Chủ đề này có 206 trả lời

[hoctrocuaZel]

Câu 3(2 điểm):

b.Tìm nghiệm nguyên dương của hệ:$\left\{\begin{matrix}2^x=2y & & \\ 2^y=2x & & \end{matrix}\right.$

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp: Với n lớn hơn 2 thì: $2^n>2.n$

Áp dụng: Với $x>y\rightarrow 2y=2^x>2^y$ (Mâu thuẫn) , x<y.

Do đó: x=y. Vậy x=y=1 hoặc x=y=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 16-09-2014 - 09:35

[Mikhail Leptchinski]

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp: Với n lớn hơn hoặc bằng 2 thì: $2^n>2.n$

Áp dụng: Với $x>y\rightarrow 2y=2^x>2^y$ (Mâu thuẫn) , x<y.

Do đó: x=y. Vậy x=y=1

Thiếu x=y=2!

[hoctrocuaZel]

Thiếu x=y=2!

----

Bổ đề đúng

chỉ là mình nhẩm nghiệm hơi ... ngơ

Cám ơn, mình đã sửa ở trên

[dogsteven]

Bài 4:

 

(a) $\Delta OAB$ và $\Delta OCD$ vuông tại $O$.

 

(b) $\dfrac{BC+AD}{2} \geqslant 2r$ (quan hệ cạnh trong tam giác vuông)

 

$[ABCD]_{min} \Leftrightarrow \alpha = 90^{o}; \beta = 45^{o}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 16-09-2014 - 12:07

[chieckhantiennu]

Đề kiểm tra đội tuyển mình nhé!Khó choáng quá làm được 1 phần     (150 phút)

 

Câu 2(2 điểm):Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:$a+b+c=2$.Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}$

 

Áp dụng AM-GM 3 số là ra ngay.

$min_A=3 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}$

_____________

Em chỉ biết làm câu dễ thôi.

[dogsteven]

Áp dụng AM-GM 3 số là ra ngay.

$min_A=3 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}$

_____________

Em chỉ biết làm câu dễ thôi.

 

Vẫn chưa đâu bạn.

 

$a=0; b=c=1$ thì $A=3.5$

[hoctrocuaZel]

Vẫn chưa đâu bạn.

 

$a=0; b=c=1$ thì $A=3.5$

Cái này là min mà

[chieckhantiennu]

 

Câu 2(2 điểm):Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:$a+b+c=2$.Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}$

 

Ta có: $\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq 3+a+b+c$ (1)

Thật vậy:

Đặt $x=\sqrt{a} \geq 0;y=\sqrt{b} \geq 0;z=\sqrt{b} \geq 0$

(1) $\Leftrightarrow \frac{1+x}{1+y}+\frac{1+y}{1+z}+\frac{1+z}{1+x}\leq 3+x^2+y^2+z^2$

 

$=\frac{yz+zx+yx+{x}^{3}z+{x}^{2}y+{x}^{3}y+{y}^{2}z+{y}^{3}x+{y}^{3}z+{z}^{2}x+{z}^{3}x+{z}^{3}y+{z}^{3}y x+{y}^{2}zx +{x}^{2}yz+{y}^{3}zx+3\,yzx+{x}^{3}yz+{z}^{2}yx+{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3} }{( 1+x ) ( 1+ y ) ( 1+z )} \ge 0$

(luôn đúng)

__________________

 

Khủng quá.

[hoctrocuaZel]

Ta có: $\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq 3+a+b+c$ (1)

Thật vậy:

Đặt $x=\sqrt{a} \geq 0;y=\sqrt{b} \geq 0;z=\sqrt{b} \geq 0$

(1) $\Leftrightarrow \frac{1+x}{1+y}+\frac{1+y}{1+z}+\frac{1+z}{1+x}\leq 3+x^2+y^2+z^2$

 

$=\frac{yz+zx+yx+{x}^{3}z+{x}^{2}y+{x}^{3}y+{y}^{2}z+{y}^{3}x+{y}^{3}z+{z}^{2}x+{z}^{3}x+{z}^{3}y+{z}^{3}y x+{y}^{2}zx +{x}^{2}yz+{y}^{3}zx+3\,yzx+{x}^{3}yz+{z}^{2}yx+{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3} }{( 1+x ) ( 1+ y ) ( 1+z )} \ge 0$

(luôn đúng)

__________________

 

Khủng quá.

