$
Hệ vô nghiệm.
#452732 Giải các hệ PT sau:
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 24-09-2013 - 13:12 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải
a) ĐK: $x \geq 1$ và $y \geq 0$
Với điều kiện trên, phương trình (2) tương đương: $\sqrt{y} = x - 1$
Thế vào phương trình (1), ta được:
$\sqrt{x - 1} - (x - 1) = 8 - x^3$
$\Leftrightarrow \sqrt{x - 1}(1 - \sqrt{x - 1}) = 8 - x^3$
$\Leftrightarrow \sqrt{x - 1}\dfrac{2 - x}{1 + \sqrt{x - 1}} = (2 - x)(4 + 2x + x^2)$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 2\\\dfrac{\sqrt{x - 1}}{1 + \sqrt{x - 1}} = x^2 + 2x + 4 \, (3)\end{matrix}\right.$
Nhận thấy, phương trình (3) có: $VT < 1 < 3 + (x + 1)^2 = VF$.
Vậy ta chỉ nhận $x = 2 \Rightarrow y = 1$
#450733 $\left\{\begin{matrix} (\frac{1-...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 15-09-2013 - 16:33 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải
ĐK: $x \neq 0$
Phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$(xy + 2)^2 - 2\dfrac{1}{x}(xy + 2) + \dfrac{1}{x^2} = 0$
$\Leftrightarrow \left (xy + 2 - \dfrac{1}{x} \right )^2 = 0 \Rightarrow xy + 2 = \dfrac{1}{x}$
Thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có:
$\left ( \dfrac{1}{x^2} - 1 \right )^3 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2} = \left ( \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x}\right )^3$
Đặt $a = \dfrac{1}{x} \Rightarrow (a^2 - 1)^3 + a - \dfrac{1}{2} = (a^2 - 2a)^3$
$\Leftrightarrow \left [(a^2 - 1)^3 - (a^2 - 2a)^3 \right ] + \dfrac{2a - 1}{2} = 0$
$\Leftrightarrow (2a - 1)\left [ (a^2 - 1)^2 + (a^2 - 1)(a^2 - 2a) + (a^2 - 2a)^2 + \dfrac{1}{2}\right ] = 0$
$\Rightarrow a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{-3}{4}$
#443491 $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3-3x^2-15x+18...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 16-08-2013 - 22:14 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
#443142 Giải bất phương trình: $\sqrt{\frac{8}{x-2...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 15-08-2013 - 20:54 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
#392708 $\lim_{x \to 0}\left ( \frac{98}...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 03-02-2013 - 08:46 in Dãy số - Giới hạn
$\lim_{x \to 0}\left ( \frac{98}{83}.\frac{1-\cos 3x\cos 5x\cos7x}{\sin^{2}7x} \right ) $
Giải
$\lim_{x \to 0}\left ( \frac{98}{83}.\frac{1-\cos 3x\cos 5x\cos7x}{\sin^{2}7x} \right )$$= \lim_{x \to 0}\left ( \frac{98}{83}.\frac{1-\cos 5x.\dfrac{\cos{10x} + \cos{4x}}{2}}{\sin^{2}7x} \right )$
$ = \lim_{x \to 0}\left ( \frac{98}{83}.\frac{1- \dfrac{\cos{15x} + \cos{5x} + \cos{9x} + \cos{x}}{4}}{\sin^{2}7x} \right )$
$ = \lim_{x \to 0}\left ( \frac{98}{83}.\frac{4 - (\cos{15x} + \cos{5x} + \cos{9x} + \cos{x})}{4\sin^{2}7x} \right )$
$= \lim_{x \to 0}\left ( \frac{98}{83}.\dfrac{1}{2}\frac{\sin^2{7,5x} + \sin^2{2,5x} + \sin^2{4,5x} + \sin^2{0,5x}}{\sin^2{11x}} \right )$
Chú ý rằng: $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1$
Do đó:
$\lim_{x \to 0}\left ( \frac{98}{83}.\frac{1-\cos 3x\cos 5x\cos7x}{\sin^{2}7x} \right ) $
$= \dfrac{49}{83}.\dfrac{7,5^2 + 4,5^2 + 2,5^2 + 0,5^2}{7^2} = 1$
#413307 Giải phương trình $sinx+2=2cosxcos(2x-\frac{\pi }...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 17-04-2013 - 22:02 in Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Giải phương trình:
$\sin{x} + 2 = 2\cos{x}\cos{(2x - \dfrac{\pi}{6})} + 4\sin^2{x}$
Giải
Phương trình ban đầu tương đương:
$\sin{x} + 2(1 - 2\sin^2{x}) = 2\cos{x}\cos{(2x - \dfrac{\pi}{6})}$
$\Leftrightarrow \sin{x} + 2\cos{2x} = 2\cos{x}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{2x} + \frac{1}{2}\sin{2x} \right )$
$\Leftrightarrow \sin{x} + 2\cos{2x} = \sqrt{3}\cos{x}\cos{2x} + 2\sin{x}\cos^2{x}$
$\Leftrightarrow 2\cos{2x} = \sqrt{3}\cos{x}\cos{2x} + \sin{x}\left ( 2\cos^2{x} - 1\right )$
$\Leftrightarrow \cos{2x}\left ( \sqrt{3}\cos{x} + \sin{x} - 2 \right ) = 0$
- Nếu $\cos{2x} = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \, (k \in \mathbb{Z})$
- Nếu $\sqrt{3}\cos{x} + \sin{x} - 2 = 0$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x} + \frac{1}{2}\sin{x} = 1$
$\Leftrightarrow \sin{\left ( x + \frac{\pi}{3} \right )} = 1$
$\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k2\pi$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \, (k \in \mathbb{Z})$
#345460 Giải phương trình$cos2x+5=2\sqrt{2}(2-cosx)(sinx -\f...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 10-08-2012 - 13:05 in Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
$\cos{2x} + 5 = 2\sqrt{2}(2-\cos{x})(\sin{x -\frac{\pi }{4}})$
Giải
Phương trình tương đương:$\cos{2x} + 5 = 2\sqrt{2}(2 - \cos{x}).\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin{x} - \cos{x})$
$\Leftrightarrow \cos{2x} + 5 = 2(2 - \cos{x})(\sin{x} - \cos{x})$
$\Leftrightarrow 2\cos^2{x} + 4 = 2(2\sin{x} - 2\cos{x} - \sin{x}.\cos{x} + \cos^2{x})$
$\Leftrightarrow 2 = 2(\sin{x} - \cos{x}) - \sin{x}\cos{x} \,\, (2)$
Đặt $a = \sin{x} - \cos{x} = \sqrt{2}\sin{(x -\frac{\pi }{4})} \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$
$\Rightarrow \sin{x}.\cos{x} = \dfrac{1 - a^2}{2}$
(2) trở thành: $2a - \dfrac{1 - a^2}{2} = 2 \Leftrightarrow (a - 1)(a + 5) = 0$
$\Rightarrow a = 1 \Rightarrow \sin{(x -\frac{\pi }{4})} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\\x - \dfrac{\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\x = \pi + 2k\pi\end{array}\right.$
#332819 $\begin{cases}2-\sqrt{x^2y^4+2xy^2-y^4+1}= 2( 3-\sqrt 2-x...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 07-07-2012 - 14:07 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải
ĐK: $\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}{y}^{4}+2x{y}^{2}-{y}^{4}+1 \geq 0\\x \geq y^2 \geq 0\end{array}\right.$Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$2-\sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4}= 2( 3-\sqrt{2}){y}^{2} - 2xy^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{(xy^2 + 1 - y^2)(xy^2 + 1 + y^2)} = 2(1 + xy^2) - 2(3 - \sqrt{2})y^2 \,\, (3)$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{xy^2 - y^2 + 1} \geq 0\\b = \sqrt{xy^2 + y^2 + 1} \geq 1\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}xy^2 + 1 = \dfrac{a^2 + b^2}{2}\\y^2 = \dfrac{b^2 - a^2}{2}\end{array}\right.$
Phương trình (3) trở thành:
$ab = 2.\dfrac{a^2 + b^2}{2} - 2(3 - \sqrt{2})\dfrac{b^2 - a^2}{2}$
$\Leftrightarrow ab = a^2 + b^2 + (3 - \sqrt{2})(a^2 - b^2)$
$\Leftrightarrow (4 - \sqrt{2})a^2 - ab - (2 - \sqrt{2})b^2 = 0 $
$\Leftrightarrow (4 - \sqrt{2})(\dfrac{a}{b})^2 - \dfrac{a}{b} - 2 + \sqrt{2} = 0$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{a}{b} = \dfrac{-\sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}\end{array}\right.$
Do $a \geq 0, b \geq 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{xy^2 - y^2 + 1}{xy^2 + y^2 + 1} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow xy^2 - 3y^2 + 1 = 0 \,\, (4)$
Dễ thấy $x \neq 3$ (vì x = 3 thì (4) tương đương với 0 = 1. Vô lý)
Từ (4), suy ra: $y^2 = \dfrac{-1}{x - 3}$
Thế vào (2), ta được:
$\sqrt{x+ \dfrac{1}{x - 3}}= 3 - x$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq 3\\x^3 - 10x^2 + 30x - 28 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq 3\\(x - 2)(x^2 - 8x + 14) = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x = 2\\x = 4 \pm \sqrt{2}\end{array}\right.\\x \leq 3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\x = 4 - \sqrt{2}\end{array}\right.$
- Với x = 2, suy ra $y = \pm -1$
- Với $x = 4 - \sqrt{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\sqrt{2} + 1}$
#328801 $(2sinx-1)(cos2x+5sinx-1)=3-4cos^2x$
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 24-06-2012 - 20:41 in Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
$$(2sinx-1)(cos2x+5sinx-1)=3-4cos^2x$$
Giải
Phương trình tương đương:$(2sinx-1)(cos2x+5sinx-1)= -1 + 4( 1 - cos^2x)$
$\Leftrightarrow (2sinx-1)(cos2x+5sinx-1) = (2\sin{x} - 1)(2\sin{x} + 1)$
$\Leftrightarrow (2\sin{x} - 1)(1 - 2\sin^2{x} + 5\sin{x} - 1 - 2\sin{x} - 1) = 0$
$\Leftrightarrow (2\sin{x} - 1)(2\sin^2{x} - 3\sin{x} + 1) = 0$
$\Leftrightarrow (2\sin{x} - 1)^2(\sin{x} - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = \dfrac{1}{2}\\\sin{x} = 1\end{array}\right.$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6}+ 2k\pi\\x = \dfrac{5\pi}{6}+ 2k\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\end{array}\right. \,\, k \in Z$
#422073 giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x-3y=4...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 29-05-2013 - 22:03 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải
ĐK: $x, y \neq 0$
Hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{matrix} x^2 - 3xy = 4y & & \\ y^2 - 3xy = 4x& & \end{matrix}\right.$
Lấy hai phương trình trừ cho nhau vế theo vế, ta được:
$x^2 - y^2 = 4y - 4x \Leftrightarrow (x - y)(x + y + 4) = 0$
- Với x = y, hệ tương đương: $\left\{\begin{matrix} x - 3x = 4 & & \\ x = y & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = y = -2$
- Với x + y = - 4, hệ tương đương: $\left\{\begin{matrix} x^2 - 3x.(-4 - x) = 4(- 4 - x)& & \\ x = - 4 - y & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = y = -2$
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (-2; -2)
#423955 tìm Min $P=\sum \sin \frac{A}{2}+...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 04-06-2013 - 23:03 in Bất đẳng thức và cực trị
Giải
Chú ý bất đẳng thức:
$0 < \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}} \leq \dfrac{3}{2}$
Ta có:
$P = \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}} + \cot^2{\dfrac{A}{2}} + \cot^2{\dfrac{B}{2}} + \cot^2{\dfrac{C}{2}}$
$\Leftrightarrow P = \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}}$ + $\dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{C}{2}}} - 3$
Do A, B, C là số đo 3 góc của 1 tam giác nên ta luôn có $\sin\dfrac{A}{2}, \sin\dfrac{B}{2},\sin\dfrac{C}{2} > 0$
Nhận thấy:
$8\sin\dfrac{A}{2} + 8\sin\dfrac{A}{2} + \dfrac{1}{\sin^2\dfrac{A}{2}} \geq 3\sqrt[3]{64} = 12$
Do đó:
$P \geq 3.12 - 3 - 15(\sin\dfrac{A}{2} + \sin\dfrac{B}{2} + \sin\dfrac{C}{2}) \geq \dfrac{21}{2}$
Vậy $Min_P = \dfrac{21}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $A = B = C = \dfrac{\pi}{3}$
#442460 Giải phương trình: $\left(1-\cos x\right)\cot x+...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 13-08-2013 - 14:49 in Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
#441238 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=CD=a
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 08-08-2013 - 13:37 in Hình học không gian
#438562 $\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{-x^{2}+x+1}= x^{2}-x+2$
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 27-07-2013 - 12:39 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
#437501 Chứng minh phương trình $x^2-2mx+2010.2011=0$ không có nghiệm n...