Dấu "=" x=y=z=0???

[lethanhson2703]

                                                      Đề thi HSG toán 9 năm học 2014-2015

                                                               ( MÌnh vừa mới làm chiều qua bi giờ mới up được)

Câu 1:

a. Tìm giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên

$P=\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$

b. TÍnh giá trị của biểu thức $A= (x^{18}+x^9-x^{2014})^{2015}$

trong đó: $x=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt5}}+\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3-\sqrt5}})$

Câu 2

a.Cho $3$ số hữu tỷ $a,b,c$ thỏa mãn : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. CMR:

$M=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ là số hữu tỷ

b. TÌm số tự nhiên $n$ sao cho số $Q=n^6-n^4+2n^3+2n^2$ là số chính phương.

Câu 3:

a. Giải phương trình: $4\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=x+7$

b. Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $xy+yz+zx=1$

TÍnh giá trị biểu thức: $S=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+z^2)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+x^2)}{1+z^2}}$

Câu 4:

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, trong đó $B,C$ cố định $A$ thay đổi. Vẽ đường cao $AD,BE$. GỌi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

a. CMR: $tanB.tanC=$$\frac{AD}{HD}$

b. Tam giác $ABC$ phải thỏa mãn điều kiện gì để tích $DH.DA$ lớn nhất.

c. Gọi $a,b,c$ lần lượt là độ dài các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$

CMR: $sin\frac{A}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$

CÂu 5:

GỌi $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn : $a+b+c=3$

TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ 

 P/s: Câu 1 mình làm nhầm điều kiện xác định mới ghê      

[kimchitwinkle]

                                                      Đề thi HSG toán 9 năm học 2014-2015

                                                               ( MÌnh vừa mới làm chiều qua bi giờ mới up được)

Câu 1:

a. Tìm giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên

$P=\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$

 

 P/s: Câu 1 mình làm nhầm điều kiện xác định mới ghê      

ĐKXĐ: x $> 0; x\neq 4; x\neq 9$

Trước hết , ta rút gọn P = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$

Vậy P nguyên <=> $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ nguyên

                       <=> $\sqrt{x}+1 \vdots \sqrt{x}-3$ ( vì $\sqrt{x}-1 ; \sqrt{x}-3$ nguyên do x nguyên)

                       <=> $\sqrt{x}-3 +4 \vdots \sqrt{x}-3$

                       <=> $\sqrt{x}-3 \epsilon$ Ư(4) = $\left \{ +-1;+-2;+-4 \right \}$

Lập bảng và tim được : x$\epsilon \left \{ 1;4;16;25;49 \right \}$

Kết luận: Các giá trị nguyên x cần tìm là :  x$\epsilon \left \{ 1;4;16;25;49 \right \}$

[lethanhson2703]

ĐKXĐ: x $> 0; x\neq 4; x\neq 9$

Trước hết , ta rút gọn P = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$

Vậy P nguyên <=> $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ nguyên

                       <=> $\sqrt{x}+1 \vdots \sqrt{x}-3$ ( vì $\sqrt{x}-1 ; \sqrt{x}-3$ nguyên do x nguyên)

                       <=> $\sqrt{x}-3 +4 \vdots \sqrt{x}-3$

                       <=> $\sqrt{x}-3 \epsilon$ Ư(4) = $\left \{ +-1;+-2;+-4 \right \}$

Lập bảng và tim được : x$\epsilon \left \{ 1;4;16;25;49 \right \}$

Kết luận: Các giá trị nguyên x cần tìm là :  x$\epsilon \left \{ 1;4;16;25;49 \right \}$