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 23-07-2013 - 17:00 in Đại số
Giải
Bài 1. Điều cần chứng minh vô lý khi $(a; b; c) = (0; 0; 0); (0; 1; -1)...$
Bài 2.
Theo định lý Viét, ta có:
- $x_1 + x_2 = 2m \, (1)$
- $x_1.x_2 = 2010.2011 \, (2)$
Giả sử phương trình đó có nghiệm nguyên.
- Vì $m \in Z$ nên từ (1), suy ra: $x_1$ và $x_2$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ. (Nói đúng hơn là cùng có dạng 2k hoặc 2k + 1).
- Mặt khác: $x_1.x_2 = 2010.2011$ nên suy ra, hai nghiệm này cùng chẵn.
Vì vậy: $x_1.x_2 $ $\vdots$ $4$. Mà $2011.2010$ $\not \vdots$ $4$.
Vậy, điều giả sử là sai. Tức là phương trình ban đầu không có nghiệm nguyên.
Bài 3.
a) $x = -2 \pm \sqrt{7}$
b) Xét biệt thức $\Delta' = (m + 1)^2 - (m - 4) = m^2 + m + 5 = (m + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{19}{4} > 0$ $\forall m \in R$
Vậy, phương trình có nghiệm với mọi m.
#286513 giúp mình giải bài hình lớp 10 này với?! c/m thẳng hàng nè
Posted by Phạm Hữu Bảo Chung on 04-12-2011 - 13:03 in Hình học phẳng
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{CP}{CD} = \dfrac{1}{3}$
Trên AN lấy điểm E thỏa mãn: $\dfrac{AE}{AN} = k$. Tìm k để M, P, E thẳng hàng.Giải
ĐặtVectơ AB = Vectơ DC = $\vec{a}$.
Suy ra: Vectơ AM = Vectơ PC = $\dfrac{1}{3}.\vec{a}$
Vectơ BC = $\vec{b}$
Suy ra: Vectơ BN = $\dfrac{1}{3}.\vec{b}$
Do: $\dfrac{AE}{AN} = k \Rightarrow \dfrac{Vecto(AE)}{Vecto(AN)} = k$
(Điều này luôn đúng với hai vectơ cùng hướng)
$\Leftrightarrow Vecto(NE) = (k - 1).Vecto(AN)$
Ta thấy:
$Vecto(ME) = Vecto(MB) + Vecto(BN) + Vecto(NE) = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + (k - 1).Vecto(AN)$
$= \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + (k - 1)[Vecto(AB) + Vecto(BN)] = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + (k - 1)[\vec{a} + \dfrac{1}{3}.\vec{b}]$
$= \vec{a}(k - 1 + \dfrac{2}{3}) + \vec{b}[\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}(k - 1)]$
$= \vec{a}(k - \dfrac{1}{3}) + \dfrac{k}{3}.\vec{b}$
Lại có:
$Vecto(MP) = Vecto(MB) + Vecto(BC) + Vecto(CP) = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \vec{b} - \dfrac{1}{3}\vec{a} $
$= \dfrac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$
M, P, E thẳng hàng khi và chỉ khi:
$Vecto(ME) = x.Vecto(MP) (x \in R) \Rightarrow \vec{a}(k - \dfrac{1}{3}) + \dfrac{k}{3}.\vec{b} = x(\dfrac{1}{3}\vec{a} + \vec{b})$
$\Leftrightarrow \vec{a}(k - \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{3}) + \vec{b}(\dfrac{k}{3} - x) = \vec{0} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k - \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{3} = 0\\\dfrac{k}{3} - x = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3k - x - 1 = 0\\k = 3x\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{8}\\k = \dfrac{3}{8}\end{array}\right.$
Vậy $k = \dfrac{3}{8}$ thì M, P, E thẳng hàng.
P/S: Mình không giỏi phần vectơ lắm. Một số chỗ trong bài làm, để đảm bảo tính "thẩm mỹ" thì mình viết Vecto(XY) thay vì viết bằng mũi tên trên đầu vectơ.
- Diễn đàn Toán học
- → Phạm Hữu Bảo Chung's Content