 

Bạn chưa loại điều kiện xác định à chỉ có x$\epsilon \left \{ 1;16;25;49 \right \}$

[kimchitwinkle]

                                                      Đề thi HSG toán 9 năm học 2014-2015

                                                               ( MÌnh vừa mới làm chiều qua bi giờ mới up được)

Câu 1:

a. Tìm giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên

$P=\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$

b. TÍnh giá trị của biểu thức $A= (x^{18}+x^9-x^{2014})^{2015}$

trong đó: $x=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt5}}+\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3-\sqrt5}})$

Câu 2

a.Cho $3$ số hữu tỷ $a,b,c$ thỏa mãn : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. CMR:

$M=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ là số hữu tỷ

b. TÌm số tự nhiên $n$ sao cho số $Q=n^6-n^4+2n^3+2n^2$ là số chính phương.

Câu 3:

a. Giải phương trình: $4\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=x+7$

b. Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $xy+yz+zx=1$

TÍnh giá trị biểu thức: $S=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+z^2)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+x^2)}{1+z^2}}$

Câu 4:

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, trong đó $B,C$ cố định $A$ thay đổi. Vẽ đường cao $AD,BE$. GỌi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

a. CMR: $tanB.tanC=$$\frac{AD}{HD}$

b. Tam giác $ABC$ phải thỏa mãn điều kiện gì để tích $DH.DA$ lớn nhất.

c. Gọi $a,b,c$ lần lượt là độ dài các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$

CMR: $sin\frac{A}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$

CÂu 5:

GỌi $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn : $a+b+c=3$

TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ 

 P/s: Câu 1 mình làm nhầm điều kiện xác định mới ghê      

 

 

                                                      Đề thi HSG toán 9 năm học 2014-2015

                                                               ( MÌnh vừa mới làm chiều qua bi giờ mới up được)

Câu 1:

b. TÍnh giá trị của biểu thức $A= (x^{18}+x^9-x^{2014})^{2015}$

trong đó: $x=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt5}}+\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3-\sqrt5}})$

 

 P/s: Câu 1 mình làm nhầm điều kiện xác định mới ghê      

chỗ mình đánh dấu đỏ mà là trừ thì tốt.

Mình nghĩ  bài này nhân thêm  $\sqrt{2}$ vào cả tử và mẫu của thừa số thứ 2       

[lethanhson2703]

Câu 2:

a. Vì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a+b=\frac{ab}{c}\Rightarrow a^2+b^2=\frac{a^2b^2}{c^2}-2ab\Rightarrow a^2+b^2+c^2=(a+b-c)^2\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\left | a+b-c \right |$ VÌ $a,b,c$ là các số hữu tỷ nên ta có đpcm

b. PTDTTNT ta có $Q=(n^2+n)^2(n^2-2n+2)$

Xét $n=0\Rightarrow Q=0$ là số chính phương

XÉt  $n\neq 0$ đặt $n^2-2n+2=k^2 (k\epsilon \mathbb{Z})\Leftrightarrow (n-1)^2-k^2=1\Leftrightarrow (n-1-k)(n-1+k)=1$

đưa về phương trình ước số ta tìm được $n=1$

VẬy có hai nghiệm nguyên là $0$ và $1$

[lethanhson2703]

chỗ mình đánh dấu đỏ mà là trừ thì tốt.

Mình nghĩ  bài này nhân thêm  $\sqrt{2}$ vào cả tử và mẫu của thừa số thứ 2       

DẤu + cũng đúng mà nhân với $\sqrt{2}$ mỗi vế ta được trong ngoặc có giá trị là $2$ Sau ki chia cho $\sqrt{2}$ thì nhận giá trị $x=1$

[Mikhail Leptchinski]

Câu 3:

a. Giải phương trình: $4\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=x+7$

a,Điều kiện để căn có nghĩa:$x\geq 1$

PT <=>$4\sqrt{x+3}-8-\sqrt{x-1}-(x-1)=0$

     <=>$\frac{4(x-1)}{4\sqrt{x+3}+8}-\sqrt{x-1}-(x-1)=0$

     <=>$\sqrt{x-1}(\frac{4}{4\sqrt{x+3}+8}-1-\sqrt{x-1})=0$

     <=>$x=1$

Vì xét biểu thức trong ngoặc đặt bằng A nhé:

$x\geq 1=>\frac{4}{4\sqrt{x+3}+8}\leq \frac{1}{4},\sqrt{x-1}\geq 0=>-\sqrt{x-1}\leq 0 =>A\leq\frac{1}{4}-1-0=-\frac{3}{4}$

=> phương trình vô nghiệm 

[lethanhson2703]

a,Điều kiện để căn có nghĩa:$x\geq 1$

PT <=>$4\sqrt{x+3}-8-\sqrt{x-1}-(x-1)=0$

     <=>$\frac{4(x-1)}{4\sqrt{x+3}+8}-\sqrt{x-1}-(x-1)=0$

     <=>$\sqrt{x-1}(\frac{4}{4\sqrt{x+3}+8}-1-\sqrt{x-1})=0$

     <=>$x=1$

Vì xét biểu thức trong ngoặc đặt bằng A nhé:

$x\geq 1=>\frac{4}{4\sqrt{x+3}+8}\leq \frac{1}{4},\sqrt{x-1}\geq 0=>-\sqrt{x-1}\leq 0 =>A\leq\frac{1}{4}-1-0=-\frac{3}{4}$

=> phương trình vô nghiệm 

Phương trình có nghiệm bằng 1 nhé bạn

[Mikhail Leptchinski]

Phương trình có nghiệm bằng 1 nhé bạn

Mình chỉ trên mà bạn  .Chỗ phương trình vô nghiệm là chỉ biểu thức trong ngoặc

[hoctrocuaZel]

Câu 3:

b. Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $xy+yz+zx=1$

TÍnh giá trị biểu thức: $S=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+z^2)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+x^2)}{1+z^2}}$

3/b/ Cách giải như sau

$1+x^2=xy+yz+xz+x^2=(x+z)(x+y)$

Tương tự, cộng vào và khai căn là ra. Kết hợp với gt.

[hoctrocuaZel]

 Câu 4:

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, trong đó $B,C$ cố định $A$ thay đổi. Vẽ đường cao $AD,BE$. GỌi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

a. CMR: $tanB.tanC=$$\frac{AD}{HD}$

b. Tam giác $ABC$ phải thỏa mãn điều kiện gì để tích $DH.DA$ lớn nhất.

c. Gọi $a,b,c$ lần lượt là độ dài các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$

CMR: $sin\frac{A}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$

Câu 4/

a/ Ta có: $\Delta ABD ~ \Delta CHD (g.g)\rightarrow AD.HD=BD.CD\Leftrightarrow tan_B.tab_C=\frac{AD}{BD}.\frac{AD}{CD}=\frac{AD}{HD}$

b/ Chứng minh trên, có: $AD.HD=BD.CD\leq \frac{(BD+CD)^2}{4}=\frac{BC^2}{4}$ (kg đổi)

$\Leftrightarrow BD=CD$ hay tam giác ABC cân.

c/ (Kẻ hình khác).

 Vẽ p/g AI. Kẻ BQ, CP lần lượt vuông góc vs AI.

Ta có: $sin_{\frac{A}{2}}=\frac{BQ}{AB}=\frac{PC}{AC}=\frac{BQ+PC}{AB+AC}\leq \frac{a}{2.\sqrt{bc}}$

-------------------

Hướng TH (Phan)

1) Câu 5 đã được chứng minh trong topic BĐT THCS.

2) Đề này đã được giải quyết xong